2026届湖南省多校联考高三第二次联考（暨怀化市一模） 数学试题

高 三数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知复数之满足(1十i)x=2十i,则x在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.全集U={1,2,3,4},2∈B,且B二U,则满足条件的集合B的个数为 A.8 B.7 C.4 D.2 3.在平行四边形ABCD中，A它=号AD,BE与AC交于点R,若A成=mAC,则m的值为 A司 B号 c D号 超 4.已知圆C1:(x-1)2十y2=1与圆C2:(x十2)2+(y一4)2=a2(a>0)相切，则a= A.4 B.6 C.4或6 D.16或36 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)+f(x)=4,且f(0)=0,则f(2026)= A.0 B.2 C.3 D.4 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin C+b=2bcos2 +acos B,则△ABC一 定为 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 7设0为坐标原点，R,B是号芳-1(。>0,6>0)的左右焦点，若在双曲线上存在点卫，满足 三角形F1PF2的面积为√3b,|OP|=√5a,则该双曲线的离心率为 A.√21 B.21 3 C.5 D.3 数学试题(J)第1页（共5页） 8.在平面直角坐标系中，曲线y=√4一x2绕着y轴旋转一周得到一个旋转体2，在2中放入4个 半径为r的小球，四个小球均与旋转体2的表面以及开口平面相切，则小球半径r的最大值为 A.√3 B.√3-1 C.√2 D.√2-1 二，选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是 A.数据1,2,2,2,3,3,3,4,5的众数是2 B.数据一3，一1,3,7,8,9,11,15的第25百分位数是1 C.若随机变量5B(4,4),则E(35-2)=1 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x=9.850.依据α=0.01的独立性检验 (x.o1=6.635),可判断变量X与Y不独立 10.已知数列(a}的首项a1=3,且满足”+1-n= 1 ，下列说法正确的有 anam+1am·at1 A.a2=2 B.数列{nan}为等差数列 C.数列{(an一1)(am+1一1)》的前n项和大于4 D.{an·a+1}为单调递减数列 1.已知椭圆E荐+芳=1(。>>0)的右焦点为F1,0),过点F的直线与E交于A,B两点，当 A为E的上顶点时，AF=3.过点A作直线L:x=9的垂线，垂足为M,直线MB与x轴交 于点N,直线NA的斜率为1，直线NB的斜率为2，则下列说法正确的是 A.椭圆E的短轴长为42 B.三角形AFN的面积的最大值为4√2 C.四边形AOBN的面积的最大值为15√2 D.设AB的中点的横坐标为s,则为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=2 sin x十4 cO的两个相邻零点间的距离为受，则f()=一。 13.已知≥0，且39=3，则宏+a千6的最小值为 数学试题(J)第2页（共5页） 14.如图，要用2个元件组成一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常 工作，已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏 的元件个数为X,则E(X4)= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）》 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2十a3=0,5a2十a4十2=0. (I)求数列{an}的前n项和Sn; (2)记bn=2a,数列{bn}的前n项积为Tm,求Tn十Sn的最小值， 16.(本小题满分15分) 我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占 更多的市场份额，计划加大广告投人.该公司近5年的年广告费x:(单位：百万元)和年销售量 y:(单位：百万辆)关系如图所示： 年销售量（佰万辆） 14 10 ● 8 ● 0123456年广告费（百万元） 令=血x(i=12,…5),数据经过初步处理得：含=4，含≈4.8，含(-)2-10， 含(0-)2=40.3，含(u-⑦2≈1.612，含(x-0-列=17.085，含(0-(m-0≈ 7.657.现有①y=bx十a和②y=nlnx十m两种模型作为年销售量y关于年广告费x的回归 分析模型，其中a,b,m,n均为常数. 数学试题(J)第3页（共5页） (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，A省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲、乙两 人近期在A省购买一辆该新能源汽车的概率分别为p,3印一1，其中}<<号，每人最多 购买一辆.求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围. 参考数据：√403≈20.1，√64.9636=8.06. 含z-)(0-) 相关系数r= 17.(本小题满分15分) 在抛物线T:y2=2x(p>0)中，直线1与T交于A,B两点，F为T的焦点.当直线1为 y=x-4时，AB=4/10】 (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)若线段AB中点的纵坐标始终为1，求AF十BF的取值范围； (3)已知直线x=m与T相交于P,Q两点，直线x=n与T相交于C,D两点（点P,C在x 轴的上方)，若|CD=4PQ|,四边形PQDC的外接圆圆心坐标为(s,t),求证：s十t>2. 数学试题（灯）第4页（共5页） 18.(本小题满分17分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形， AB=2AD=4,ADLBD,二面角P-AD-B的平面角大小为0,0∈[晋，]，Q为AB的 中点. (1)设平面QPC∩平面PAD=l,求直线L与直线AD的夹角大小； (2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值的最大值； (3)设N为侧棱PC上一点，四边形AENF是过A,N两点的截面，分别交PD,PB于E,F两 点，其中E为PD的中点，BD∥平面AENF,求四棱锥P-AENF的体积的取值范围. 19.（本小题满分17分) 设函数f(x)=x3一ax一b,x∈R,a,b∈R (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)当a=2,b=0时，函数f(x)的图象上有且仅有2个点到原点距离为d,求d的取值范围； (3)函数f(x)的图象上是否存在唯一的一组点A1,A2,…,An,构成正n多边形，n∈N且 n3?若存在，请求出所有满足条件的n以及对应a的值；若不存在，请说明理由.高三数学参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D A B B 1.D【解析】因为(1+i)x=2十i,所以之= 侣二}-号，在复平西肉对应的点为（号，一》，位于 第四象限，故选D. 2.A【解析】因为{1,3,4)的子集有8个，故选A 3.C【解析】AR=mAC=m(AB+AD)=m(AB+3AE)=mAB+3mAE,因为R,B,E三，点共线，所以m十3m =1,即m=子故选C 4.C【解析】若圆C1与圆C2相外切，则a十1=|C1C2|=√(1+2)2十(0-4)2=5，所以a=4; 若圆C1与圆C2相内切，则|a-1|=|C1C2|=√(1十2)2+(0-4)2=5，因为a>0,所以a=6, 综上，a=4或6，故选C. 5.D【解析】因为f(x+2)+f(x)=4,所以f(x+4)十f(x+2)=4, 两式相减得f(x十4)=f(x),故f(x)的一个周期为4， f(x+2)+f(x)=4中，令x=0得f(2)+f(0)=4,又f(0)=0,故f(2)=4, 所以f(2026)=f(506×4十2)=f(2)=4,故选D. 6.A【解析】由asin C+-6=2bcos2号十acos B化简可得asin C-=6cosA十acos B,所以sin Asin C=- sin Beos A+--sin Acos B,即sin Asin C-=sin(A+B)=sinC,图为sinC≠0，所以sinA=l,即A=受，所以 △ABC一定为直角三角形，故选A 7.B【解析】解法一：不妨设，点P在双曲线的左支上，|PF|=x,则|PF2=2a十x, 因为∠POF1+∠POF2=π，所以cos∠POF1十cOs∠POF2=0, 所w2+5a)-t++5a)-2a+x)-0, 2c·√5a 2c·√5a 化简得x2+(2a十x)2=2(c2+5a2),整理得x(x十2a)=c2+3a2, 设∠F1PF2=20, PF2-PF|=2a,PF2+PF212-2 PFPF2 cos 20=4c2, 所以PF.IpF.-蓝 所以三角形APF的面积S=号PR1 PF.lsin20- tan日3b, 所以1m0=号，∠RPE=60, 由余弦定理得x2+(2a+x)2-2x(x十2a)cos60°=4c2,整理得x(x十2a)=4c2-4a, 所以c2+3a2=4c2-4a2,化简得3c2=7a2, 所以e=台-故选B 解法二：设P(xo,yo),F1(-c,0),F2(c,0), 则由Sms=号FF·o=c·%-36,得1%=3. 又夏-普-1，则对=公+景城=d+斧，学-3a, c2 又10p川-5a,则op=+塔=a++踏=a沙c+》=公+32-）=d, C2 c 数学试题(J)参考答案一1 即3=7a,e--子，-√骨-选B =a=3,e=√3= 8.B【解析】如图所示，两球的对角球心距|AB|=√(2r)2+(2r)2=2√2r,所以|OA|=√3r,所以√3r+r=2,解 得r=√3一1，故选B. A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD ABD ABD 9.BCD【解析】对于A,数据1,2,2,2,3,3,3,4,5中2和3各出现了三次，所以该组数据的众数是2和3，故A错 对于B,8个数从小到大排列，因为8X0.25=2,所以取第2个数与第3个数的平均数，得)十31， 正确；对于C,因B(4,）,则E)=4×=1,故E(3G-2)=3E()一2=1，故C正确；对于D,因为= 9.850>6.635,所以变量X与Y不独立，故D正确.故选BCD. 10.ABD【解析】计算可得a2=2,故A正确； 由”十1-n=。1一可得（十1）a+1-a,-1,则数列{m,}是以3为首项，1为公差的等差教列，即na anam+1an·an+1 =3十(m-1)X1=十2，即a,=n十2，故B正确； n a一1D(a一1》-品异一4（日）则数到a-1)a一D的前u项和为4-)4， 故C错误； 数列{an}为正的单调递减数列，则a+1·a+2一an·a+1=an+1(an+2一an)<0,故D正确.故选ABD. 11.ABD【解析】记椭圆E的半焦距为c,由右焦点为F(1,0)可得c=1, 而当A为E的上顶点时，AF=√b十c2=a=3, 所以b=√a2一c2=2√2，所以短轴长2b=4√2，故A正确； 精国E的方程为号十苦=1， 设lAB:x=my十1，A(c1y),B(x2,y2),， 联立/x=my+1, 8x2+9y2-72=0, 整理得(8m2+9)y2+16my-64=0, 16m 64 可得1十为=一8m24gn%=一8m+9' 即my1y2=4(y1+y2), 易知M(9,y),直线MB的斜率为1二业， 9一x2 故直线MB的方程可表示为y一y=兽二业(x一9)， -9-x2 当y=0时，显然y1≠y2, 故x=9-当(9-)=91-9%-9+(m%十1)y=m十1)y-9业-my十-9业 y1一y2 y1一y2 y1一y2 y1一y2 =4(y十2)十y一92=51-52=5， y1一y2 y1一y2 所以直线MB过定点N(5,0). 当点A为椭圆的上、下顶点时，△AFN的面积取最大值号×(5-1)X22=4巨，故B正确： 数学试题(J)参考答案一2 网边形A0BN的面积=号×5-=120×平弄令vm干=合1， 120Xgm2+-120E40 8号-≤智，当1=1，即m=0时，四边形A0BN的面积取爱大值9，故C错误； 由B可得AB的中点的纵坐标为r=当十业=一、8m 9 2 8m23所以8=mr十1元849十1户3m22 则6=6产店‘兰亏厂m (m:-4为8十)十i6 y1y2 y1y2 -64 =-64m2-4m·(-16m)+16(8m2+9)=8m2+9’ 所以色鱼=一香即品是定使一台故D正晚故选ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.√3一2或-√3一2（答对其中任意一个都给3分。） 【解析】函数f(x)=2 sin w-十4 cOS wx的两个相邻零点间的距离为乏，则函数f(x)的周期为元，即w=2或 -2,则函数f(z)=2sin2x+4cos2x或f(x)=2sin(-2x)+4cos(-2x),则f(5）=√3-2或-√3-2 13巨【解标18·g=,守a十=1，又锡+年6分+6中≥2√无·希=区，当且仅当分- 6年1即-1+2时等号成立 14.号【解析】m=4时，系统有4个单元，每个单元2个元件，各单元之间相互独立， 设A:某单元正常工作，B:单元中有损坏元件， ×子×2 则P(BA)=PAB)= P(A) 号，从而X~B(4,号），E(X)=4X号-是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)因为数列{an}是等差数列，且a2十a3=0,5a2十a4十2=0， 所以2a1十3d=0,6a1十8d十2=0，…2分 解得a1=-3,d=2,…4分 所以a阳=2n-5,…5分 所以Sn=a1十a2十…十an=n2-4n…6分 (2)由题可知bn=2,则Tn=29+十叶n=2,…8分 又f(x)=2z十x在R上单调递增，且Sm在n=2时取得最小值一4， 10分 则T,十8=2必十5在0=2时取得最小值站-4=能 ……13分 16.【解析】(1)设模型①和②的样本相关系数分别为n1,r2, 、5 由题意可得：r1= 含(x一)(y） 17.085_=17.085=0.85,…3分 √/10×w/40.320.1 r2= 含-)- V6亚-085， 7.657 …6分 √含(y-√含(- 所以r1<r2,由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.…7分 (2)设甲、乙两人购买新能源车的总数量为X,则X的可能取值为0,1,2， P(X=0)=(1-p2)[1一(3p-1)]=(1一p2)(2-3p),…8分 P(X=1)=(1-2)(3p-1)+2[1-(3p-1)]=3-1-3p3+p2+22-33=3p2-6p3+3p-1,…9分 P(X=2)=p2(3p-1)=3p3-p2,…10分 所以E(X)=0×(1-p2)(2-3p)+1×(3p2-6p3+3p-1)+2×(3p3-p2)=p2+3p-1,…12分 数学试题(J)参考答案一3 依题意，每购买一辆新能源车，发放6000元补贴， 因此该省对甲、乙两人补贴总金额期望值为6000(2十3一1)=6000p2+18000p一6000，…13分 因为}号， 2 所以6000X日+13800X号-6000<60082+1800p-600<6000X号+1800×号-60， 3 3 即2000<60p+18000p一6000<26000， 3 39 …………………… 14分 故该省对甲，乙两人补贴总全领期望值的取值范因是(2四，269”) …15分 17.【解析】(1)当直线1为y=x-4时，联立y一x-4, y2=2px, 消去x得y2-2py-8p=0,… …1分 所以△=(-2p)2-4X1×(-8p)=4p2+32p>0,y1十y2=2p,y1y2=- 8巾，………2分 所以AB到=√1+是1-%=2.V(+y)-49-2.V4p+32p=4而，…3分 化简得2十8-20=0，所以力=2或力=一10（舍），…4分 所以抛物线T的标准方程为y2=4x.…。 5分 (2)设直线AB:x=ty+b,A(c1y),B(x2,y2), 联立Y二4红，消去工得y一4y一46=0， x=ty十b, 所以△=(-4t)2+16b=16(2+b)>0,y1+y2=4t,y1y2=-46, …6分 因为AB中点的纵坐标为1，所以y1十y2=2, 以42，所以t7,所以x三7y汁h,… 又Ar到+BF到=(+1)+（十1）=（✉+）+2-2(0十为)+26+1)=26+3，.8分 因为△=16(e+b)>≥0，所以6>-2=-子，所以AF到+BF到>号， …9分 故AF+BF的取值范国为（号，+∞ ，…10分 （3)由已知可得m,m≥0，联立4”得P(m,2vm),Q(n,-2m), x=m, 则|PQ|=4√m,同理可得C(n,2√n),D(n,-2√n),CD=4Vn,…11分 当CD=4|PQ时，4Vn=4X4√m,解得n=16m,… …12分 由对称性可得四边形PQDC的外接圆圆心在x轴上，故t=0,设圆心为S(s,0), 因为SP|=|SC,所以√(s-m)2+(0-2m)7=√(s-n)2+(0-2√n)2,…13分 将n=16m代入整理得6sm=51m2+12m,. …14分 因为m>0,所以三17m+2,所以S十217m十2>215分 18.【解析】(I)延长CQ交DA的延长线于点S,则PS为交线l,…2分 因为Q为AB的中，点，AD∥CB,所以A为SD的中点，所以SA=AD,. 3分 因为侧面PAD是等边三角形，所以PA=AD,∠PAD=晋， 所以SA=PA,∠PAS-,所以∠PSA=∠SPA=看， 所以所求角为晋 4分 (2)取AD的中点O,连接QO,由AD⊥BD,则OQ⊥AD, 分别以OA,OQ所在直线为x轴和y轴，以过O垂直于底面ABCD的直线为 之轴建立空间直角坐标系， A(1,0,0),B(-1,2√3,0)，C(-3,2√3,0)，D(-1,0,0),P(0w3c0s0W3sin0),…5分 数学试题(J)参考答案一4 则OA=(1,0,0),OP=(0w3cos0,W3sin0),C2=(3,W3cos0-2/3,W3sin0), 设平面ADP的法向量为n=(x,y,z), OA·n=x=0, 则 op.n=√3cos0·y十3sin0·z=0, 令y=sin0,则之=-cos0,n=(0,sin0,-cosθ).. 6分 设直线PC与平面PAD所成角为a,则sina=- 23sin 0 sin20 /1-cos20 24-12cos0 V2-cos 0 2-cos 0' …7分 令1os0e[],fa-号则f0-2, 令f(x)=0,结合t的取值范围可知t=2一√3，… 8分 所以函数f0在[-2-3]上单调递增，在[2-3，] 上单调递减， 所以f(t)的最大值为f(2-√3)=4一2√3， 9分 所以(sina)mx=√3-l.