精品解析：山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试数学试题

淄博市2025-2026学年度高三模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、后，利用并集定义计算即可得. 【详解】由，可得 ，则， 由，可得，即，即， 故. 2. 若复数 的共轭复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方与复数的除法化简得出复数，结合共轭复数的定义可求得复数 . 【详解】因为，所以 ，所以. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 4. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 椭圆： 的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入 ，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 5. 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出示意图，B，D为切点，则，可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得. 【详解】如图，B，D为切点，则， ，， 由圆可得，，又， 所以， 所以，则， 故. 故选：A. 6. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 7. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果. 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为 ， ，且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】令 得，再令得，最后利用基本不等式即可得答案. 【详解】令 ，则，所以. 令，则， 因为函数的定义域为， ， 所以，当且仅当时，即时，等号成立. 所以的最小值为 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，满足 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若 ，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】若 ，则满足 ，但不满足，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为 ，，所以，则，故C正确； 因为 ，，所以，则，故D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在 上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若， ，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D. 【详解】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若 ，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在 使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 11. 已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 的内心满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论.选项D，利用选项C的逆命题，验证内心满足该命题的条件，即可得到等式. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即 ， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，代入  ，得 ，B错误； 对于选项C：，设  ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 。 设，同理得 ，且 ，故  ，C正确； 对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足，则点在双曲线上. 下面证明这个命题，设，则， 化简得，所以点在双曲线上，该命题成立. 又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以， 根据上述命题，在双曲线上，所以，所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，， 得，， 则在上的投影向量为. 13. 若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可. 【详解】由图象得 ，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以 ，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，， ， 因此，即，而， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理，，，可得：  ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； 【小问2详解】 由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 16. 已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线的方程； （2），为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） 由（1）知，设、， 由以线段为直径的圆恰好经过，则 ， 由，， 则 ， 由，异于，故， 则， 设，，则， ，则， ，，即，， 故,即， 则， 当 时， ，故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线渐近线后，可表示出点、坐标，再利用即可得解； （2）由题意可得 ，即可得，则可设出直线方程，联立抛物线，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合 可表示出直线方程，即可得解. 【小问1详解】 的渐近线为， 联立，解得或，故， 由对称性可得，则， 故（负值舍去），即抛物线的方程为； 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥中，平面，， ，. （1）求证： ； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 【答案】（1）在中， ，， ， ， 平面，平面， ， ，平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到 ，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到 平面 ，利用线面垂直的定义得到 ； （2）（i）以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，求出平面的法向量，设与平面所成的角为 ，利用公式 得到线与平面所成角的正弦值； （ii）设 ，则，由得到 ，利用数量积的坐标公式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，. ， ， ， ， ， ， ， 为的重心， ， ， 设平面的法向量为， 则，，， 取 ，则 ，即 ， ，， ， 设与平面所成的角为 ， 则， 故与平面所成角的正弦值为； （ii）由（i）知， ， ， 设 ，则 ， ， 由（i）知，平面的法向量为 ， 则，即 ，则 ，解得， 即. 18. 设、为实数，且，函数，. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）当 时，证明： ； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当 时，， 设 ， 则 ， 由于，则 ， 令 ，得，令 ，得， 所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）设 ，求导，分析函数的单调性，进而求证即可； （3）设，转化问题为函数有且仅有2个零点，分析易得 时才能满足题意，设 ，分析可得需满足 ，，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当 时，，则 ， 而 ，则 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由题意，曲线与直线有且仅有两个交点， 则函数有且仅有2个零点， 而 ， 令 ，得，而，则 ， 当 时， ，则函数在上单调递增， 此时函数最多有1个零点，不符合题意； 当 时，令 ，得，令 ，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又时， ，时， ， 要使函数有且仅有2个零点， 则 ，即 ， 设 ，则 ， 当 时， ，则 ，不满足题意； 当时，设，则 ， 则函数 在 上单调递减，又 ， 则时， ，即， 则的取值范围为 . 19. 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为. （1）求，和，； （2）求的数学期望（用表示）； （3），若，有，求所有元素之和. 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合独立事件乘法公式求出，再利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列，进而求出通项公式，列出的分布列，结合通项公式求出期望即可； （3）根据题意将问题转化为集合中子集元素相加求和，结合错位相减求和即可. 【小问1详解】 依题意，，， ， . 【小问2详解】 设表示次取球后乙口袋有2个黄球，表示次取球后乙口袋有1个黄球， 表示一次操作甲乙都取的是红球，表示一次操作甲取的是红球同时乙取的是黄球， 表示一次操作甲取的是黄球同时乙取的是红球，表示一次操作甲，乙都取黄球， 当时， 则， ， ， ， 因此，即，， 所以是为首项为公比的等比数列. 故. 依题意，的分布列为 0 1 2 故期望. 【小问3详解】 由（2）知， ， 而所有元素之和可以看作集合中所有子集中元素之和. 设集合为一共有个不同的元素， 而一个包含的子集，对于剩下的个元素， 每个元素可以独立地选择“放入子集”或“不放入子集”， 因此对于剩下的个元素，每个都有2种选择，由乘法原理，这样的子集个数为， 由此可知一个所有子集中元素之和为该集合各个元素之和的倍， 故所有元素之和可写为， 令 所以 故， 所以． 故所有元素之和可写为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博市2025-2026学年度高三模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 的共轭复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则 （ ） A. B. C. D. 6. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 7. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为 ， ，且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，满足 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若 ，，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在 上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若， ，且函数有两个极值点、，则 11. 已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 的内心满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 13. 若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 16. 已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线的方程； （2），为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 17. 如图，四棱锥中，平面，， ，. （1）求证： ； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 18. 设、为实数，且，函数，. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）当 时，证明： ； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 19. 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为. （1）求，和，； （2）求的数学期望（用表示）； （3），若，有，求所有元素之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $