1.1二次根式的意义（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

第1节 二次根式的意义 第1章 《二次根式》 学 习 目 标 1 2 3 1.体会二次根式在实际问题中的应用价值，感受数学与生活的联系。 2.掌握二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式。 理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），能熟练求出字母的取值范围。. （1）-1有算术平方根吗？ （2）0的算术平方根是多少？ （3）当 a ＜0时，a 有平方根吗？ 知识回顾 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 （若直角边为 、，斜边为 ，则 ）。 1.算术平方根 如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根。记为 ，其中 ，且 。 2.勾股定理： 注意： 开方时被开方数只能为正数或0. ∟ （没有） （0） （没有） 已知球网的高 米，， 米。你能用代数式表示AC的长吗？ 导入新课 ∵ ， ∴△ 是等腰三角形， 是底边 上的高， ∴ 是 的中点，即 米。 在 中，可根据勾股定理得： =AD²+CD² ∟ 新知探究 探究点1 二次根式的定义 1.完成下列问题，计算原理是什么？ 议一议 （1）一个直角三角形，两直角边分别为 cm 和 2 cm，根据勾股定理，斜边长度为 cm。 （2）一个正方形的面积是 cm²，它的边长为 cm； ∟ S= cm² （3）一个等腰直角三角形的面积是 cm²，推导可得它的腰长 cm。 cm² ∟ 求一个非负数的算术平方根 新知探究 探究点1 二次根式的定义 议一议 2.这些式子 、、 都有什么共同点？ ——都有二次根号 ——根号里的数或式子都大于或等于0 ——都表示一个非负数的算术平方根 3. 说一说二次根式的含义 二次根式 表示一个非负数算术平方根的代数式叫做二次根式。 二次根号 被开方数 读作：二次根号a，常读为：根号a， 典例分析 探究点1 二次根式的定义 例1.判断下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？请说明理由。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解 (1) 是二次根式。理由：含有二次根号，被开方数 ，符合定义； (2) 不是二次根式。理由：被开方数 ，式子无意义，不符合定义； (3) 是二次根式。理由：含有二次根号，且 ，符合定义； (4) 不是二次根式。理由：这是三次根号，不是二次根号，不符合定义。 a可以是数,也可以是式. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 注 意 表示 a 的算术平方根. 本身是一个非负数 新知探究 探究点2 二次根式有意义的条件 要使二次根式 在实数范围内有意义，必须满足被开方数 。 如果被开方数是分式，还要保证分母不等于0。 （1）含有二次根号 （注意：不是三次根号 等）； （2）被开方数（根号里的数或式子）大于或等于0。 2.判断一个式子是不是二次根式，必须同时满足什么条件？ 议一议 和是二次根式吗？ 为什么？如果不是,请改正. 当是二次根式 当是二次根式 注 意 典例分析 探究点2 二次根式有意义的条件 例2.求下列二次根式中，字母 的取值范围： (1) ； (2) ； (3) 。 (1) 直接让根号里的式子≥0即可； (2) 任何实数的平方都≥0，所以无论 取何值，被开方数都满足条件； (3) 根号里是分式，既要保证分子分母组成的式子≥0，又要保证分母≠0，结合分式符号规律，只需分母>0。 解：(1) 要使 有意义，需满足： ，解得 。 (2) 要使 有意义，需满足：。 ∵任何实数的平方都大于或等于0， ∴ 可取全体实数。 (3) 要使 有意义，需满足： 且 。 ∵分子1>0，∴只需分母 ， 解得 。 分析（紧扣“被开方数≥0” ） 典例分析 （教材p6例题） 例3 求下列二次根式中字母 a 的取值范围： (1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) 根据二次根式有意义的条件，得： ，解得 。 ∴字母 的取值范围是 。 (2) ∵无论 取什么实数， 都大于或等于0， ∴字母 的取值范围是全体实数。 (3) 根据二次根式有意义的条件，得： 且 ， 即 ，解得 。 ∴字母 的取值范围是 。 典例分析 （教材p7例题） 例4. 当 x=-4 时，求二次根式 的值。 分析：求二次根式的值，分两步： 第一步代入字母的值， 第二步计算被开方数，求出算术平方根。 解：把 代入 ，得： 。 新知巩固 1. 求下列二次根式中字母 x 的取值范围： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解： (1) 由 ，得 ； (2) 因为 ， 所以 ，故 取全体实数； (3) 由 ， 得 ，解得 ； (4) 由 ， 两边同时除以-5（不等号方向改变）， 得 。 （教材p7课内练习） 新知巩固 2. 解决节前语中的问题： 若 a=2，拉索 AC 的长度是多少米？（精确到0.01米） 解： 如图：已知球网的高 米，， 米。求AC的长 在 中，可根据勾股定理得： =AD²+CD² 拉索 的长度=。 把 代入公式，得： 。 因为 ，且 ， 所以 。 答：拉索 的长度约为2.83米。 ∟ 拓展提升 1. （杭州期末真题） 已知 ，求 的值。 分析： 本题考查二次根式的“双重非负性”的应用——要使两个二次根式同时有意义，必须让两个被开方数都≥0，由此确定 的值，再代入求 ，最后计算 。 解：要使 和 都有意义，需同时满足： 得 ， 由 得 ， ∴不等式组的解为： 。 把 代入 ，得： 。 ∴。 拓展提升 2. （宁波期中真题） 若 ，求 的取值范围。 解：根据二次根式有意义条件可得： ≥0 解得 算术平方根，结果是非负数 3.若a、b为实数，且满足│a－2│+ =0，求b－a的值 ∵│a－2│+ =0 ∴a－2=0，, =0 ∴a=2，, b=0 ∴b－a=-2 解： 拓展提升 1．（2025·江苏南通·中考真题） 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 解：由题意得： ，∴； 2．（2025·广东广州·中考真题） 要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 且 解：依题意， 且， 解得：且， 真题感知 真题感知 3. （2025年浙江温州中考真题） 要使二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 分析： 中考基础题，直接考查二次根式有意义的核心条件：被开方数≥0。 解： 要使 有意义，需满足 ，解得 。 C 真题感知 4. （2025年浙江绍兴名校模拟真题） 当 时，二次根式 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 分析： 本题考查“完全平方公式”与二次根式的结合，先将被开方数化为平方形式，再代入计算，是中考常考的基础综合题型。 解： 化简被开方数：由完全平方公式， ， ∴原式 。 代入 计算： ， ∴ 。 A 课堂小结 1.什么是二次根式： 有二次根号，且被开方数≥0的代数式； 2.有意义的条件： 核心是“被开方数≥0”，若有分母，还要保证“分母≠0”； 3.求二次根式的值： 先 判断字母取值是否符合条件，再代入计算，最后求算术平方根。 利用本节课知识，解决了使二次根式在实数范围内有意义的被开方数的取值范围问题，此问题在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用. 课后练习 （教材p7作业题）A组 1. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围 (1) ， (2) ， (3) 解： (1) 对于 ，被开方数 a 必须是非负数，即 ， ∴ a 的取值范围是 。 (2 由题意得， 解这个不等式：，所以 ， ∴ a 的取值范围是 。 (3) 由题意得：（非负数）且 解这个不等式：， ∴ ， ∴ a 的取值范围是 。 二次根式有意义的条件是： 被开方数是正数或0（非负数）； 若分母含字母，分母还不能等于0。 课后练习 2. 当 时，求二次根式 的值。 解： 将 代入二次根式中， ∴当 时，。 （教材p7作业题）A组 课后练习 3. 当 分别取下列值时，求二次根式 的值。 (1) (2) (3) 解：(1) 当 时： (2) 当 时： （ 是最简二次根式，保留原式即可） (3) 当 时： （ 是最简二次根式，保留原式即可）   （教材p7作业题）A组 课后练习 4. 一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行 小时。船的航速是每小时25千米。 (1) 用关于 的代数式表示船离出发地的距离。 (2) 求当 时，船离出发地的距离（精确到0.01千米）。 解答：(1) 东北方向和西北方向的夹角是 ， 向东北方向航行的距离：（千米） 向西北方向航行的距离：（千米） 答：船离出发地的距离为 千米。 (2) 当 时，代入上式计算： 因为 ，所以 ∴当 时，船离出发地的距离约为 千米。 （教材p7作业题）A组 东 北 轮船 课后练习 5. 若二次根式 的值为3，求 的值。 解：的算术平方根是3 即 ， ∴ 。 ∴ 或 ， ∴ 的值为 或 。 （教材p7作业题）B组 课后练习 6. 物体从静止自由下落时，下落距离 （米）可用公式 来估计，其中 （秒）表示物体下落所经过的时间。 (1) 把这个公式变形成用 表示 的公式。 (2) 一个物体从60米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）？ 解：(1) 由 ， 得: ∴ （教材p8作业题）B组 (2) 当 米时，代入上式计算： ∵，精确到0.1秒，即 ∴物体落到地面大约需要 秒 感谢聆听! $