1.2 二次根式的性质（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学课件聚焦二次根式的两个核心性质，通过正方形桌面面积问题导入，先回顾二次根式定义及被开方数条件，再引导学生从具体实例推导性质，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“做一做”“议一议”活动引导学生经历从具体到抽象的推理过程，通过对比表清晰区分两性质，结合典例、真题强化应用，培养运算能力与推理意识，帮助学生形成严谨思维，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第2节《二次根式的性质》 第一课时 第1章《二次根式》 学 习 目 标 1 2 3 1.体会二次根式的两个核心性质的推导过程，感受从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，增强对根式运算的合理性认知 2.二次根式的两个基本性质： 和 ，能熟练运用这两个性质进行简单的化简、求值运算 3.理解两个性质的区别与联系，明确性质成立的条件，避免运用时出现混淆，培养严谨的数学思维和运算习惯 知识回顾 上节课我们学习了二次根式的概念，一起来回顾一下吧 形如 （其中）的式子叫做二次根式 被开方数必须是非负数 知识回顾 1. 判断下列式子是否为二次根式？ （1）（ ） （2）（ ） （3）（ ） 练一练 3.二次根式 中，字母x的取值范围是（ ）. A. x＜2 B. x≤2 C. x≥2 D. x＞2 D 是 否 ∵被开方数5≥0 ∵= －（2）≤﹣1＜0 是 2.下列各式中一定是二次根式的是（ ）. A. B. C. D. B 导入新课 如图，一块正方形的桌面，面积为a， 正方形的边长为 . 面积 a 你能推出与a的关系吗？ 为什么 ∵边长² = a ∴边长 = 今天我们就来探索二次根式所具有的特殊性质，这些性质将帮助我们解决更多关于二次根式的问题。 新知探究 探究点1 性质1—— 做一做 1、利用算术平方根的意义填空: 探究任务单 . . . 如果x² = 2 那么x是2的平方根 即 x=± 如果x是2的算式平方根 即 x= 那么 = 2 2 7 0 2.观察上述等式的两边,你能得到什么启示? 一个数算数平方根的平方等于这个数本身 新知探究 议一议 探究点1 性质1—— 3.当满足什么条件时， 只有非负数才有算数平方根， 当时，是的算术平方根， 因为表示的算术平方根，根据算术平方根的定义， 若（），则，因此（） 4. 说一说的原因 5. 二次根式性质1 （） 含义：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数本身 条件：，如果， 无意义，性质不成立 典例分析 探究点1 性质1—— 例1、计算（1）- （2） 解（1）原式= （2）原式 积的乘方：(ab)2=a2b2 平方在外面 直接去根号 新知探究 探究点2 性质2—— 做一做 探究任务单 . . . 探究任务单 . . . 先计算的值，再求算术平方根 1、完成填空并比较左右两边的式子，猜想与的关系 新知探究 探究点2 性质2—— 议一议 2. 中的a有条件限制吗？ 无额外限制（为任意实数），因为任何实数的平方都是非负数， 都有意义。 4. 二次根式性质2 3.当a≥0时， 等于什么，当a＜0时，等于什么 当时， 当时， 含义：一个实数的平方的算术平方根，等于这个实数的绝对值（结果一定是非负数）。 易错点：切勿直接写成，忽略的情况 典例分析 探究点2 性质2—— 例2、已知，化简 解：因为，所以； 又因为，所以， 因此。 ∴原式 化简步骤 1、判定定a的正负 2、写成形式 3、根据a的正负去绝对值， 4、写出结果 平方在里面 夹上绝对值 分类来讨论 性质 性质1 性质2 表达式 成立条件 运算顺序 结果特点 新知探究 探究点3 两个性质的区别与联系 联系：当时，两个性质的结果一致，即。 先开方,后平方 先平方,后开方 （有意义） 为任意实数 结果等于被开方数 结果等于的绝对值 （非负数） 和 是不是一样的？它们的结果有什么区别？ 议一议 典例分析 例1： 计算 （1） 探究点3 两个性质的区别与联系 解（1）原式= （2）原式=[-2] ×+2 +2 =2 总结： 运用性质1时，重点检查被开方数是否为非负数； 运用性质2时，重点判断被开方数中平方项里面的实数符号，再化简绝对值（教材归纳总结）。 例2计算+ 解：原式=+（） =－（）+ = －+ 典例分析 分析： ∵ ∴＜0 ∵ ∴ 新知巩固 1填空： （1） 。 。 。 。 （教材p8页） 课内练习 (2)数a在数轴上的位置如图，则= 。 解：数a在数轴上的位置可得： a＜0 新知巩固 2、计算（1） （2） 解：（1）原式=7-7=0 （2）原式=11+13=24 3.如图，P(,2)是直角坐标系中一点，求点P到原点O的距离。 （教材p9页） 课内练习 y O x 2 P(2) 解：由勾股定理可得： OP= 拓展提升 1、已知，化简。 分析：运用二次根式性质2：，结合判断符号： 因为，所以， ∴； 因为，所以， ∴； 解：原式 。 拓展提升 2、（杭州2025-2026学年月考真题）： 已知，求x的取值范围。 分析： 本题考查性质2的灵活运用， ， ， 原式可转化为： 。 分情况讨论x的取值范围，去掉绝对值符号求解 解：原式化简为 1.当时，，， 原式， 解得，与矛盾，舍去； 2.当时，，， 原式，等式恒成立； 3.当时，，， 原式， 解得，与矛盾，舍去。 综上，x的取值范围是。 拓展提升 分析： 逆用：（）， 可用于将非负数转化为二次根式的平方形式（如）。 2.把下列各式分解因式: （1）2x2-7； （2）x4-4. （3）x4-4x2+4. 解： （1）原式 ； （3）原式= ². 真题感知 1、（2025年杭州中考数学模拟真题）：下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 解答： A选项：无意义（被开方数-5<0），错误； B选项：由性质2，，结果应为正数，错误； C选项：由性质1，，正确； D选项：二次根式的值是非负数，，不能带“±”，错误。 C 真题感知 2、（2025年宁波中考数学模拟真题）： 已知，求代数式的值。 解：∵ ∴=+1= =2=-3＜0 ∴； 。 原式 。 答：代数式的值为3。 课堂小结 2.易错点提醒 运用性质1时，必须保证被开方数，否则无意义； 运用性质2时，切勿忽略的情况，结果必须是非负数（绝对值形式）； 1. 核心知识：二次根式的两个性质 性质1： （非负数的算术平方根的平方等于本身）； 性质2： （ 任意实数的平方的算术平方根等于其绝对值）。 逆用：（）， 可用于将非负数转化为二次根式的平方形式 3.区分两个性质的关键是“平方的位置”： 性质1是“根号外的平方”，性质2是“根号内的平方”。 课后练习 （教材p10页） 1.填空： (1) 。 解（1）根据二次根式性质 （）， 直接得 。 (2) 。 （2）根据二次根式性质 ，0 开方取绝对值：。 作业题A组 课后练习 2.已知 ，化简 ，结果为 。 解：； ； 原式。 （教材p10页） 作业题A组 课后练习 （p10A组） 3．计算下列各式 (1) ∴原式 = (2) 解：原式 = （分别计算各项） = （统一化为小数，方便计算） = (3) （） 解：∵ ，根据二次根式性质： ，； ∴ 原式 = （教材p10页） 作业题A组 解：∵，， ，， 课后练习 4.计算(1) (2) (1)解：原式 = （利用性质 去根号） = （通分、计算括号内数值） = （判断绝对值内符号，去绝对值） = （通分合并，化简结果） （教材p10页） 作业题A组 (2)解：原式 = （运用乘法分配律展开） = （计算乘法，合并同类二次根式） = （） 课后练习 （教材p10页） 作业题B组 解 同类题解题技巧 1.牢记核心性质：，先去根号，再去绝对值。 2.判断符号：先判断绝对值内表达式的正负，再根据“正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数”去绝对值。 3.化简顺序：先算根号内的平方，再去绝对值，最后合并同类项。 课后练习 6. 如图，P是直角坐标系内一点。 (1)用二次根式表示点P到原点O的距离。 (2)若x=,y=,求点P到原点O的距离。 解：(1) 点 到原点的距离是直角三角形的斜边， 两直角边分别为 和 ， 由勾股定理得： (2) x=,y=时, （教材p10页） 作业题B组 感谢聆听! $