考点01 二次根式及其性质（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

01 二次根式及其性质 考点一：二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。其中叫做 二次根号 ，叫做 被开方数 。 判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。两者必须同时满足。 考点二：二次根式有无意义的条件 1、二次根式有意义的条件： 二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数 大于等于 0。即中， 。 注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。 考点三： 二次根式的性质 1、二次根式的性质： 二次根式具有双重非负性，二次根式本身 大于等于 0，被开方数 大于等于 0。 即 ≥ 0， ≥ 0。 几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。 2、的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 。即 a 。 3、的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 这个数的绝对值 。即 |a| 。再根据a的正负去绝对值符号。 题型一：判断二次根式 1. 看式子是否含有根号“”。 2. 根指数必须是2（通常省略不写）。 3. 被开方数可以是数、字母或式子，但必须是非负的（在实数范围内）。 4. 判断一个式子是否为二次根式，只看形式，不看化简后的结果。 1. 把根指数是3的立方根当作二次根式。 2. 忽略被开方数为负数时，在实数范围内不是二次根式。 3. 误认为化简后是整式的式子（如）不是二次根式。 4. 把带有根号但根指数不是2的式子（如）误判为二次根式。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林·期末）下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：含参的二次根式 1. 根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。 2. 若被开方数含有参数，则需根据参数取值范围讨论。 3. 注意参数的隐含条件，如分母不为0、偶次根号下非负等。 4. 结合题目要求，确定参数的取值范围或具体值。 1. 忽略被开方数为非负这一根本条件。 2. 只考虑被开方数非负，忽略分母不为0等附加条件。 3. 参数取值范围讨论不完整，漏掉边界情况。 4. 把参数当成已知数，忘记求范围。 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当__________时，二次根式的值为0． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 题型三：二次根式有意义的条件 1. 二次根式有意义的条件是：被开方数 ≥ 0。 2. 若根号在分母中，还要考虑分母 ≠ 0。 3. 若根号内含有分式，则需同时考虑分子、分母的条件。 4. 列出不等式（组），求解即得字母的取值范围。 1. 只考虑被开方数非负，忽略分母不为0。 2. 解不等式时方向出错，如乘负数忘记变号。 3. 忽略被开方数是一个整体，需整体非负。 4. 多个条件时，忘记取公共解。 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下列各数中，能使有意义的x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）函数的自变量的取值范围为______． 题型四：二次根式的求值 1. 先确定字母的取值范围，确保二次根式有意义。 2. 将字母的值代入被开方数。 3. 计算出被开方数的值。 4. 求这个非负数的算术平方根。 5. 注意结果是非负数。 1. 代入时字母的值使被开方数为负，忽略无意义。 2. 计算出算术平方根时忘记取正值（平方根有两个，算术平方根只有一个）。 3. 计算被开方数时运算顺序错误。 4. 忽略题目要求的精确形式（如保留根号还是小数）。 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为______． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为________． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 5．（23-24八年级下·浙江温州·月考）当时，二次根式的值是______ 题型五：化简二次根式 1. 将被开方数分解因数，尽量分解出完全平方数。 2. 将完全平方数开方后移到根号外。 3. 根号内的因数不再含有完全平方数（1除外）。 4. 若被开方数是分数，则化为分母有理化的形式。 5. 合并同类二次根式。 1. 开方时漏掉部分因数，如，错写成。 2. 根号外系数相乘时出错。 3. 分母有理化时只乘分子，忘记乘分母。 4. 忽略化简到最简形式，如未化成。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简_________． 2．（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简：________． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）对于， (1)若，化简这个式子． (2)当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 题型六：判断最简二次根式 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 被开方数中不含分母。 3. 分母中不含根号（即分母有理化已完成）。 4. 同时满足以上三条的二次根式才是最简二次根式。 1. 只关注被开方数不含分母，忽略被开方数中还有完全平方数。 2. 误认为可以化简。 3. 忽略分母中含根号的情况，如不是最简。 4. 把含有根号的系数当作根号内的一部分，如已是最简，误认为还能化简。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型七：含参的最简二次根式 1. 先根据最简二次根式的三条标准列出条件。 2. 被开方数中不能有完全平方因数（关于参数的式子需分解）。 3. 被开方数中不能含分母（若有分母，参数需使分母被开方后消除）。 4. 分母中不能含根号（若有根号，参数需使分母有理化后为整数）。 5. 结合参数的取值范围，求出参数的值或范围。 1. 忽略参数使被开方数为负的情况。 2. 只考虑一个条件，忽略另外两个条件。 3. 对含参的完全平方数判断错误，如把4a²当成完全平方式，忽略a的范围。 4. 解出参数后未检验是否使原式有意义。 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（20-21八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则_____． 4．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 1．