基础、 中档解答题题组特训(3)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题组特训册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题组特训册 1 基础、 中档解答题题组特训 题组特训(三) 17. (4分)计算：4 × ÷ －3 . 解：原式＝8 × × －3 ＝2 －3 ＝－ . 解：原式＝8 × × －3 ＝2 －3 ＝－ . 18. (4分)解不等式组： 解：解不等式 ＞1得x＞1， 解不等式2x－4＜3x得x＞－4， ∴原不等式组的解集为x＞1. 解：解不等式 ＞1得x＞1， 解不等式2x－4＜3x得x＞－4， ∴原不等式组的解集为x＞1. 19. (4分)化简：(－ )÷ . 解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝－ . 解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝－ . 20. (6分)《元史·天文志》中记载了元朝天文学家郭守敬主持的一次大 规模观测，称为“四海测验”，这次观测主要使用了“立杆测影”的 方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所 说的“北线”完全吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地 的纬度.如图1所示. 图1 ①春分时，太阳光直射赤道，此时在M地直立一根杆 子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影 子，通过测量杆子与它的影子的长度， 可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角α； ②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的.所 以根据太阳光与杆子MN所成的夹角α可以推算得到M 地的纬度，即∠MOB的大小. (1)图2是①中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角α的示意图.过点M作 MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上 形成的影子.使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ(保留作图痕迹)； 图2　　 解：(1)如图，线段MQ即为所求； (2)依据图1完成如下证明. 证明：∵AB∥CD， ∴∠MOB＝ ＝α(　 　)(填推理 的依据) ∴M地的纬度为α. 　 ∠OND　 两直线平行，内错角相等　 图1 21. (6分)小红和小明准备在周末游览一个附近的著名景点，备选景点有祁 山武侯祠(记为A)、甘肃秦文化博物馆(记为B)、官鹅沟景区(记为C)、云 屏三峡景区(记为D)，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选 中的可能性相同. (1)小红选择去甘肃秦文化博物馆的概率为 ⁠； 　 (2)小红已去过祁山武侯祠，准备在B，C，D中选一个景点游玩，小明已 去过云屏三峡景区，准备在A，B，C中选一个景点游玩，请用画树状图 或列表的方法求小红和小明恰好选择同一个景点的概率. 解：(2)列表如下： A B C B (B，A) (B，B) (B，C) C (C，A) (C，B) (C，C) D (D，A) (D，B) (D，C) 解：(2)列表如下： 由表格知，共有9种等可能结果，其中小红和小明恰好选择同一个景点的 有2种结果， ∴小红和小明恰好选择同一个景点的概率为 . 由表格知，共有9种等可能结果，其中小红和小明恰好选择同一个景点的 有2种结果， ∴小红和小明恰好选择同一个景点的概率为 . 22. (8分)龙门黄河大桥全长4 566 m.是黄河上跨径最大的斜拉桥.号称“黄 河第一桥”.其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美. 数学课外小组的同学们准备用无人机测量花瓶型塔的高度.如图，同学们 在无人机上搭载测角仪，当无人机垂直上升到离地面NP高41 m的点A处 时悬停.测得其中一座塔的塔尖M的仰角∠MAC＝53°.无人机从点A处 垂直上升20 m后到达点B处再次悬停.此时测得该塔塔尖M的仰角∠MBD ＝45°.已知点A，B，C，D，M，N，P均在同一平面内，求此花瓶型 塔MN的高度.(结果精确到0.1 m；参考数据： sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 解：如图，分别延长AC，BD交MN于点E，F，延长BA交NP于点 H，则四边形ABFE、四边形AHNE都是矩形， ∴AE＝BF，EN＝AH＝41 m，EF＝AB＝20 m， 在Rt△MBF中，∠MBF＝45°， ∴△MBF是等腰直角三角形， ∴MF＝BF， ∴MF＝AE， 在Rt△MAE中，tan∠MAE＝ ， ∴tan 53°＝ ≈1.33， ∴ME≈1.33AE， 解：如图，分别延长AC，BD交MN于点E，F，延长BA交NP于点 H，则四边形ABFE、四边形AHNE都是矩形， ∴AE＝BF，EN＝AH＝41 m，EF＝AB＝20 m， 在Rt△MBF中，∠MBF＝45°， ∴△MBF是等腰直角三角形， ∴MF＝BF， ∴MF＝AE， 在Rt△MAE中，tan∠MAE＝ ， ∴tan 53°＝ ≈1.33， ∴ME≈1.33AE， ∵EF＝ME－MF， ∴20＝1.33AE－AE，解得AE≈60.61(m)， ∴MF＝AE＝60.61 m， ∴MN＝MF＋EF＋EN＝60.61＋20＋41≈121.6(m). ∵EF＝ME－MF， ∴20＝1.33AE－AE，解得AE≈60.61(m)， ∴MF＝AE＝60.61 m， ∴MN＝MF＋EF＋EN＝60.61＋20＋41≈121.6(m). 答：花瓶型塔MN的高度约为121.6 m. 答：花瓶型塔MN的高度约为121.6 m. 23. (7分)某社区为提高居民对防诈骗的认识，举办了防诈骗的知识比赛. 现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩，并 进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70， B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.x≥90)，下面给出了部分信息： 甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100. 乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99. 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表： 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 a 94 10％ 乙 90 92 b 20％ 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ⁠； 93　 99　 10　 (2)该社区甲代表队有100名队员、乙代表队有130名队员参加了此次比赛， 估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名； 解：(2)100× ＋130×10％＝23(名)， 估计此次比赛成绩在A组的队员共有23名. 解：(2)100× ＋130×10％＝23(名)， 估计此次比赛成绩在A组的队员共有23名. (3)根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由 (写出一条理由即可). 解：(3)乙代表队成绩更好. 理由：乙代表队的众数远远高于甲代表队.(答案不唯一) 解：(3)乙代表队成绩更好. 理由：乙代表队的众数远远高于甲代表队.(答案不唯一) 24. (7分)如图，直线AB与反比例函数y＝ (x＜0)的图象交于点A(－2， m)，B(n，2)，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点 D，使OC＝2OD，连接BC，AD，若△ACD的面积是6. (1)求反比例函数的解析式； 解：(1)如图，连接AO， ∵OC＝2OD，△ACD的面积是6， ∴S△AOC＝4， ∴｜k｜＝8. ∵反比例函数y＝ (x＜0)的图象在第二象限， ∴k＝－8， ∴反比例函数解析式为y＝－ (x＜0). (2)P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2 倍，求点P的坐标. 解：(2)∵点A(－2，m)，B(n，2)在y＝－ 的图象上， ∴A(－2，4)，B(－4，2)， 设直线AB的解析式为y＝ax＋b， ，解得 ， ∴直线AB的解析式为y＝x＋6， 解：(2)∵点A(－2，m)，B(n，2)在y＝－ 的图象上， ∴A(－2，4)，B(－4，2)， 设直线AB的解析式为y＝ax＋b， ，解得 ， ∴直线AB的解析式为y＝x＋6， ∵AC∥y轴交x轴于点C， ∴C(－2，0)， ∴S△ABC＝ ×4×2＝4. 设直线AB上在第一象限的点P(t，t＋6)， ∴S△PAC＝ ×4×(t＋2)＝2S△ABC＝8， ∴2t＋4＝8， ∴t＝2， ∴P(2，8). ∵AC∥y轴交x轴于点C， ∴C(－2，0)， ∴S△ABC＝ ×4×2＝4. 设直线AB上在第一象限的点P(t，t＋6)， ∴S△PAC＝ ×4×(t＋2)＝2S△ABC＝8， ∴2t＋4＝8， ∴t＝2， ∴P(2，8). 25. (8分)如图，在☉O中，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，P是 的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP，AP， CP. (1)求证：DP是☉O的切线； (1)证明：∵P是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠PAD＝∠PAB， ∵OA＝OP， ∴∠APO＝∠PAO， ∴∠DAP＝∠APO， ∴AD∥OP， ∵PD⊥AD， ∴PD⊥OP， 又∵OP是☉O的半径， ∴DP是☉O的切线. (1)证明：∵P是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠PAD＝∠PAB， ∵OA＝OP， ∴∠APO＝∠PAO， ∴∠DAP＝∠APO， ∴AD∥OP， ∵PD⊥AD， ∴PD⊥OP， 又∵OP是☉O的半径， ∴DP是☉O的切线. (2)若AC＝5， sin ∠APC＝ ，求AP的长. (2)解：如图，连接BC交OP于点E， ∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵P是 的中点， ∴OP⊥BC，CE＝BE， ∴四边形CDPE是矩形， ∴CD＝PE，PD＝CE， ∵∠APC＝∠ABC， ∴ sin ∠APC＝ sin ∠ABC＝ ＝ ， (2)解：如图，连接BC交OP于点E， ∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵P是 的中点， ∴OP⊥BC，CE＝BE， ∴四边形CDPE是矩形， ∴CD＝PE，PD＝CE， ∵∠APC＝∠ABC， ∴ sin ∠APC＝ sin ∠ABC＝ ＝ ， ∵AC＝5， ∴AB＝13， ∴BC＝12， ∴PD＝CE＝BE＝6， ∵OE＝ AC＝ ，OP＝ ， ∴CD＝PE＝ － ＝4， ∴AD＝9， ∴AP＝ ＝ ＝3 . ∵AC＝5， ∴AB＝13， ∴BC＝12， ∴PD＝CE＝BE＝6， ∵OE＝ AC＝ ，OP＝ ， ∴CD＝PE＝ － ＝4， ∴AD＝9， ∴AP＝ ＝ ＝3 . 24 $