… 10分 (3)由题意可知EF∥BD,所以，点F为PB的中，点，… 11分 设PN=λPC,AN=xA它+yA京， 因为A范-2A+2AD,A市-2A+2A成， AN-AAC+(1-A)AP-(1-A)AP+AAB+AAD, 12分 所以AN=xA+yA市=（受+）A+A+受A方， 13分 所以1一一营十岁A=分A=受，所以入=子 …14分 即VBp=VrAF+VraN=Vxm+VEr=4VpD十4VPaD=4VrAD十ZVomAD=3 VAND =3×号×2×2×2/X/sin0=号in0.… …16分 因为si血9e[合，1]，所以Vw∈[日号引 …17分 19.【解析】(1)f(x)=x3一ax-b,定义域为R, 则f(x）=3x2一a,… …1分 分两种情况讨论： ①当a≤0时，有f(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为R; 2分 ②当a>0时，令f(x)=3xr2-a=0,解得x=-0或=3@ 3 3 当>或-时，f)=3-a心0，f)单羽递增， 3 当-<r<0时，f()=3r-a<0,f)单调造减， 3 枚通教)的单羽造增区间为（一0，），(，十)，单明适减区间为(-，巴)。 …4分 (2)当a=2,b=0时，f(x)=x3-2x, d=x2+y2=x2+(x3-2x)2=x6-4x4十5x2,令t=x2,g(t)=t3-4t2十5t(t>0),…5分 则g(t)=3-8t+5=(3t-5)(t-1), 所以当0<1或>号时，g(o)>0,当1<<号时，g()<0,… …6分 所以函数g()的单羽道增区间为(0,1)，（停十），单羽递减区间为(1，号） …7分 又因为g0)=0,g(1)=2,g(3）-碧， 故当0d<积或d>2时，关于1的方程g(0)=心有唯一正根，对应两个x的值特合题意 数学试题(J)参考答案一5 所以d的取值范图为(，5)U(W2,+o. ……………………9分 (3)只需考虑b=0的情况， 由(2)可知关于t的方程g(t)-d至多有3个正根，对应6个x的值，从而n≤6. 又由于∫(x)=x3一ax的图象有唯一的对称中心(0,0)，故要有唯一的正多边形，该正多边形一定也以 (0,0)为对称中心，否则就不唯一，因此排除正三角形和正五边形.…10分 故只需研究正四边形和正六边形. 当n=4时，若a≤0，f(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增， 曲线y=f(x)上不存在4个点能构成正方形，所以Q>0.…11分 不妨设正方形的4个顶点分别为A,B,C,D,由于AC,BD斜率一定存在，设其中一条对角线AC的方程为y =kx(k>0),则x3-a.x=kx,解得x=士√a十， 所以AC=2v1+及va干，同理可得BD1-2+Va名 由lAC=BD3,得1+)a十)=(1+是)(a吉)，化简得&-1a十+名-0， …12分 根据题意可知方程(-1)十发+名-0只有一个正解，因为=1上式不成立， +是+(-)》+2 2 所以一ak2一1k一友 =k 1 …13分 1 k一 1 因为a>0,所以及-名<0，得0<k<1, 设1=k-名，则0，令g0=什是， 由题意可知，只需要直线y=一口与函数g(⊙)=1叶2的图象只有唯一的公共点即可， 故a=2√2，即n=4时，a=2√2将合题意；…… 14分 当m=6时，同上可知a>0,f)在(-，√号)（√号，十∞）上单调远增，在(-√号√号)上单调递减， 假设曲线y=f(x)上存在正六边形ABCDEF,由对称性知该正六边形中心位于原，点O处， 不坊旋对角线AD的领针角为0，则CP,BE的领针角分别为9十号，0叶经。 即lo:y=tan0·x,取0E[0,若)U(否，），(0=否时CF不存在) 联主y=rax,解得2=a十tan(x=0含去)， y=tan0·x, 则y2=(x3-ax)2=x2(x2-a)2=(a十tan0)tan0, 故10D12-x+y2=(a十tan0)(1+tan20), 同理1oc-[a+ian(a+)][1+tan(+)], 10Bl:-[a+ian(+)][1+tamr(+)], ……16分 若要存在正六边形，则OD1=|OC=|OB有解. (D0E[0,看)时，0叶哥∈[3，受)，显然an(0+)>tan0≥0，故10C>0D1,正六边形不存在， 9e(晋，）时，计∈(x,tan9e(得w3)a(g+)∈(-g,o, 显然0<tan(0+）<tan20,0<a十tan(9+）<a十tan0,故OD>OBl,正六边形不春在. 综上所述，有且仅有n=4时存在唯一的一组，点构成正n多边形，此时a=2√2.…17分 数学试题(J)参考答案一6