（20-21八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）二次根式中字母x的取值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）设，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简：_____． 6．（25-26八年级上·浙江·假期作业）_____；_____； 7．（19-20八年级下·浙江杭州·月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 8．（八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则______． 9．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知，是的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求的面积． 10．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 二次根式及其性质 考点一：二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。其中叫做 二次根号 ，叫做 被开方数 。 判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。两者必须同时满足。 考点二：二次根式有无意义的条件 1、二次根式有意义的条件： 二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数 大于等于 0。即中， 。 注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。 考点三： 二次根式的性质 1、二次根式的性质： 二次根式具有双重非负性，二次根式本身 大于等于 0，被开方数 大于等于 0。 即 ≥ 0， ≥ 0。 几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。 2、的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 。即 a 。 3、的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 这个数的绝对值 。即 |a| 。再根据a的正负去绝对值符号。 题型一：判断二次根式 1. 看式子是否含有根号“”。 2. 根指数必须是2（通常省略不写）。 3. 被开方数可以是数、字母或式子，但必须是非负的（在实数范围内）。 4. 判断一个式子是否为二次根式，只看形式，不看化简后的结果。 1. 把根指数是3的立方根当作二次根式。 2. 忽略被开方数为负数时，在实数范围内不是二次根式。 3. 误认为化简后是整式的式子（如）不是二次根式。 4. 把带有根号但根指数不是2的式子（如）误判为二次根式。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键． 直接利用二次根式的定义：形如()的代数式，逐一分析即可得出答案． 【详解】A、的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、的被开方数7一定大于0，故本选项符合题意； D、的中的可能小于0，不一定为二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林·期末）下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本形式是解题的关键． 根据二次根式的定义（形如，的式子），逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意 C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 题型二：含参的二次根式 1. 根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。 2. 若被开方数含有参数，则需根据参数取值范围讨论。 3. 注意参数的隐含条件，如分母不为0、偶次根号下非负等。 4. 结合题目要求，确定参数的取值范围或具体值。 1. 忽略被开方数为非负这一根本条件。 2. 只考虑被开方数非负，忽略分母不为0等附加条件。 3. 参数取值范围讨论不完整，漏掉边界情况。 4. 把参数当成已知数，忘记求范围。 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当__________时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 题型三：二次根式有意义的条件 1. 二次根式有意义的条件是：被开方数 ≥ 0。 2. 若根号在分母中，还要考虑分母 ≠ 0。 3. 若根号内含有分式，则需同时考虑分子、分母的条件。 4. 列出不等式（组），求解即得字母的取值范围。 1. 只考虑被开方数非负，忽略分母不为0。 2. 解不等式时方向出错，如乘负数忘记变号。 3. 忽略被开方数是一个整体，需整体非负。 4. 多个条件时，忘记取公共解。 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下列各数中，能使有意义的x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列出不等式求解x的取值范围，再判断选项中的数是否符合该范围即可． 【详解】解：使有意义，即， 解得：， ∴A符合题意， 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，即，求解即可得出答案． 【详解】解：∵ 被开方数必须满足， ∴ ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【详解】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数即可求解，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）函数的自变量的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义的条件；根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：函数为二次根式，被开方数需满足非负条件， 即，解得． 故答案为：． 题型四：二次根式的求值 1. 先确定字母的取值范围，确保二次根式有意义。 2. 将字母的值代入被开方数。 3. 计算出被开方数的值。 4. 求这个非负数的算术平方根。 5. 注意结果是非负数。 1. 代入时字母的值使被开方数为负，忽略无意义。 2. 计算出算术平方根时忘记取正值（平方根有两个，算术平方根只有一个）。 3. 计算被开方数时运算顺序错误。 4. 忽略题目要求的精确形式（如保留根号还是小数）。 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 将代入二次根式，即可计算求值． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·浙江温州·月考）当时，二次根式的值是______ 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 题型五：化简二次根式 1. 将被开方数分解因数，尽量分解出完全平方数。 2. 将完全平方数开方后移到根号外。 3. 根号内的因数不再含有完全平方数（1除外）。 4. 若被开方数是分数，则化为分母有理化的形式。 5. 合并同类二次根式。 1. 开方时漏掉部分因数，如，错写成。 2. 根号外系数相乘时出错。 3. 分母有理化时只乘分子，忘记乘分母。 4. 忽略化简到最简形式，如未化成。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．首先根据二次根式的定义得出，求得，然后结合二次根式的性质分别化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得． 故， ， ∵． ∴， 故， ∴， ， ， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）对于， (1)若，化简这个式子． (2)当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值． 【答案】(1) (2)当时，原式的值与a无关，原式始终等于 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据进行化简，即可作答． （2）先进行分类讨论，得出当时，原式的值与a无关，原式始终等于，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∵， ； （2）解：∵， ∴ ∴ 依题意，当时， ， ； 当时， ； 综上：当时，原式的值与a无关，原式始终等于． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 本题可设，将原式转化为关于的表达式，然后通过因式分解化简式子，最后再将代入求解即可． 【详解】解：设， 原式 ， 设， 原式 ， 当时，原式． 题型六：判断最简二次根式 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 被开方数中不含分母。 3. 分母中不含根号（即分母有理化已完成）。 4. 同时满足以上三条的二次根式才是最简二次根式。 1. 只关注被开方数不含分母，忽略被开方数中还有完全平方数。 2. 误认为可以化简。 3. 忽略分母中含根号的情况，如不是最简。 4. 把含有根号的系数当作根号内的一部分，如已是最简，误认为还能化简。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数或整式，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：选项，的被开方数是分数，不是最简二次根式； 选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项，，被开方数是分数，不是最简二次根式； 选项，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式． 故选：． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据定义逐项判断即可得出答案. 【详解】解：，，， 选项A、B、C都不是最简二次根式，是最简二次根式． 故选：D. 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式； 选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式； 选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式； 选项D：，可化简为2，故不是最简二次根式． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意 B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数4是完全平方数，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型七：含参的最简二次根式 1. 先根据最简二次根式的三条标准列出条件。 2. 被开方数中不能有完全平方因数（关于参数的式子需分解）。 3. 被开方数中不能含分母（若有分母，参数需使分母被开方后消除）。 4. 分母中不能含根号（若有根号，参数需使分母有理化后为整数）。 5. 结合参数的取值范围，求出参数的值或范围。 1. 忽略参数使被开方数为负的情况。 2. 只考虑一个条件，忽略另外两个条件。 3. 对含参的完全平方数判断错误，如把4a²当成完全平方式，忽略a的范围。 4. 解出参数后未检验是否使原式有意义。 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 【详解】解： ， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则_____． 【答案】5 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 4．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 1．（20-21八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）二次根式中字母x的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 解得：， ∴字母x的取值可以是． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，故不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，故不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）设，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，，，得出一般规律，从而得出，进而代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江·假期作业）_____；_____； 【答案】 20 / 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故答案为20；． 7．（19-20八年级下·浙江杭州·月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 8．（八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式的被开方数非负，求出x的值，再代入计算y，最后求即可． 【详解】解：∵和都有意义， ∴且， 即且， ∴， 当时， ， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知，是的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求的面积． 【答案】(1)6 (2)6或7.5 【分析】本题考查了二次根式的性质，解一元一次不等式组，勾股定理，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数非负求出，则，即可求出，那么即可求解算术平方根； （2）当5为斜边长，3为直角边长时，由勾股定理求另一直角边，即可求解面积；当3和5都是直角边长时，直接求解面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 所以其算术平方根为； （2）解：当5为斜边长，3为直角边长时，另一直角边为， ∴面积为； 当3和5都是直角边长时，面积为， ∴的面积为6或7.5． 10．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $