专题突破七：整式的乘除综合之探索规律问题（20道）2025-2026学年浙教版数学七年级下册

【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版∙能力提升 专题突破七：整式的乘除综合之探索规律问题 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题组训练1】观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【题组训练2】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【题组训练3】观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【题组训练4】观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 【题组训练5】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 【题组训练6】“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 【题组训练7】观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【题组训练8】如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ． 【题组训练9】【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【题组训练10】（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【题组训练11】计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【题组训练12】【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【题组训练13】观察以下等式： 第1个： 第2个： 第3个： 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【题组训练14】观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第个等式：____________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【题组训练15】(1)计算并观察下列各式： 第1个： ； 第2个： ； 第3个： ； …… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． (2)猜想： 若n为大于1的正整数，则 ； (3)利用(2)的猜想计算： ． (4)拓广与应用： ． 【题组训练16】（1）请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？ ，，，… （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （3）利用你发现的规律计算：． 【题组训练17】【知识探索】观察以下等式： … 按以上等式的规律，发现：． （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明成立； 【知识运用】 （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【题组训练18】探究活动： (1)探究规律：， ， ， ______；… (2)猜想规律：______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）． (3)请证明上述猜想． (4)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明； 【题组训练19】日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律 (2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律． 【题组训练20】为探究“十位上的数和为10，个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式： ， ， ， ， ， ⋯ (1)结果的后两位为 ； (2)设其中一个数的十位上的数为a，个位上的数为b（a，b均为小于10的正整数），请用含a，b的代数式分别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于； (3)若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10，设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数），则这两个数乘积的后两位等于 （用含c的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版∙能力提升 专题突破七：整式的乘除综合之探索规律问题 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题组训练1】观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：由题意可得，， 当时，， ， ，，，，， 尾数是4个一循环， ， 尾数为：， 故选：C． 【题组训练2】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：根据规律得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【题组训练3】观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵； ； … ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴原式． 故选：D． 【题组训练4】观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 【答案】 【详解】解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 【题组训练5】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【题组训练6】“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【详解】解：由杨辉三角形可得， ， 即的展开式中含项的系数为， 故答案为：． 【题组训练7】观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【题组训练8】如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ． 【答案】 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）； 第二个图案需要的个数为（个）； 第三个图案需要的个数为（个）； 第四个图案需要的个数为（个）； … 第n个图案需要的个数为： （个）， 当时，， 故答案为：． 【题组训练9】【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【答案】[验证] ；[探究] ． 【详解】解：[验证]根据题意，； [探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，， 规律为：． 依题意，． 【题组训练10】（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 【题组训练11】计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 【题组训练12】【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 【题组训练13】观察以下等式： 第1个： 第2个： 第3个： 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为：， 证明：左边， 右边， 左边右边， 等式成立． 【题组训练14】观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第个等式：____________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1)； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1）解：由题意得：第五个等式为， 故答案为：5，21； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 【题组训练15】(1)计算并观察下列各式： 第1个： ； 第2个： ； 第3个： ； …… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． (2)猜想： 若n为大于1的正整数，则 ； (3)利用(2)的猜想计算： ． (4)拓广与应用： ． 【答案】(1) 、、；(2) ；(3)；(4) 【详解】解：（1）第1个：； 第2个：； 第3个：； 故答案为：；；； （2）若n为大于1的正整数，则, 故答案：为； （3） ， 故答案为：． （4） = = =， 故答案为： ． 【题组训练16】（1）请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？ ，，，… （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （3）利用你发现的规律计算：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【详解】解：（1）∵，，，… ∴； （2）； （3）由（2）知． 【题组训练17】【知识探索】观察以下等式： … 按以上等式的规律，发现：． （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明成立； 【知识运用】 （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的值为 【详解】解：（1）∵ ， ∴． （2）∵，． ∴， ∴． （3）由，得， 设，， 则， ∴， ， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为． 【题组训练18】探究活动： (1)探究规律：， ， ， ______；… (2)猜想规律：______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）． (3)请证明上述猜想． (4)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明； 【答案】(1)； (2) (3)见解析； (4)也有类似规律，理由见解析． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ 故答案为：； （2）由（1）总结规律可得： 故答案为： （3）证明：等式的左边 等式的右边 左边右边， ∴成立． （4）解：当时，也有类似规律，即，理由如下： 左边， 右边， ∴左边右边， ∴当时，也有类似规律，即． 【题组训练19】日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律 (2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律． 【答案】(1)图见解析，见解析，(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示 ∵， ∴上述规律正确． （2）解：设方格圈上的四个数分别为，，， 【题组训练20】为探究“十位上的数和为10，个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式： ， ， ， ， ， ⋯ (1)结果的后两位为 ； (2)设其中一个数的十位上的数为a，个位上的数为b（a，b均为小于10的正整数），请用含a，b的代数式分别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于； (3)若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10，设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数），则这两个数乘积的后两位等于 （用含c的代数式表示）． 【答案】(1)25 (2)，，说明见解析 (3) 【详解】（1）解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位， ∵， ∴结果的后两位为； 故答案为：25． （2）解：由题意，两个两位数分别表示为：，， ∴ ； ∴两个数乘积的后两位等于； （3）设十位上的数字为，则两个两位数分别表示为：，， ∴两个数的乘积为： ， ∴这两个数乘积的后两位等于； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $