4.2 提公因式法（教学课件）数学新教材浙教版七年级下册

浙教版 七年级 数学 下册 4.2 提公因式法 第4章 因式分解 第1课时 教学目标 01 能用提取公因式法分解因式 02 理解添括号法则 01 课堂引入 一幢房屋一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成(如图)。若把该墙面设计成长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？ 02 知识精讲 我们知道，m ( a + b ) = ma + mb， 反过来，就有ma + mb = m ( a + b )。 应用这一事实，怎样把多项式2ab + 4abc分解因式？ 解：∵2ab ( 1 + 2c ) = 2ab + 4abc， ∴2ab + 4abc = 2ab ( 1 + 2c )。 02 知识精讲 公因式： 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式， 叫作这个多项式各项的公因式。 eg：m是多项式ma + mb 各项的公因式， 2ab是多项式2ab + 4abc各项的公因式。 02 知识精讲 提取公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式， 那么可把该公因式提取出来进行因式分解。 这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。 02 知识精讲 下面讨论如何确定应提取的公因式。 以多项式3ax2y + 6x3yz为例，把各项表示如下： 3ax2y = 3·a·x·x·y， 6x3yz = 2·3·x·x·x·y·z。 显然，为了使提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式，应提取的多项式各项的公因式是3x2y， ∴3ax2y + 6x3yz = 3x2y ( a + 2xz )。 02 知识精讲 ∴3ax2y + 6x3yz = 3x2y ( a + 2xz )。 由此我们看到，应提取的多项式各项的公因式必须是各项系数的最大公因数(当系数是整数时)与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 想一想： 另一个因式a + 2xz中的a和2xz是如何得到的？ 解：a和2xz是公因式3x2y去除这个多项式中的每一项3ax2y和6x3yz得到的。 02 知识精讲 提公因式的三“定”： ( 1 ) 定系数，即确定各项系数的最大公因数(当系数是整数时)； ( 2 ) 定字母，即确定各项的相同字母(或相同多项式)； ( 3 ) 定指数，即各项相同字母(或相同多项式)的最低次幂。 做 一做 02 知识精讲 先确定多项式5ab2c + 15abc2各项的公因式，再进行因式分解。 解：公因式为5abc，5ab2c + 15abc2 = 5abc ( b + 3c )。 02 知识精讲 例1 把下列各式分解因式： ( 1 ) 2x3 + 6x2； ( 2 ) 6pq3 + 15p3q； ( 3 ) -4x2 + 8ax + 2x； ( 4 ) -3ab + 6abx - 9aby。 解：( 1 ) 2x3 + 6x2 = 2x2 ( x + 3 )； ( 2 ) 6pq3 + 15p3q = 3pq ( 2q2 + 5p2 )； ( 3 ) -4x2 + 8ax + 2x = -2x ( 2x - 4a - 1 )； ( 4 ) -3ab + 6abx - 9aby = -3ab ( 1－2x + 3y )。 注意： 当首项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号。 02 知识精讲 提取公因式法的一般步骤是： 1.确定应提取的公因式。 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3.把多项式写成这两个因式的积的形式。 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式； 且另一因式的项数与原多项式的项数相同。 02 知识精讲 例2 把2 ( a - b )2 - a + b分解因式。 分析： 把- a + b变形成- ( a - b )，原多项式就转化为2 ( a - b )2 - ( a - b )。 若把( a - b )看作整体，原多项式就可以提取公因式( a - b )。 解： ( a - b )2 - a + b = 2 ( a - b )2 - ( a - b ) = ( a - b ) [2 ( a - b ) - 1] = ( a - b ) ( 2a - 2b - 1 )。 02 知识精讲 在求解例2时 ，我们把- a + b加上括号 ，变形成- ( a - b )， 而不改变- a + b的值，这种方法叫作添括号。 添括号的法则： 一般地，添括号的法则如下： 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号。 02 知识精讲 课内练习 1.确定下列多项式的公因式，并分解因式。 ( 1 ) ax + ay； ( 2 ) 3mx - 6nx2； ( 3 ) 4a2b + 10ab - 2ab2。 解：( 1 ) 公因式为a，ax + ay = a ( x + y )； ( 2 ) 公因式为3x，3mx - 6nx2 = 3x ( m - 2nx )； ( 3 ) 公因式为2ab，4a2b + 10ab - 2ab2 = 2ab ( 2a + 5 - b )。 02 知识精讲 课内练习 2.添括号(填空)： ( 1 ) 1 - 2x = + ( )； ( 2 ) -x - 2 = - ( )； ( 3 ) -x2 - 2x + 1 = - ( ) 。 1 - 2x x + 2 x2 + 2x - 1 02 知识精讲 课内练习 3.下面的因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？ ( 1 ) 2x2 + 3x3 + x = x ( 2x + 3x2 )； ( 2 ) 3a2c - 6a3c = 3a2 ( c - 2ac )； ( 3 ) -2s3 + 4s2 - 6s = -s ( 2s2 + 4s - 6 )； ( 4 ) -4a2b + 6ab2 - 8a = -2ab ( 2a - 3b )－8a。 解：( 1 ) 不对，2x2 + 3x3 + x = x ( 2x + 3x2 + 1 )； ( 2 ) 不对，3a2c - 6a3c = 3a2c ( 1 - 2a )； ( 3 ) 不对，-2s3 + 4s2 - 6s = -2s ( s2 - 2s + 3 )； ( 4 ) 不是因式分解，-4a2b + 6ab2 - 8a = -2a ( 2ab - 3b2 + 4 )。 漏项 余下各项仍有公因式 余下各项仍有公因式 02 知识精讲 课内练习 4.解答节前语中的问题。【一幢房屋一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成(如图)。若把该墙面设计成长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？】 解：设高度应为x， 由题意可得：ab + ah = x·a， a (b + h ) = ax， x = b + h。 知识精讲 多项式-6ab2 + 24a2b2 - 12a3b2c的公因式是（　　） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c 解：∵系数的最大公因数是-6，相同字母的最低次幂是ab2， ∴公因式为-6ab2。 例1 03 典例精析 C 知识精讲 分解因式：12 ( x - y )3 + 15x ( y - x )2。 解：12 ( x - y )3 + 15x ( y - x )2 = 12 ( x - y )3 + 15x ( x - y )2 = 3 ( x - y )2 [4 ( x - y ) + 5x ] = 3 ( x - y )2 ( 9x - 4y )。 例2 03 典例精析 知识精讲 已知a - b = 5，b - c = -6，则代数式a2 - ac - b ( a - c )的值为（　　） A．-30 B．30 C．-5 D．-6 解：∵a - b = 5，b - c = -6， ∴a - c = -1， ∴a2 - ac - b ( a - c ) = a ( a - c ) - b ( a - c ) = ( a - c ) ( a - b ) = 5 × ( -1 ) = -5。 例3 03 典例精析 C 课后总结 公因式： 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 eg：m是多项式ma + mb 各项的公因式，2ab是多项式2ab + 4abc各项的公因式。 提取公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。 这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。 提公因式的三“定”： ( 1 ) 定系数，即确定各项系数的最大公因数(当系数是整数时)； ( 2 ) 定字母，即确定各项的相同字母(或相同多项式)； ( 3 ) 定指数，即各项相同字母(或相同多项式)的最低次幂。 课后总结 提取公因式法的一般步骤是： 1.确定应提取的公因式。 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3.把多项式写成这两个因式的积的形式。 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式； 且另一因式的项数与原多项式的项数相同。 添括号的法则： 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号。 浙教版 七年级 数学 下册 谢谢观看！ $$