专题11一次函数及其应用突破讲义 2026年中考一轮复习(全国通用)

专题11一次函数及其应用突破讲义 【模块一 基础概念与定义】..............................................4 【题型01 正比例函数的图象与性质】.....................................4 【题型02 一次函数的定义.自变量范围及求值】.............................5 【题型03 一次函数解析式的确定与求解】.................................5 【模块二 图象识别与位置判断】.........................................6 【题型04 一次函数图象的识别】.........................................6 【题型05 由k.b判断图象经过象限】.....................................7 【题型06 一次函数图象平移问题】.......................................8 【模块三 图象性质与增减性】............................................8 【题型07 一次函数增减性判断】.........................................8 【题型08 比较函数值大小】.............................................9 【题型09 一次函数与坐标轴交点问题】...................................9 【题型10 两直线交点与方程组的关系】...................................10 【模块四 图象与方程.不等式综合】.......................................10 【题型11 一次函数与一元一次方程】......................................11 【题型12 一次函数与一元一次不等式】....................................12 【题型13 一次函数与二元一次方程组】....................................13 【题型14 图象法解方程.不等式】..........................................14 【题型15 直线围成图形面积计算】........................................15 【模块五 实际应用(高频大题)】...........................................16 【题型16 一次函数应用:行程问题】......................................16 【题型17 一次函数应用:最大利润问题】...................................17 【题型18 一次函数应用:梯度计价问题】...................................18 【题型19 一次函数应用:分配方案问题】...................................19 【题型20 一次函数与几何综合】.........................................20 ● 分值占比：一次函数是中考核心必考内容，总分值约 8–12 分，覆盖选择、填空、解答（函数综合、应用题）多种题型，是函数板块的基础得分关键。 ● 常考考点：聚焦一次函数的概念与解析式（正比例函数、一次函数的一般式、待定系数法求解析式）、图像与性质（k、b 的几何意义、增减性、截距、平移规律）、与方程 / 不等式的结合（函数图像与坐标轴交点、方程的解、不等式解集的几何意义）、实际应用（行程、工程、利润、方案选择等建模问题）、与几何图形综合（与直线、三角形、四边形的位置关系、面积计算）五大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与图像识别，中档题侧重解析式求解与性质应用，难题多以函数与几何综合、实际情境建模、最值 / 方案探究为主，且结合动态几何、跨学科情境的题型占比逐年提升，对 “数形结合” 能力的考查愈发突出。 ★知识梳理★ 知识点01:核心概念与定义 知识点 核心内容 易错提醒 一次函数 一般形式：y=kx+b（k0，k,b 为常数）自变量 x 次数为 1，k 是斜率，b 是截距 若 k=0，则退化为常数函数 y=b，不是一次函数 正比例 函数 特殊形式：y=kx（k0）是一次函数当 b=0 时的特例 必过原点 (0,0)，是过原点的直线 自变量取值范围 一般为全体实数实际问题中需满足实际意义（如时间、长度非负） 应用题中必须结合情境限制 x 的范围 知识点02:图像与性质 1. 图像形状 一次函数的图像是一条直线，两点即可确定（通常取与坐标轴的交点）。 正比例函数图像是过原点 (0,0) 的直线。 2. 图像与 k,b 的关系 k 符号 增减性 b 符号 与 y 轴交点位置 图像所在象限 k>0 y 随 x 增大而增大 b>0 (0,b) 在正半轴 一、二、三 k>0 y 随 x 增大而增大 b<0 (0,b) 在负半轴 一、三、四 k<0 y 随 x 增大而减小 b>0 (0,b) 在正半轴 一、二、四 k<0 y 随 x 增大而减小 b<0 (0,b) 在负半轴 二、三、四 3. 平移规律 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 知识点03:解析式求解（待定系数法） 一般步骤 1.设：设函数解析式为 y=kx+b（正比例函数设 y=kx） 2.代：将已知点坐标代入解析式，得到关于 k,b 的方程（组） 3.解：解方程（组）求出 k,b 4.写：写出最终解析式 知识点04:与方程、不等式的联系 1. 与一元一次方程 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标 (−​,0) 方程 kx+b=m 的解 ⇔ 直线 y=kx+b 与直线 y=m 交点的横坐标 2. 与一元一次不等式. kx+b>0 ⇔ 直线 y=kx+b 在 x 轴上方部分对应的 x 取值范围 kx+b<0 ⇔ 直线 y=kx+b 在 x 轴下方部分对应的 x 取值范围 k1x+b1>k2x+b2​⇔ 直线 y1在直线 y2上方部分对应的 x 取值范围 3. 与二元一次方程组 方程组 的解 ⇔ 两条直线的交点坐标 若 k1=k2且 b1b2，两直线平行，无交点 ⇔ 方程组无解 若 k1=k2且 b1=b2，两直线重合 ⇔ 方程组有无数解 知识点05:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 1.审题：提取变量，确定自变量与因变量 2.建模：根据题意列出函数关系式（注意取值范围） 3.分析：利用函数增减性、交点、最值等解决问题 4.作答：结合实际意义给出结论. 高频易错点 1.忽略 k0 的限制，导致概念判断错误 2.平移时混淆 “自变量加减” 与 “常数项加减”，左右平移易出错 3.实际问题中忘记限制自变量取值范围，导致结果不符合实际 4.数形结合时，混淆 “交点横坐标” 与 “不等式解集” 的对应关系 【模块一 基础概念与定义】 【题型1.正比例函数的图象与性质】 【典例】如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为________． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A． B． .C． D． 【跟踪专练2】若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为___________． 【跟踪专练3】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【题型2.一次函数的定义.自变量范围及求值】 【典例】已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【跟踪专练1】下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】y＝（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，则m的值是_____． 【跟踪专练3】已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣ 【题型3.一次函数解析式的确定与求解】 【典例】在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 【跟踪专练1】我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A． 正比例函数关系 B．一次函数关系 B． C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【跟踪专练2】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为______． 【跟踪专练3】如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【模块二 图象识别与位置判断】 【题型4.一次函数图象识别】 【典例】一次函数（）的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第_______象限． 【跟踪专练2】一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 【跟踪专练3】直线和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型5.由k.b判断图象经过象限】 【典例】若，则函数的图像不经过第______象限． 【跟踪专练1】已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一次函数中，若随的增大而增大，则它的图象不经过第_____象限． 【跟踪专练3】已知一次函数（a为常数），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 【题型6.一次函数图象平移问题】 【典例】直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为______． 【跟踪专练1】把直线向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【模块三 图象性质与增减性】 【题型7.一次函数增减性判断】 【典例】如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 【跟踪专练1】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为______． 【跟踪专练3】对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b=，则函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 【题型8.比较函数值大小】 【典例】已知点，都在直线上，则的关系是_______（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点，都在函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【跟踪专练3】二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9.一次函数与坐标轴交点我呢提】 【典例】一次函数的图象与轴的交点坐标为______． 【跟踪专练1】下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ）. A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为_________． 【跟踪专练3】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【题型10.两直线交点与方程组的关系】 【典例】如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中；④关于的方程的解是；则正确的序号有___． 【跟踪专练3】如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 【模块四 图象与方程.不等式综合】 【题型11.一次函数与一元一次方程】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为________． 【跟踪专练3】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【题型12.一次函数与一元一次不等式】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【跟踪专练1】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 【跟踪专练3】如图，若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型13.一次函数与二元一次方程组】 【典例】已知一次函数与（是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是______． 【跟踪专练1】如果实数满足，那么在直角坐标系中，过不同点与点的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为______． 【题型14.图象法解方程.不等式】 【典例】若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【跟踪专练3】如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【题型15.直线围成图形面积计算】 【典例】已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为________． 【跟踪专练1】如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【跟踪专练3】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【模块五 实际应用(高频大题)】 【题型16.一次函数应用:行程问题】 【典例】汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 【跟踪专练1】两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】小佳所在的宿舍、食堂及图书馆可以近似看作在同一直线上．