三、题型12 平面直角坐标系中的新定义问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题型突破册 1 甘肃中考题型攻克 三、重难题攻克 题型十二　平面直角坐标系中的新定义问题 1. (2025兰州)在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N(不与 原点O重合)，及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对 称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”. (1)如图1，已知图W1：线段AB，A(－1，－1)，B(1，－1).在P1(－1， 0)，P2(1，2)中， 是图W1的“映射点”； P1(－1，0)　 返回目录 (2)如图2，已知图W2：正方形ABCD，A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1， 1)，D(－1，1).若直线l：y＝x＋b上存在点P是图W2的“映射点”，求 b的最大值； 解：(2)依题意，当直线y＝x＋b经过点D时，b的值最大， 将D(－1，1)代入y＝x＋b，得1＝－1＋b，解得b＝2， ∴b的最大值为2. 解：(2)依题意，当直线y＝x＋b经过点D时，b的值最大， 将D(－1，1)代入y＝x＋b，得1＝－1＋b，解得b＝2， ∴b的最大值为2. 返回目录 (3)如图3，已知图W3：☉T，圆心为T(0，t)，半径为1.若x轴上存在点P 是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围. 解：(3)－2≤t≤2. 返回目录 【解法提示】如图，ON，OP'分别为☉T的切线，当点P为图W3的“映 射点”， ∴∠P'ON＝∠PON， 又∵∠P'OT＝∠TON＝90°－∠PON，设∠PON＝α，则∠TON＝90° －α， ∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°－2α， ∴180°－2α＝α，解得α＝60°， ∴∠PON＝60°，∠TON＝30°， ∵TN＝1， 返回目录 ∴OT＝2，当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即☉T的内部，符 合题意， ∴t≤2，当t＜0时，根据对称性可得t≥－2，综上所述，－2≤t≤2. ∴OT＝2，当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即☉T的内部，符 合题意， ∴t≤2，当t＜0时，根据对称性可得t≥－2，综上所述，－2≤t≤2. 返回目录 2. (2025兰州一诊)在平面直角坐标系xOy中，已知两点M，N(点M，N不 重合)和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM＝PN且 ∠MPN＝90°，则称点P是点M，N的“等距直角拐点”.例：如图1， 已知M(0，2)，N(1，1)，P1(0，1)，因为P1M＝P1N且∠MP1N＝90°， 所以点P1是点M，N的“等距直角拐点”. (1)如图1，在点P2(1，2)，P3(－1，1)中，是点M， N“等距直角拐点”的是 ； P2(1，2)　 返回目录 (2)如图2，已知直线y＝－2x＋2分别与x轴、y轴交于B，A两点，点M 在线段AB上.若点O是点M，N(xN，yN)的“等距直角拐点”，求yN的取 值范围； 解：(2)当x＝0时，y＝－2x＋2＝2， ∴点A的坐标为(0，2)， 当y＝0时，－2x＋2＝0，解得x＝1， ∴点B的坐标为(1，0)， 返回目录 ∵点M在线段AB上，点O是点M，N(xN，yN)的“等距直角拐点”， ∴点N在线段AB以点O为中心逆时针或顺时针旋转90°得到的线段上， 如图，当线段AB以点O为中心逆时针旋转90°得到线段A'B'时，点A'的 坐标是(－2，0)，点B'的坐标是(0，1)，此时0≤yN≤1； 当线段AB以点O为中心顺时针旋转90°得到线段A″B″时，点A″的坐标 是(2，0)，点B″的坐标是(0，－1)，此时－1≤yN≤0， ∴－1≤yN≤1. 返回目录 (3)如图3，已知点P在以O(0，0)为圆心，半径为1的圆上，M(3，0)，若 在直线y＝x＋b上存在点N，使点P是点M，N的“等距直角拐点”，直 接写出b的取值范围. (3)－5≤b≤－1或1≤b≤5. (3)－5≤b≤－1或1≤b≤5. 返回目录 3. (2024兰州一诊)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W 和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使PM＝2PN，则称点 P是图形W的一个“2倍关联点”.例如：如图1，已知图形W：△ABC， A(0，2)，B(－1，0)，C(1，0)，点P(0，－1)到△ABC上的点的最小距离 为PO＝1，到△ABC上的点的最大距离为PA＝3， 则PA＞2PO. 因此在△ABC上存在点M，N，使得 PM＝2PN，则点P是△ABC的一个“2倍关联点”. 返回目录 (1)如图2，已知A(0，1)，B(2，1). ①判断点P1(2，－1) 线段AB的一个“2倍关联点”；(填“是” 或“不是”) 不是　 返回目录 ②若点P2(1，m)是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值. 解：(1)②如图1，过点P2作P2C⊥AB于点C，连接AP2. 当P2A＝2P2C时，点P2是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小. 在Rt△ACP2中，∠P2AC＝30°， ∴ ＝tan 30°， ∴P2C＝AC·tan 30°＝ ， 又∵P2C＝1－m， ∴1－m＝ ，解得m＝1－ ， ∴m的最小值为1－ . 解：(1)②如图1，过点P2作P2C⊥AB于点C，连接AP2. 当P2A＝2P2C时，点P2是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小. 在Rt△ACP2中，∠P2AC＝30°， ∴ ＝tan 30°， ∴P2C＝AC·tan 30°＝ ， 又∵P2C＝1－m， ∴1－m＝ ，解得m＝1－ ， ∴m的最小值为1－ . 返回目录 (2)如图3，☉O的圆心为原点，半径为1，若在直线l：y＝x＋b上存在点 Q是☉O的“2倍关联点”，求b的取值范围. 返回目录 解：(2)如图2，直线y＝x＋b交y轴于(0，b)，分两种情况： 当直线l在☉O的左上方时，记为直线l1，过圆心O作OQ1⊥l1于点Q1， OQ1交☉O于点N，延长Q1O交☉O于点M，若点Q1是直线l1上☉O的唯 一“2倍关联点”，此时Q1M＝2Q1N， ∵☉O的半径为1，OQ1＋1＝2(OQ1－1)， ∴OQ1＝3， ∵C(－b，0)，D(0，b). ∴OC＝OD＝b， ∴∠CDO＝45°， 在Rt△ODQ1中， ＝ sin 45°， 解：(2)如图2，直线y＝x＋b交y轴于(0，b)，分两种情况： 当直线l在☉O的左上方时，记为直线l1，过圆心O作OQ1⊥l1于点Q1， OQ1交☉O于点N，延长Q1O交☉O于点M，若点Q1是直线l1上☉O的唯 一“2倍关联点”，此时Q1M＝2Q1N， ∵☉O的半径为1，OQ1＋1＝2(OQ1－1)， ∴OQ1＝3， ∵C(－b，0)，D(0，b). ∴OC＝OD＝b， ∴∠CDO＝45°， 在Rt△ODQ1中， ＝ sin 45°， 返回目录 ∴b＝OD＝ ＝3 ； 当直线l在☉O的右下方时，记为直线l2，过圆心O作OQ2⊥l2于点Q2.同 理可求得b＝－3 . 综上所述，b的取值范围是－3 ≤b≤3 . ∴b＝OD＝ ＝3 ； 当直线l在☉O的右下方时，记为直线l2，过圆心O作OQ2⊥l2于点Q2.同 理可求得b＝－3 . 综上所述，b的取值范围是－3 ≤b≤3 . 返回目录 4. 在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一 条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属 点”.已知点A的坐标为(0，1). (1)如图1，若点B的坐标为(2，1)，在点C1(0，－2)，C2(1，0) 中， 是线段AB的“从属点”； C1(0，－2)　 返回目录 (2)如图2，若点B的坐标为(1，0)，点P在直线y＝－2x－3上，且点P为 线段AB的“从属点”，求点P的坐标； 解：(2)设点P的坐标为(a，－2a－3　)， 当∠ABP＝90°时，由题意可知OA＝OB＝1， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∴∠OBP＝45°. 如图1，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，可知△OBE和 △FPE为等腰直角三角形， ∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝－a， ∴OF＝1－a， 解：(2)设点P的坐标为(a，－2a－3　)， 当∠ABP＝90°时，由题意可知OA＝OB＝1， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∴∠OBP＝45°. 返回目录 则1－a＝2a＋3，解得a＝－ ， ∴点P的坐标为(－ ，－ )，此时AP＞AB. 当∠BAP＝90°时，如图2，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴 于点H. 如图1，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，可知△OBE和 △FPE为等腰直角三角形， ∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝－a， ∴OF＝1－a， 返回目录 ∴点P的坐标为(－ ，－ )， 此时AP＝AH＋HP＞AB. 综上所述，点P的坐标为(－ ，－ )或(－ ，－ ). ∴点P的坐标为(－ ，－ )， 此时AP＝AH＋HP＞AB. 综上所述，点P的坐标为(－ ，－ )或(－ ，－ ). 同理可知∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG， ∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形， ∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a＋3， ∴OG＝2a＋4， ∴2a＋4＝－a，解得a＝－ ， 返回目录 (3)如图3，点B为x轴上的一动点，直线y＝4x＋b(b≠0)与x轴，y轴分别 交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的 “从属点”，直接写出b的取值范围. 　　　 　　　 解：(3)b＞5或b＜－4. 返回目录 23 $