第3章 整式的乘除（复习课件）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式乘除的核心知识，包括幂的运算、整式乘法、乘法公式及整式除法，通过知识图谱清晰呈现“幂的运算-整式乘除-公式应用”的逻辑脉络，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的分层策略，如用几何图形验证平方差公式（例5）培养抽象能力，结合杨辉三角规律探究（针对训练3）发展推理意识。这种设计让学生从基础到拓展逐步提升，教师可依托针对性训练精准把握学情，有效提升复习效率。

单元复习课件 第3章 整式的乘除 新教材浙教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3. 幂的运算性质的灵活运用与区分，避免混淆；多项式乘多项式中 “不漏乘、不重复、注意符号”；乘法公式的结构识别与灵活变形；负整数指数幂、零指数幂的意义与运算；整式混合运算的顺序与符号处理。 1．掌握幂的四种基本运算性质，能正确进行计算；会进行单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法运算；熟练运用平方差公式、完全平方公式进行简便计算；能正确进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算；理解整式乘除与因式分解的互逆关系，会进行简单的整式混合运算 2. 幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）；整式的乘法法则；平方差公式与完全平方公式的理解与应用；整式的除法法则。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示：(都是正整数)。 条件 底数相同，相乘 结论 底数不变，指数相加 底数 可以是数(正/负数、整/分数)、字母、式 指数 都是正整数 示例 考点串讲 考点一、同底数幂的乘法 2．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 符号表示： (都是正整数) 。 条件 幂的乘方 结论 底数不变，指数相乘 底数 可以是数(正/负数、整/分数)、字母、式（单项式/多项式） 指数 都是正整数 示例 考点串讲 考点一、同底数幂的乘法 3．积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式分别乘方后的积。 符号表示：（是正整数） 。 条件 积的乘方 结论 每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（简记：乘方的积） 底数 可以是数(正/负数、整/分数)、字母、式（单项式/多项式） 指数 都是正整数 示例 ; 考点串讲 1．单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 考点二、单项式的乘法 ①系数与系数相乘的结果，作为积的系数； ②相同字母的幂相乘的结果，作为积的一个因式； ③其余字母连同它的指数不变，作为积的一个因式； ④符号不能遗漏。 示例： 注意：单项式与单项式相乘的结果仍是单项式；有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘。 考点串讲 考点二、单项式的乘法 单项式与单项式相乘的步骤： (1) 确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3) 只在一个单项式里面含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式，不要漏项； (4) “-”代表的是系数“-1”，带符号运算. 考点串讲 2．单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 考点二、单项式的乘法 ①实质是乘法分配率，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再相加； ②单项式与多项式每一项分别相乘，不重复、不遗漏； ③积的项数与多项式的项数相同，最后的结果需要合并同类项； ④计算过程应该带符号运算。 示例：= 符号表示： （p，a，b，c都是单项式） 。 考点串讲 考点二、单项式的乘法 (1) 单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式； (2) 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同； (3) 对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幂的乘方，有同类项的要及时合并同类项. (4)计算过程中应先确定每一项的符号，同号取正，异号取负. 考点串讲 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 考点三、多项式的乘法 符号表示： （m，n，a，b都是单项式）。 考点串讲 考点三、多项式的乘法 ①实质是多次利用乘法分配率，将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，最后相加； ②多项式与多项式每一项分别相乘，不重复、不遗漏； ③合并前积的项数应等于两个多项式的项数之积，最后的结果需要合并同类项，结果化为最简形式； ④整体思想，计算过程应该带符号运算。 示例：= 多项式 × 多项式 多项式 × 单项式 单项式 × 单项式 考点串讲 1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 考点四、乘法公式 符号表示： 符号相同项 符号相反项 ①平方差公式是多项式相乘中的特殊情形； ②式中的既可以是数，也可以是单项式或多项式； ③注意用谁减谁； ④计算关键是先确定相同项“”和相反项“”。 考点串讲 考点四、乘法公式 (1) 平方差公式的特点是左边是两个二项式相乘，且在这两个二项式中，前面一项完全相同，后面一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方； (2) 实际计算中，题目中相乘的两个二项式，往往不是按公式的标准形式，可以将二项式中相同项放前面，相反项放后面，再运用公式； (3)计算过程中，注意系数的变化，注意指数的变化。将较复杂的项看成整体，避免遗漏。 考点串讲 2．两数和的完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 考点四、乘法公式 符号表示： ①左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式； ②式中的既可以是数，也可以是单项式或多项式； ③注意整体性，不丢项，不落乘2，不弄错符号； ④简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”。 考点串讲 3．两数差的完全平方公式：两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 考点四、乘法公式 符号表示： ①左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式； ②式中的既可以是数，也可以是单项式或多项式； ③注意整体性，不丢项，不落乘2，不弄错符号； ④两数和的平方、两数差的平方统称为完全平方公式。 ⑤简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方”。 考点串讲 考点四、乘法公式 应用完全平方公式基本步骤： ①确定公式中的和;②确定和差关系;③选择公式;④计算结果. 注意: ①公式中的字母,可以表示具体的数,也可以表示含字母的单项式或多项式. ②两个平方项的底数要带上括号. ③套用公式时不要漏掉项. 解题时常用结论： 考点串讲 同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 考点五、同底数幂的除法 符号表示： （a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n） 。 条件 同底数幂相除 结论 底数不变，指数相减。 底数 a ≠ 0 指数 都是正整数，且 示例 ; 联系 同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算。 考点串讲 考点五、同底数幂的除法 注意事项： （1）底数为负数，应先确定符号，再计算指数。 （2）计算结果的底数是积的形式，要化到最简。 （3）指数是代数式，注意去括号和合并同类项。 特别规定： ①任何一个不等于0的数的0次幂都等于1。即； ②任何一个不等于0的数的(是正整数)次幂都等于这个数的次幂的倒数。即 考点串讲 1.用科学记数法表示绝对值较大的数：绝对值大于 10 的数记成 的形式，其中 ，是正整数.如2560000 可以写成 考点六、科学记数法 大于的负数也可以用类似的方法表示，如可以表示成 2.用科学记数法表示绝对值较小的数：一般地，一个小于1的正数可以表示为，其中是负整数.如0.00005 可以写成 . 考点串讲 1．单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 考点七、整式的除法 ①实质是将其转化为同底数幂的除法运算； ②结果仍为单项式。 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不变， 指数相减。 保留在商里作为因式。 考点串讲 2．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 考点七、整式的除法 ①转化为单项式除以单项式； ②多项式的各项要包括它前面的符号，注意符号的变化； ③（合并同类项之前）商的项数与多项式的项数相同，不要漏项。 ④多项式除以单项式得到的商的项数与多项式的项数相同。 符号表示： （） 。 考点串讲 考点五、同底数幂的除法 注意事项： （1）符号要准确，当除式是负数时，被除式的每一项都要变号； （2）系数运算要细心，注意分数和整数的转换； （3）不要漏项，应和多项式的项数相同。 考点串讲 题型一、同底数幂的乘（除）法运算 例1 已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 解：∵， ∴， ∴ ． 解析：考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，根据得到，将变形为，再整体代入求解． D 题型剖析 （1）解：原式 ． 练一练 计算： (1)； (2)； (3)． 题型一、同底数幂的乘（除）法运算 （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型剖析 题型二、幂的乘方与积的乘方 例2下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 解析：考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． B 题型剖析 解：∵ ∴ 解得： 练一练 已知，求x的值． 题型二、幂的乘方与积的乘方 题型剖析 题型三、零、负次幂与科学记数法 例3 2022年，人类又再一次向摩尔定律的极限发起挑战．这一次，中国人扮演了探索者的角色．为进一步突破1纳米以下栅长晶体管的瓶颈，清华大学团队巧妙利用石墨烯薄膜作为栅极，通过石墨烯侧向电场来控制垂直的二硫化钼沟道的开关，从而实现等效的物理栅长为纳米（1纳米米）．请用单位米表示纳米（用科学记数法表示）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 解：∵1纳米米米， ∴纳米米米． 解析：考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，是正整数，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． C 题型剖析 练一练 计算： ． 解： ． -1 题型三、零、负次幂与科学记数法 题型剖析 题型四、单项式乘单（多）项式 例4 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 解： ， 解析：考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． C 题型剖析 练一练 化简： (1) (2) (3) 题型四、单项式乘单（多）项式 （1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 题型剖析 题型五、平方差公式与完全平方公式 例5 小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（    ） A． B． C． D． 解：左边那幅图中的阴影部分面积为， 右边那幅图中的阴影部分面积为， ∵两幅图中的阴影部分面积相等， ∴从左到右的变化可用来验证， 解析：考查了平方差公式在几何图形中的应用，用含的式子分别表示出两幅图中的阴影部分面积即可得到答案． C 题型剖析 练一练 计算： (1)； (2)． 题型五、平方差公式与完全平方公式 （1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型剖析 题型六、单（多）项式除以单项式 例6 . 解：原式， ， ； 解析：考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握整式除法的有关运算法则． 利用分配律，将多项式除以单项式转化为每一项除以单项式，然后进行有理数运算和指数运算． 题型剖析 练一练 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 题型六、单（多）项式除以单项式 题型剖析 1.若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 考查比较大小 解：， ∵， ∴bac， 故选B． 针对训练 2.已知，，，且的值与的取值无关，则的值为 ． 考查不含某项、与某项无关问题 解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴的值为． 针对训练 3.南宋杰出的数学家杨辉，在他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角．观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： ； ； ； ； ； ； …… 写出的展开式中含项的系数是 ． 考查杨辉三角 针对训练 考查杨辉三角 解：的展开式中，第一个式子的次数为300，第二个式子的次数为：， 根据题意得：含的项，是各项系数的杨辉三角形的第二个数字， 结合杨辉三角的规律，得含项是， ∴的展开式中含项的系数是600． 针对训练 4.先化简，再求值： (1)，其中，． (2)．其中，． 考查先化简再求值 （1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 针对训练 5.规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“好运式”． 例如：；． (1)验证：是“好运式”； (2)推理：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． (3)类比发现：任意两个连续偶数的平方差都能被________整除． 考查整除问题 针对训练 考查整除问题 （1）解：∵． ∴能被8整除， ∴是“好运式”； （2）解：设任意两个连续奇数为和（是整数）， 是整数， 是8的倍数． 任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． （3）解：设任意两个连续偶数为和（是整数）， 是整数， 是4的倍数． ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除， 针对训练 6.阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 考查规律问题 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． 针对训练 (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_____①_____：______②______ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 考查规律问题 针对训练 考查规律问题 （1），末尾的两个数是． （2）由（1）可得：； ； （3）根据观察可得： ， ， ， 当十位上的数字为时， ； 针对训练 7. 【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：__；__；___ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边 长为，若，， ， 求图中阴影部分的面积． 考查新定义问题 针对训练 考查新定义问题 解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 针对训练 8.数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 考查平方差与完全平方公式的几何应用 针对训练 考查平方差与完全平方公式的几何应用 （1）解：图②整体上是边长为的正方形，因此面积为，图②中四个部分的面积和为， 所以有， 验证，． （2）解：，而纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为， 需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （3）解：设，则， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 针对训练 课堂总结 感谢聆听! $