周末，小佳从宿舍出发，先去食堂吃早餐，然后匀速到图书馆借书，最后又匀速返回了宿舍．已知小佳离宿舍的距离y（）与离开宿舍的时间x（）之间的函数图象如图所示： (1)求小佳从食堂前往图书馆的过程中，y关于x的函数表达式； (2)当小佳离宿舍的距离为时，求她离开宿舍的时间． 【跟踪专练3】两兄弟进行登山运动，从山脚的北温泉出发，目的地是缙云山的主峰狮子峰，哥哥走了2千米后弟弟才出发，图中表示弟弟出发后两兄弟离北温泉的距离s随时间t变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： (1)分别求出表达哥哥和弟弟登山过程中离北温泉的距离s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当哥哥到达目的地时，弟弟行进到山路上的某点A处，求A点距目的地的距离； (3)若哥哥到达目的地后休息1小时，沿原路下山，途中与弟弟相遇，相遇后各自按原路线下山和上山，问弟弟出发后经过多少小时与哥哥相遇以及此时离目的地的距离． 【题型17.一次函数应用:最大利润问题】 【典例】某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 【跟踪专练1】乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【跟踪专练2】为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【跟踪专练3】数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【题型18.一次函数应用:梯度计价问题】 【典例】西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为_______．（不要求写出自变量x的取值范围） 【跟踪专练1】某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【跟踪专练3】为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【题型19.一次函数应用:分配方案问题】 【典例】某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 【跟踪专练1】小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 【跟踪专练2】某电信公司手机的A，B两类收费方式如图所示，，分别表示每月通话费（元）与通话时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是时，A，B两类收费方式的话费分别是_________元和___________元，直线的函数表达式是____________． (2)求直线的函数表达式，并写出对应的一次函数中的实际意义． (3)如果你每月的通话时间为分钟，应选择哪类收费方式更省钱？ 【跟踪专练3】《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． (1)求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ (2)某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【题型20.一次函数与几何综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长_____．   . 【跟踪专练1】定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数及其应用突破讲义 【模块一 基础概念与定义】..............................................4 【题型01 正比例函数的图象与性质】.....................................4 【题型02 一次函数的定义.自变量范围及求值】.............................6 【题型03 一次函数解析式的确定与求解】.................................8 【模块二 图象识别与位置判断】.........................................11 【题型04 一次函数图象的识别】.........................................11 【题型05 由k.b判断图象经过象限】.....................................13 【题型06 一次函数图象平移问题】.......................................14 【模块三 图象性质与增减性】............................................17 【题型07 一次函数增减性判断】.........................................17 【题型08 比较函数值大小】.............................................19 【题型09 一次函数与坐标轴交点问题】...................................21 【题型10 两直线交点与方程组的关系】...................................24 【模块四 图象与方程.不等式综合】.......................................28 【题型11 一次函数与一元一次方程】......................................28 【题型12 一次函数与一元一次不等式】....................................30 【题型13 一次函数与二元一次方程组】....................................32 【题型14 图象法解方程.不等式】..........................................35 【题型15 直线围成图形面积计算】........................................37 【模块五 实际应用(高频大题)】...........................................41 【题型16 一次函数应用:行程问题】......................................41 【题型17 一次函数应用:最大利润问题】...................................46 【题型18 一次函数应用:梯度计价问题】...................................49 【题型19 一次函数应用:分配方案问题】...................................52 【题型20 一次函数与几何综合】.........................................56 ● 分值占比：一次函数是中考核心必考内容，总分值约 8–12 分，覆盖选择、填空、解答（函数综合、应用题）多种题型，是函数板块的基础得分关键。 ● 常考考点：聚焦一次函数的概念与解析式（正比例函数、一次函数的一般式、待定系数法求解析式）、图像与性质（k、b 的几何意义、增减性、截距、平移规律）、与方程 / 不等式的结合（函数图像与坐标轴交点、方程的解、不等式解集的几何意义）、实际应用（行程、工程、利润、方案选择等建模问题）、与几何图形综合（与直线、三角形、四边形的位置关系、面积计算）五大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与图像识别，中档题侧重解析式求解与性质应用，难题多以函数与几何综合、实际情境建模、最值 / 方案探究为主，且结合动态几何、跨学科情境的题型占比逐年提升，对 “数形结合” 能力的考查愈发突出。 ★知识梳理★ 知识点01:核心概念与定义 知识点 核心内容 易错提醒 一次函数 一般形式：y=kx+b（k0，k,b 为常数）自变量 x 次数为 1，k 是斜率，b 是截距 若 k=0，则退化为常数函数 y=b，不是一次函数 正比例 函数 特殊形式：y=kx（k0）是一次函数当 b=0 时的特例 必过原点 (0,0)，是过原点的直线 自变量取值范围 一般为全体实数实际问题中需满足实际意义（如时间、长度非负） 应用题中必须结合情境限制 x 的范围 知识点02:图像与性质 1. 图像形状 一次函数的图像是一条直线，两点即可确定（通常取与坐标轴的交点）。 正比例函数图像是过原点 (0,0) 的直线。 2. 图像与 k,b 的关系 k 符号 增减性 b 符号 与 y 轴交点位置 图像所在象限 k>0 y 随 x 增大而增大 b>0 (0,b) 在正半轴 一、二、三 k>0 y 随 x 增大而增大 b<0 (0,b) 在负半轴 一、三、四 k<0 y 随 x 增大而减小 b>0 (0,b) 在正半轴 一、二、四 k<0 y 随 x 增大而减小 b<0 (0,b) 在负半轴 二、三、四 3. 平移规律 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 知识点03:解析式求解（待定系数法） 一般步骤 1.设：设函数解析式为 y=kx+b（正比例函数设 y=kx） 2.代：将已知点坐标代入解析式，得到关于 k,b 的方程（组） 3.解：解方程（组）求出 k,b 4.写：写出最终解析式 知识点04:与方程、不等式的联系 1. 与一元一次方程 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标 (−​,0) 方程 kx+b=m 的解 ⇔ 直线 y=kx+b 与直线 y=m 交点的横坐标 2. 与一元一次不等式. kx+b>0 ⇔ 直线 y=kx+b 在 x 轴上方部分对应的 x 取值范围 kx+b<0 ⇔ 直线 y=kx+b 在 x 轴下方部分对应的 x 取值范围 k1x+b1>k2x+b2​⇔ 直线 y1在直线 y2上方部分对应的 x 取值范围 3. 与二元一次方程组 方程组 的解 ⇔ 两条直线的交点坐标 若 k1=k2且 b1b2，两直线平行，无交点 ⇔ 方程组无解 若 k1=k2且 b1=b2，两直线重合 ⇔ 方程组有无数解 知识点05:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 1.审题：提取变量，确定自变量与因变量 2.建模：根据题意列出函数关系式（注意取值范围） 3.分析：利用函数增减性、交点、最值等解决问题 4.作答：结合实际意义给出结论. 高频易错点 1.忽略 k0 的限制，导致概念判断错误 2.平移时混淆 “自变量加减” 与 “常数项加减”，左右平移易出错 3.实际问题中忘记限制自变量取值范围，导致结果不符合实际 4.数形结合时，混淆 “交点横坐标” 与 “不等式解集” 的对应关系 【模块一 基础概念与定义】 【题型1.正比例函数的图象与性质】 【典例】如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求正比例函数的函数值，先设出这个正比例函数解析式，并利用待定系数法求出对应的解析式，再求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设这个正比例函数的解析式为， 把点A坐标代入中得：， ∴， ∴这个正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A． B． .C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质．根据正比例函数的性质，反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：正比例函数中，函数图象经过二、四象限； 反比例函数中，函数图象经过一、三象限； 只有A符合． 故选：A． 【跟踪专练2】若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为___________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【跟踪专练3】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2a+c＜0，再根据反比例函数图象的性质和正比例函数图象的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵， ∴b＝﹣a＞0， ∴ab＜0，反比例函数y＝在第二、四象限， ∵当x＝﹣1时，y＜0，即a-b+c＜0， 把b＝﹣a代入得，2a+c＜0， ∴正比例函数y＝（2a+c）x的图象经过原点，且在第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正比例函数和反比例函数图象与比例系数的关系，解题关键是通过二次函数图象得出关于正比例函数和反比例函数比例系数的符号解决问题． 【题型2.一次函数的定义.自变量范围及求值】 【典例】已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练1】下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握“形如（、为常数，且）的函数是一次函数”是解题的关键． 根据一次函数的定义，分析各选项：A中可能为；B可能为二次或常数函数；D为反比例函数；C中恒为正，故与成正比，一定是一次函数． 【详解】解：∵ 一次函数需满足， 对于A，若，则，不是一次函数，故A不符合题意； 对于B，若，则为二次函数，故B不符合题意； 对于C，，，，符合（、为常数，且）的形式，一定是一次函数，故C符合题意； 对于D，，为反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】y＝（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，则m的值是_____． 【答案】1 【分析】根据一次函数的定义可得 【详解】解：∵y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数， ∴ 解得m=1． 故答案为1． 【点睛】考核知识点：一次函数.理解定义是关键. 【跟踪专练3】已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣ 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3， 解得：x=﹣2； 若x≥2，当y=3时，﹣=3， 解得：x=﹣，不合题意舍去； ∴x=﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 【题型3.一次函数解析式的确定与求解】 【典例】在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 【答案】 【分析】先把点代入直线求出，再点代入直线求解即可． 【详解】解：将代入直线得：， ∴， 将代入直线得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的特征，准确计算是解题的关键． 【跟踪专练1】我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） . A． 正比例函数关系 B．一次函数关系 B． C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 【跟踪专练2】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质计算即可． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， ，，，， ，，，， ， 关于x的函数解析式为， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数表达式． 【详解】解：设边的长为，边的长为， ∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 又， ∴，解得：， ∴， ∴，且， 故选：B． 【模块二 图象识别与位置判断】 【题型4.一次函数图象识别】 【典例】一次函数（）的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质.根据一次函数的性质：“直线中，当时，直线从左往右上升，当时，直线从左往右下降；当时，直线与y轴正半轴相交，当时，直线与y轴负半轴相交”，据此解答即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限， 当时，一次函数的图象经过二、三、四象限， 观察四个选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第_______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，根据一次函数经过第一、二、四象限，得出，再结合一次函数进行分析，得出一次函数经过的象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴， ∴经过第一、三、四象限， 故一定不经过第二象限． 故答案为：二 【跟踪专练2】一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 【答案】一 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握一次函数的图像与性质． 由，可判断一次函数各项系数的符号，再根据一次函数各项系数确定其图像所经象限． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，． ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴该图像不过第一象限． 故答案为：一． 【跟踪专练3】直线和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 首先设定一个为一次函数的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可． 【详解】解： 的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项 C、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，；由的图象可知，，则，两结论不互相矛盾，故正确； D、如果过第一、二、三象限的图象是，由的图象可知，；由y2的图象可知，，则，两结论相矛盾，故错误． 故选C． 【题型5.由k.b判断图象经过象限】 【典例】若，则函数的图像不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，结合图像走向和与坐标轴交点位置，利用数形结合思想确定不经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 故答案为：四． 【跟踪专练1】已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】在一次函数中，若随的增大而增大，则它的图象不经过第_____象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由随的增大而增大可得，进而由，可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 【跟踪专练3】已知一次函数（a为常数），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性得到一次项系数的取值范围，再判断常数项的符号，最终根据一次项系数和常数项的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，y随x的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得 ， 常数项 ， 即该一次函数中，，， ，函数图象过第二、四象限， ，函数图象与y轴交于正半轴，过第一象限， 这个函数的图象经过第一、二、四象限． 【题型6.一次函数图象平移问题】 【典例】直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：直线向左平移3个单位得到直线， 故； 故答案为：0． 【跟踪专练1】把直线向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平移规则得到直线的解析式，再代入选项验证即可． 【详解】解：∵把直线向右平移2个单位长度可以得到直线， ∴的表达式为， A．将代入， ∴点不在直线上，故A不符合题意； B．将代入， ∴点在直线上，故B符合题意； C．将代入， ∴点不在直线上，故C不符合题意； D．将代入， ∴点不在直线上，故D不符合题意． 【跟踪专练2】如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，第一象限内的点的坐标特点，先求出平移后直线解析式为，再求出直线与与直线的交点坐标为，则根据题意可得在第一象限，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：把直线向下平移m个单位长度后得到的直线解析式为， 联立， 解得， ∴直线与与直线的交点坐标为， ∵直线与与直线的交点在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可，正确把握变换规律是解题关键． 【详解】解：∵将直线平移后得到直线， ∴，或， 解得：或， 故将直线向右平移个单位得到直线或将直线向上平移个单位得到直线， 故选：． 【模块三 图象性质与增减性】 【题型7.一次函数增减性判断】 【典例】如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过点，可知函数图象经过第二象限，根据函数图象与轴的交点在原点右侧，可知函数图象经过第一象限，所以可知该函数图象经过第一、二、四象限，所以函数值随自变量的值增大而减小． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 函数图象经过第二象限， 函数图象与轴的交点在原点右侧， 函数图象经过第一象限， 一次函数的图象不经过第三象限， 该函数图象经过第一、二、四象限， 函数值随自变量的值增大而减小． 故答案为：减小． 【跟踪专练1】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，二次函数和反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴随着的增大而增大，不符合题意； B、∵，二次项系数， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，符合题意； C、∵，， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； D、∵，二次项系数， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第一象限，得出，，判断出函数的增减性，再把和代入函数解析式得出函数值，再根据当时，的最大值与最小值的差为5，得出，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：一次函数的图象不经过第一象限， ，， 随着的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为5， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b=，则函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据题意得到y=x2∅（2﹣x）=，根据函数的性质即可得到结论． 【详解】∵a∅b=，∴y=x2∅（2﹣x）=． ∵x2＞2﹣x ∴x2+x﹣2＞0，解得：x＜﹣2或x＞1，此时，y＞1无最小值． ∵x2≤2﹣x，∴x2+x﹣2≤0，解得：﹣2≤x≤1． ∵y=﹣x+2是减函数，∴当x=1时，y=﹣x+2有最小值是1，∴函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是1． 故选C． 【点睛】本题考查了新定义和函数的性质及其应用，不等式的解法，正确的理解题意是解题的关键． 【题型8.比较函数值大小】 【典例】已知点，都在直线上，则的关系是_______（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及增减性判定函数值大小知识，由直线确定函数中值随着的增大而减小，再由点的横坐标大小即可判断答案，熟练掌握一次函数增减性确定函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线中，， ∴函数中值随着的增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若点，都在函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次项系数判断函数的增减性求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 【题型9.一次函数与坐标轴交点我呢提】 【典例】一次函数的图象与轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，令，代入一次函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程与一次函数的关系．熟悉二元一次方程的所有解与对应一次函数图像上的点一一对应，函数图像的识别：根据斜率或与坐标轴的交点判断对应的直线是解题的关键．将二元一次方程变形为一次函数的表达式，求与坐标轴的交点，判断对应的选项即可． 【详解】解：将二元一次方程变形为一次函数的表达式：， ∵， ∴函数图像呈上升趋势， 令，代入得， ∴直线与轴交点为， 令，代入得，解得， ∴直线与轴交点为． 故选：． 【跟踪专练2】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 依据题意，分两种情况：或，分别画图计算边界点可解答． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过， 分两种情况： ①当时，如图1， 当时，， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由①知：点A的坐标为， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； 综上，m的取值范围为：或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 【题型10.两直线交点与方程组的关系】 【典例】如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解即可得到答案； 【详解】解：∵一次函数的图像与的图像相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中；④关于的方程的解是；则正确的序号有___． 【答案】①④/④① 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，两直线的交点与二元一次方程组的解，判断一次函数的增减性，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【跟踪专练3】如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，由于P的纵坐标为1，故点P在直线y=1上，要求符合题意的m值，则P点为直线与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得． 【详解】解：∵点是内部（包括边上）的一点， 故点P在直线上，如图所示， 当P为直线与直线的交点时，m取最大值， 当P为直线与直线的交点时，m取最小值， 由解得，即m的最大值为2； 由解得，即m的最小值为． ∴只有0符合题意， 故选：D． 【模块四 图象与方程..不等式综合】 【题型11.一次函数与一元一次方程】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 【题型12.一次函数与一元一次不等式】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据图象可得，两直线交点的横坐标为1，即可得到当时，的取值范围． 【详解】解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1， ∴当时，的取值范围为， 故选D． 【跟踪专练2】在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． . 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 【跟踪专练3】如图，若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、根据函数图象确定不等式的解集等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据结合坐标与图形求得，即；再根据函数图象确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵，，轴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 由函数图象可知：不等式的解集为或． 故选D． 【题型13.一次函数与二元一次方程组】 【典例】已知一次函数与（是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图像的交点坐标是， ∴方程组解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【跟踪专练1】如果实数满足，那么在直角坐标系中，过不同点与点的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，理解题意是解题关键． 首先根据条件列出方程组，然后根据过P和Q两点情况，观察可以得到方程组中方程的系数，即可得出该直线方程． 【详解】解：根据条件可知． 设同时过点与点的直线方程是， 根据题意得：该直线方程的系数与方程组中方程的系数一致， 即， ∴该直线方程为 ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 【跟踪专练3】方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，得出与的值是解题关键． 根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到方程组的解为，然后把代入方程组求出和的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得方程组的解为， ∴解得 ∴， 故答案为：． 【题型14.图象法解方程.不等式】 【典例】若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 【题型15.直线围成图形面积计算】 【典例】已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，根据即可求解． 【详解】解：，， ，． 直线与坐标轴围成的三角形面积为6， ，即 ． 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 【模块五 实际应用(高频大题)】 【题型16.一次函数应用:行程问题】 【典例】汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 【答案】汽车行驶的速度为 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，将代入函数的解析式，求得k的取值，从而得出k的意义是汽车行驶的速度． 【详解】解：根据函数图象可知：时，． 将，代入得：． 解得， ∴k的具体含义是汽车的行驶速度为， 故答案为：汽车的行驶速度为． 【跟踪专练1】两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为，故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距，故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得：； 故或时，乙比甲多行驶．故④正确； 综上，正确的有3个． 故选：C． 【跟踪专练2】小佳所在的宿舍、食堂及图书馆可以近似看作在同一直线上．周末，小佳从宿舍出发，先去食堂吃早餐，然后匀速到图书馆借书，最后又匀速返回了宿舍．已知小佳离宿舍的距离y（）与离开宿舍的时间x（）之间的函数图象如图所示： (1)求小佳从食堂前往图书馆的过程中，y关于x的函数表达式； (2)当小佳离宿舍的距离为时，求她离开宿舍的时间． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的函数解析式即可； （2）根据函数图象，再次利用待定系数法求出的函数解析式，分别求出小佳在和两种情况下，小佳离宿舍的距离为的时间． 【详解】（1）解：由图象可知：小佳从食堂前往图书馆的过程中，，即函数过、， 设y关于x的函数表达式为， 则， 解得， 则y关于x的函数表达式为； （2）解：小佳从图书馆返回宿舍的过程中，，即函数过、， 设此时，y关于x的函数表达式为， 则， 解得， 则小佳从图书馆返回宿舍的过程中，y关于x的函数表达式为， 当小佳从食堂前往图书馆的过程中，离宿舍的距离为时， 即， 解得； 当小佳从图书馆返回宿舍的过程中，离宿舍的距离为时， 即， 解得， 综上所述，当小佳离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为或． 【跟踪专练3】两兄弟进行登山运动，从山脚的北温泉出发，目的地是缙云山的主峰狮子峰，哥哥走了2千米后弟弟才出发，图中表示弟弟出发后两兄弟离北温泉的距离s随时间t变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： (1)分别求出表达哥哥和弟弟登山过程中离北温泉的距离s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当哥哥到达目的地时，弟弟行进到山路上的某点A处，求A点距目的地的距离； (3)若哥哥到达目的地后休息1小时，沿原路下山，途中与弟弟相遇，相遇后各自按原路线下山和上山，问弟弟出发后经过多少小时与哥哥相遇以及此时离目的地的距离． 【答案】(1)哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． (2)A点距目的地的距离为千米． (3)弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可． （2）当时，哥哥到达目的地，再进一步求解即可． （3）设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上，进一步可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为 ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为， 把代入得：， ∴， ∴弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． （2）解：当时，哥哥到达目的地， ∴， ∴A点距目的地的距离为（千米）． （3）解：设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上， 把，代入得： ， 解得：， ∴哥哥下山的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴， ∴弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 【题型17.一次函数应用:最大利润问题】 【典例】某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【答案】B 【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润． 【详解】解：设与的一次函数关系式为， 由图可得， 解得， 所以与的一次函数关系式为， 把代入可得， 所以销售利润为（元）． 故选B． 【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 【跟踪专练2】为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 【跟踪专练3】数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元 (2)与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个毛绒玩具价格为元，每个编程玩具价格为元， 由题意得，， 解得， 答：每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元． （2）解：由题意得编程玩具有个， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值为， 答：与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元． 【题型18.一次函数应用:梯度计价问题】 【典例】西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为_______．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可． 【详解】解：， 所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 【跟踪专练2】小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本 (3)应选择甲商店更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立函数解析式． （1）根据总价单价数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据题意得，可得方程，再解方程即可； （3）将分别代入两个函数解析式，求出函数值，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． ∵， ∴应选择甲商店更优惠． 【跟踪专练3】为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 【题型19.一次函数应用:分配方案问题】 【典例】某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可． 【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时， 在上面，即＞， ∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键． 【跟踪专练1】小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 【跟踪专练2】某电信公司手机的A，B两类收费方式如图所示，，分别表示每月通话费（元）与通话时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是时，A，B两类收费方式的话费分别是_________元和___________元，直线的函数表达式是____________． (2)求直线的函数表达式，并写出对应的一次函数中的实际意义． (3)如果你每月的通话时间为分钟，应选择哪类收费方式更省钱？ 【答案】(1)25，32， (2)直线函数表达式是，k的实际意义是：B类收费方式为每分钟通话费用为元 (3)应选择B类手机收费方式，理由见详解 【分析】根据已知图象找到经过直线的点，代入解析式求解即可，把通话时间代入到解析式中求解即可得答案． 【详解】（1）解：根据所给图象可得：当通话时间是时，类收费方式的话费为元，类收费方式的话费为元， 设直线的解析式为， 直线过点， ， ， ； （2）解：把和代入，得： ， 解得：， 所以直线函数表达式是， k的实际意义是：B类收费方式为每分钟通话费用为元． （3）解：应选择B类手机收费方式，理由如下， ， 解得：， 由图知若通话时间大于，应选择类手机收费方式： 大于，应选择类手机收费方式． 【跟踪专练3】《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． (1)求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ (2)某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】(1)哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元 (2)有3种购买方案；购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元，根据购买的数量相等列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个，总费用为W元，先列不等式求出，且m为正整数，再列出W关于m的函数解析式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； （2）解：设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个， 根据题意可得不等式组：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m可以为35，36，37． 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣个． 设总费用为W元，则 ， ∵， ∴W随m的增大而减小， 所以当时，W最小， 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少． 【题型20.一次函数与几何综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长_____．   . 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，作，由题意得,；证，得，推出，设，则,根据，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    令，则；令，则； ∴,； ∵平分，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，直角坐标系下三角形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）根据可得点A和点B的坐标，将点代入求解即可； （2）先求解点C的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （3）先由面积求解出的长度，由此可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，即，， ∴，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：由题意，联立，解得， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：∵，解得， 设点P的坐标为， ∵点，即， ∴，， 解得，， ∴或． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用． （1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可． （3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：， 则反比例函数解析式为：； 将点代入，得：，则 将点的坐标代入一次函数解析式，得： ，解得：， 故一次函数解析式为：． （2）解：设与轴交于点， 一次函数解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， ， ． （3）解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $