专题3.1同底数幂的乘法七大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题3.1同底数幂的乘法七大题型（一课一讲） （内容:同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方） 【浙教版】 题型一：利用幂的运算进行判断式子是否正确 【经典例题1】（七年级下·河南周口·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．与不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-2】下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意， B、，该选项正确，不符合题意， C、，该选项不正确，符合题意， D、，该选项正确，不符合题意， 故选：C ． 【变式训练1-3】（七年级下·河南南阳·期中）下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-4】（七年级下·广西南宁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选D． 【变式训练1-5】（七年级下·湖北十堰·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B． 题型二：幂的运算 【经典例题2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式训练2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【变式训练2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式． 【变式训练2-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练2-5】计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 题型三：用科学记数法表示数的乘法 【经典例题3】（2023·河北石家庄·模拟预测）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵飞行速度约为每秒， ∴飞行1分钟的路程约为：， 故选：A． 【变式训练3-1】（2023·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万． 故选：A． 【变式训练3-2】（七年级下·山西大同·期末）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【详解】解：， 地球到太阳的平均距离约为千米． 故选：C． 【变式训练3-3】（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：路程=． 故选：B． 【变式训练3-4】广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中罗斯248星离太阳系的距离约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，表示光在一年中所通过的距离，已知1光年约为千米，则罗斯248星距离太阳系约为（   ）千米． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 【变式训练3-5】（七年级下·山东青岛·期中）光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 km． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练3-6】（七年级下·江苏泰州·月考）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 题型四：利用幂的运算中逆运算进行求解 【经典例题4】（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【详解】解：（1）因为， 所以， 解得； （2）因为， 所以， 由，得， 所以， 所以， 所以． 【变式训练4-1】（七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算的结果为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解： ． 故选：D． 【变式训练4-2】已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式训练4-3】已知，当时，求m的值． 【答案】 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 当时，， 解得：． 【变式训练4-4】（七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：，，计算的值． （2）已知：，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：，， 故． （2）解：， ∵， ∴． 【变式训练4-5】（2024七年级下·浙江·期中）（1）已知，求的值；； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得：； （2）当，时， ． 题型五：利用幂的运算比较大小 【经典例题5】（七年级下·河南新乡·期中）已知，则a，b，c的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式训练5-1】（七年级下·北京朝阳·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故． 故答案为：． 【变式训练5-2】已知，，，试比较a，b，c的大小． 【答案】 【详解】解：，，， ∵, ∴， 即． 【变式训练5-3】（七年级下·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 【答案】(1)6(2)(3) 【详解】（1）解：， 即：， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴， 即：； （3）， ∵， ∴； ∴． 【变式训练5-4】（七年级下·江苏盐城·期末）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 题型六：利用幂的运算表示字母之间的关系 【经典例题6】若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ①， 又， ②， 得到，， 即， 故． 故答案为：． 【变式训练6-1】若，则满足的关系式是 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-2】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练6-3】（七年级下·湖北恩施·期末）已知，，试用含，的式子表示： ． 【答案】/ 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式训练6-4】（七年级下·江苏苏州·期末）若，，，则用a，b的代数式表示c为 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练6-5】按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 【答案】 【详解】解：观察数列可发现：， ∴前两个数的积等于第三个数， ∵x、y、z表示这列数中的连续三个数， ∴x、y、z满足的关系式是． 故答案为：． 题型七：幂的运算中定义新运算 【经典例题7】同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 【变式训练7-1】（七年级下·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 【答案】 【详解】解：设，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【变式训练7-2】（七年级下·江苏镇江·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 【答案】(1)3，±2 (2)，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，±2； （2）； 理由如下： 设，，则，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （3）设，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 即，对于任意自然数n都成立． 【变式训练7-3】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：； ∴， ∴或（负数舍去）， 故； （2）解：解法一：； 解法二：设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 【变式训练7-4】（七年级下·江苏盐城·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：当，，时， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：． 【变式训练7-5】（七年级下·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)2，6，4；(2)． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ， 故答案为：2，6，4； （2）解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1同底数幂的乘法七大题型（一课一讲） （内容:同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方） 【浙教版】 题型一：利用幂的运算进行判断式子是否正确 【经典例题1】（七年级下·河南周口·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（七年级下·河南南阳·期中）下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（七年级下·广西南宁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（七年级下·湖北十堰·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：幂的运算 【经典例题2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式训练2-4】计算： (1)； (2)． 【变式训练2-5】计算：． 题型三：用科学记数法表示数的乘法 【经典例题3】（2023·河北石家庄·模拟预测）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2023·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（七年级下·山西大同·期末）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式训练3-3】（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中罗斯248星离太阳系的距离约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，表示光在一年中所通过的距离，已知1光年约为千米，则罗斯248星距离太阳系约为（   ）千米． A． B． C． D． 【变式训练3-5】（七年级下·山东青岛·期中）光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 km． 【变式训练3-6】（七年级下·江苏泰州·月考）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 题型四：利用幂的运算中逆运算进行求解 【经典例题4】（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【变式训练4-1】（七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算的结果为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练4-2】已知，求的值． 【变式训练4-3】已知，当时，求m的值． 【变式训练4-4】（七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：，，计算的值． （2）已知：，求的值． 【变式训练4-5】（2024七年级下·浙江·期中）（1）已知，求的值；； （2）已知，，求的值． 题型五：利用幂的运算比较大小 【经典例题5】（七年级下·河南新乡·期中）已知，则a，b，c的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（七年级下·北京朝阳·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式训练5-2】已知，，，试比较a，b，c的大小． 【变式训练5-3】（七年级下·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 【变式训练5-4】（七年级下·江苏盐城·期末）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 题型六：利用幂的运算表示字母之间的关系 【经典例题6】若，则 （填“”“”或“”）． 【变式训练6-1】若，则满足的关系式是 ． 【变式训练6-2】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【变式训练6-3】（七年级下·湖北恩施·期末）已知，，试用含，的式子表示： ． 【变式训练6-4】（七年级下·江苏苏州·期末）若，，，则用a，b的代数式表示c为 【变式训练6-5】按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 题型七：幂的运算中定义新运算 【经典例题7】同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【变式训练7-1】（七年级下·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 【变式训练7-2】（七年级下·江苏镇江·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 【变式训练7-3】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【变式训练7-4】（七年级下·江苏盐城·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【变式训练7-5】（七年级下·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $