复数单元复习（交互动画）高一数学

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 复数的概念典型例题 题型1：复数的实部、虚部判断与求解 若复数2a-1+(8-ai的虚部是实部的3倍，则实数a=」 【详解】因为2a-1+(8-ai的虚部是实部的3信，所以8-a=32a-),解得a=马 7 故答案为： 题型2：复数的分类（实数、虚数、纯虚数）判断 求实数m的值或取值范围，使得复数z=(m2-5+6)+(m2+3m-10)i分别是： (1)实数： (2)虚数； (3)纯虚数： (4)0. 【详解】(1)当m2+3m-10=0,即=2或m=-5时，复数z是实数 (2)当m2+3-10≠0，解得m≠2且m≠-5时，复数z是虚数 (3)当m2-5m+6=0且m2+3m-10≠0，即=3时，复数z是纯虚数 (4)当m2-5m+6=0且m2+3-10=0,即m=2时，复数z是0. 题型3：复数相等的条件应用 已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,其中a,b为实数，则() A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1 C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=1 【详解】因为(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i, 所以(a+3b)+(-2a+4b)i=2+6i, a+3b=2 所以 -2a+4b=6’解得a=-1,b=1, 故选B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4：复数的模与共轭复数的基础求解 若：eC,且+z=5+Vi,那么z-z等于() 4.22 B.23i 22 C. +2V5 D.-25i 【详解】令z=a+bi,a,b∈R,则z+z=a+V+b2+bi=5+√3i, 所以b=V3,且a+Va2+b2=a+V+3=5, 所以d+3公-1o+25,可得a=号，故：号+6 所以：-z-+-片反-25i 5 故选：B 题型5：复数的几何意义（复平面内的点与向量） 在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为-1+2i.若点A关于虚轴的对称点为点B, 则向量OB对应的复数为() A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 【详解】因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2), 所以点A关于虚轴的对称点为B1,2), 所以OB对应的复数为1+2i. 故选：C 突破：复数的模的最值问题 已知复数z=a+bi(a,b∈R)的模长=2，则+3+4i的取值范围为 【详解】因为复数z=a+bi(a,b∈R)的模长日=2， 由复数模的三角不等式可得z+3+41≤2+3+41=2+V32+42=7, 当且仅当：号时，等号成立 2+3+4≥-3+4圳=2-V32+4=3, 当且仅当z=- _i时，等号成立， 55 因此+3+4i的取值范围是[3,7] 故答案为：[3,7] 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破2：结合复数分类几何意义的参数范围求解 a+1 己知a∈R,复数z= 在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围为() 1+2i A. 9 c〔 D.(-2,2) 【详解】由z=a+i=」 (a+i)1-2i)(a+2)+(1-2a)i 1+2i(1+2i)1-2i) a+21-2a 则：在复平面内对应的点为 5,5 且位于第一象限， a+2 >0 5 1 所以 ,解得-2<a< 1-2a 2 >0 5 所以a的取值范围为 -2 故选：A. 突破3：共轭复数与模的综合性质应用 已知复数=满足-31=1，二的共轭复数为z,复数p=z+2-5i,则w的最大值为 () A.17 B.√7+1 C.27 D.2W17+1 【详解】由-31=1得，二在复平面内在以(0,3)为圆心半径为1的圆上， 则z在以M(0,-3)为圆心半径为1的圆上， 所以w=巨+2-5i=巨-(-2+5i)表示z到点A(-2,5)的距离， 数形结合得m=AM4+1=V-2)+(5+3)2+1=2W7+1 故选：Dnull可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 复数的四则运算典型例题 题型：复数的加减运算及几何意义应用 设复数5,52满足5=3,2=4，且3-22=3-4i，则3+=() A.3 B.4 C.5 D.6 【详解】设1,52在复平面内对应的向量分别为OZ,OZ, 由题意可知0Z=3,0Z=4,0z,-0Z=3-41=5, 由于32+42=52，则以OZ,OZ,为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故3+z2=OZ,+OZ,l=5.故选：C 题型2：复数的乘法运算 已知21=1+2i,22=l+(m-1)i,1为虚数单位，且两复数的乘积2,22的实部和虚部为相等 的正数，则实数m的值为() A青 B含 3 C. D 3 4 4 【详解】因为z122=(1+2i)[m+(m-1)i] =[m-2(m-1)]+[2m+(m-1)]i =(2-m)+(3m-1)i, 所以2-m=3m-1,即网=子 经检验，m=三能使2-m=3-1>0,所以m=3满足题意.故选：D 题型3：复数的除法运算（分母实数化】 己知复数z= 1 则二的共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为() 3i-4 34 A. 3-4 25-25 B.2525 3_4 c.55 34 D.55 i(3i+4) -3+4i 3 4. 【详解】因为复数z= 3i-4(3i-4)(3i+4)-9-16251 25 所以共复复数=云+名 34 所以共轭复数：在复平面内对应的点的坐标为 2525 故选：B. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4：的乘方周期性运算 已知复数：满足上-1+3 z22 i,则，三2,3，…225不同的数有() A.6个 B.4个 C.2024个 D.以上答案都不正确 13； 【详解】由上+5可得2= 22 13 z22 22 221 以产日999 ÷:99身片1 z4=z3.z= +5i,2=2=+5i,=2=1 22 22 则=7=26=￡， 因此可得周期为6，即=2，：}52=-1204=-22=2,2“=1， 22 所以，=2,2，…2025不同的数有6个， 故选：A 题型5：复数四则运算与实虚部/模/共轭复数的综合 (多选)已知复数=满足z(1+i)=1-3i,则() A.二的实部是-1 B.z的虚部是-2 c.=5 D.z在复平面内所对应的点位于第二象限 【详1：-号2：1 2 对于A,由实部定义知：二=-1-2i的实部为-1，A正确 对于B,,z=-1+2i,.五的虚部是2，B错误： 对于C,-V(-1)2+(-2)=V5,C错误： 对于D,z=-1+2i对应的点为(-1,2)，位于第二象限，D正确 故选：AD 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破1：复数范围内的实系数一元二次方程求解 已知方程x2+x+t=0有两个虚根，且x-x,=3,则实数t的值为() 2 A. B. 5 C.7 D.2 5 【详解】因为方程有两个虚根，所以△=1P-40,解不等式可得>4 由求根公式可得方程x2+x+t=0的两个虚根为：x2= -1±√4t-1i 2 设x=-l+4f-1 ,x,=-1-y4t-i 2 2 则1x-H1+--1--面H4-i, 2 2 根据复数的模的计算公式可得引√4t-1i=√4t-1, 已知名3，即-3，解得1-满足P 5 4 故选：B. 突破2：复数运算与新定义问题的结合 (多选题)定义复数运算：三O二2=二2+二2，己知复数z=1+2i，w满足=⊙w=10，则 () A.1p可以是3+i B.的最小值为√ C.w在复平面内对应的点不可能位于第二象限D.2w的实部是5 【详解】设w=a+bi,a,b∈R，则=⊙=(1-2i)(a-bi)+(1+2i)(a+bi), 整理得z⊙r=2a-4b,故2a-4b=10即a-2b=5, 对于A,若w=3+i,则a-2b=3-2=1≠5，故A错误： 对于B,m=V5+2b)}'+b2=V5b2+20b+25=V5(b+2°+5≥5， 当且仅当b=-2时等号成立，故w的最小值为√5，故B成立： 对于C,若w在复平面内对应的点位于第二象限，则a(0,b)0 此时a-2b=5不成立，故"在复平面内对应的点不可能位于第二象限， 故C正确； 对于D,=a-2b+(2a+b)i=5+(2a+b)i,故zw的实部是5， 故D正确。 故选：BCD 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破3：复数的恒成立与存在性问题 己知复数5,2的模长为1，且 1+11,则+名=（） A.-1 B.1 C.1+i D.1-i 【详解】设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+h(c,d∈R), 因为复数，52的模长为1，所以a2+b2=1,c2+d=1, 所以z=+b2=1,22五2=c2+d=1, 因为结山，所以是是1 22223131 所以气+2=1， 所以a-bi+c-h=(a+c)-(b+d)i=1, 所以a+c=1,b+d=0, 所以5+2=(a+c)+(b+d)i=1. 故选：B. 突破4：复数运算与平面向量的综合应用 若复数二=a+bi、二2=c+i(abc、d∈R)在复平面上所对应的向量分别是OZ,、 0Z,则5与0Z0Z的大小关系是() A.sozOZ. B.=oZ.OZ. c.≥0z0z D.无法判定 【详解】·2=(a+bi)(c+d)=ac-bd+(bc+ad)i, =(ac-bd)+(be+ad)"Vac'+b'd +b'c'+a'di 0Z=(a,b),0z2=(c,d), OZ.OZ,ac+bdOZ.OZ:=ac+bd=a'c'+b'd +2abcd 由基本不等式，b'c2+dd≥2Wbc2.ad2=2bcad≥2abcd, 当bc2=dd，,且bcd≥0时，等号成立，则3z≥oZ·0z 故选：C