三、题型11 二次函数综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题型突破册 1 甘肃中考题型攻克 三、重难题攻克 题型十一　二次函数综合题 类型1　线段问题 1. (2025省卷)如图1，抛物线y＝a(x＋ )(x－4)(a≠0)分别与x轴，y轴交 于A，B(0，－4)两点，M为OA的中点. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)y＝ x2－ x－4. (2)连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C， 交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； 解：(2)△BCD的面积为 . 解：(1)y＝ x2－ x－4. 解：(2)△BCD的面积为 . (3)点E为线段AB上一动点(点A除外)，将线段OE绕点O 顺时针旋转90°得到OF. ①当AE＝ 时，请在图2中画出线段OF后，求点F的 坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； 解：(3)①如图1，连接BF，作FQ⊥OB于点Q， 由(2)可知：OA＝OB＝4， ∴∠OAB＝∠OBA＝45° ∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF， ∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA， 图1 图1 ∴∠AOE＝∠BOF， 又∵OA＝OB，OE＝OF， ∴△AOE≌△BOF(SAS)， ∴∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE＝ ， ∵FQ⊥OB， ∴△FQB为等腰直角三角形， 图1 图1 ∴FQ＝BQ＝ BF＝1， ∴OQ＝OB－BQ＝3， ∴F(－1，－3)，对于y＝ x2－ x－4，当x＝－1时，y＝ ＋ －4＝－ 3， ∴点F在抛物线上. ∴FQ＝BQ＝ BF＝1， ∴OQ＝OB－BQ＝3， ∴F(－1，－3)，对于y＝ x2－ x－4，当x＝－1时，y＝ ＋ －4＝－3， ∴点F在抛物线上. ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运 动时，求PF的最小值. 解：②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于 点H，如图2， ∵∠OPA＝90°，M为OA的中点， ∴PM＝ OA＝2， ∵PF≥MF－PM， ∴当M，P，F三点共线时，PF最小， 解：②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于 点H，如图2， ∵∠OPA＝90°，M为OA的中点， ∴PM＝ OA＝2， ∵PF≥MF－PM， ∴当M，P，F三点共线时，PF最小， 图2 图2 同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°， ∴点F在射线BG上运动， ∴当MF⊥BG时，即点F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH －PM， ∵∠OBG＝45°， ∴△OBG为等腰直角三角形， ∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°， ∴MG＝OG＋OM＝6，△MHG为等腰直角三角形， ∴MH＝ MG＝3 ， ∴PF的最小值为MH－PM＝3 －2. 同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°， ∴点F在射线BG上运动， ∴当MF⊥BG时，即点F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH －PM， ∵∠OBG＝45°， ∴△OBG为等腰直角三角形， ∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°， ∴MG＝OG＋OM＝6，△MHG为等腰直角三角形， ∴MH＝ MG＝3 ， ∴PF的最小值为MH－PM＝3 －2. 图2 图2 2. (2024省卷)如图1，抛物线y＝a(x－h)2＋k交x轴于O，A(4，0)两点， 顶点为B(2，2 )，点C为OB的中点. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)由题意得y＝a(x－2)2＋2 ， 将点A的坐标代入上式得：0＝a×(4－2)2＋2 ， 解：(1)由题意得y＝a(x－2)2＋2 ， 将点A的坐标代入上式得：0＝a×(4－2)2＋2 ， 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋2 x. 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋2 x. (2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E. 求线段CE的长； 解：(2)由(1)知，y＝－ (x－2)2＋2 ， 由中点坐标公式得点C(1， )， 当x＝1时，y＝－ (1－2)2＋2 ＝ ， 则CE＝ － ＝ . 解：(2)由(1)知，y＝－ (x－2)2＋2 ， 由中点坐标公式得点C(1， )， 当x＝1时，y＝－ (1－2)2＋2 ＝ ， 则CE＝ － ＝ . (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD. ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； 解：(3)①由(2)知C(1， )， 当y＝ 时，y＝－ (x－2)2＋2 ＝ ， 则x＝2＋ (不合题意的值已舍去)， 即点F(2＋ ， )； 解：(3)①由(2)知C(1， )， 当y＝ 时，y＝－ (x－2)2＋2 ＝ ， 则x＝2＋ (不合题意的值已舍去)， 即点F(2＋ ， )； ②如图3，连接BD，BF，求BD＋BF的最小值. 解：②作点C关于x轴的对称点E(1，－ )， 则△CBF≌△OED(SAS)， 则BF＝DE， 则BD＋BF＝BD＋DE≥BE，当点D，B，E共线时，BD＋BF＝BE 为最小， 则BD＋BF的最小值为BE＝ ＝2 . 解：②作点C关于x轴的对称点E(1，－ )， 则△CBF≌△OED(SAS)， 则BF＝DE， 则BD＋BF＝BD＋DE≥BE，当点D，B，E共线时，BD＋BF＝BE 为最小， 则BD＋BF的最小值为BE＝ ＝2 . 3. 如图1，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点A，与直线y＝－x交于点 B(4，－4)，点C(0，－4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速 运动，运动到点O时停止. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx过点B(4，－4)， ∴－16＋4b＝－4， ∴b＝3， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx过点B(4，－4)， ∴－16＋4b＝－4， ∴b＝3， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x. (2)当BP＝2 时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接 PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； 解：(2)四边形OCPD是平行四边形，理由如下： 如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC，OD， ∵点P在直线y＝－x上， ∴OH＝PH，∠POH＝45°，连接BC， ∵OC＝BC＝4， ∴OB＝4 . ∴OP＝OB－BP＝2 ， ∴OH＝PH＝ OP＝ ×2 ＝2， 解：(2)四边形OCPD是平行四边形，理由如下： 如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC，OD， ∵点P在直线y＝－x上， ∴OH＝PH，∠POH＝45°，连接BC， ∵OC＝BC＝4， ∴OB＝4 . ∴OP＝OB－BP＝2 ， ∴OH＝PH＝ OP＝ ×2 ＝2， 图1 图1 当xD＝2时，DH＝yD＝－4＋3×2＝2， ∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4， ∵C(0，－4)， ∴OC＝4， ∴PD＝OC， ∵OC⊥x轴，PD⊥x轴， ∴PD∥OC， ∴四边形OCPD是平行四边形. 当xD＝2时，DH＝yD＝－4＋3×2＝2， ∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4， ∵C(0，－4)， ∴OC＝4， ∴PD＝OC， ∵OC⊥x轴，PD⊥x轴， ∴PD∥OC， ∴四边形OCPD是平行四边形. 图1 图1 (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同 的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接 BQ，PC，求CP＋BQ的最小值. 解：(3)如图2，由题意得BP＝OQ，连接BC， 在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC， ∵OC＝BC＝4，BC⊥OC， ∴∠CBP＝45°， ∴∠CBP＝∠MOQ， ∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM， ∴△CBP≌△MOQ(SAS)， ∴CP＝MQ， ∴CP＋BQ＝MQ＋BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短)， ∴CP＋BQ的最小值为MB的长， ∵∠MOB＝∠MOQ＋∠BOQ＝45°＋45°＝90°， 解：(3)如图2，由题意得BP＝OQ，连接BC， 在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC， ∵OC＝BC＝4，BC⊥OC， ∴∠CBP＝45°， ∴∠CBP＝∠MOQ， ∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM， ∴△CBP≌△MOQ(SAS)， ∴CP＝MQ， ∴CP＋BQ＝MQ＋BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短)， 图2 图2 ∴MB＝ ＝ ＝4 ， 即CP＋BQ的最小值为4 . ∴MB＝ ＝ ＝4 ， 即CP＋BQ的最小值为4 . ∴CP＋BQ的最小值为MB的长， ∵∠MOB＝∠MOQ＋∠BOQ＝45°＋45°＝90°， 图2 图2 4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－2，0)和B(4，0)两点，与y 轴交于点C(0，4)，D是抛物线的顶点. 　　 (1)求抛物线的表达式； 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－2，0)和B(4，0)两点， 故设y＝a(x＋2)(x－4)，代入点C(0，4)，得4＝－8a， 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋4. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－2，0)和B(4，0)两点， 故设y＝a(x＋2)(x－4)，代入点C(0，4)，得4＝－8a， 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋4. (2)如图1，连接BD，E是BD的中点，过点E作直线EG⊥x轴，垂足为 G，交抛物线于点F，过点F作FM⊥BD于点N，与x轴交于点M，求线 段MF的长； 解：(2)由y＝－ x2＋x＋4可知顶点D(1， )， ∵E是BD的中点， ∴E(， )， ∵FM⊥BD，FG⊥MB， ∴∠FMB＝∠NEF＝∠GEB， ∵tan∠GEB＝ ＝ ＝ ， ∴ sin ∠GEB＝ . ∴ sin ∠GEB＝ sin ∠FMB＝ ＝ . 把x＝ 代入y＝－ x2＋x＋4中，可得y＝ ，即FG＝ ， ∴MF＝ ＝ . ∴ sin ∠GEB＝ sin ∠FMB＝ ＝ . 把x＝ 代入y＝－ x2＋x＋4中，可得y＝ ，即FG＝ ， ∴MF＝ ＝ . (3)如图2，连接AC，点H为线段AC的中点，点J在x轴上，在AC右侧作 平行四边形AHIJ，连接DI，DJ，求DI＋DJ的最小值. 解：(3)如图，作点D关于x轴的对称点D'(1，－ )，连接D'J，以IJ， D'J为邻边构造平行四边形D'JIE，连接DE. 故DJ＋DI＝D'J＋DI＝EI＋DI≥DE，当且仅当D，I，E三点共线时 取等号， ∵点H为AC的中点， ∴H(－1，2)，由平移的性质可知A点到H点向右平移了1个单位长度， 向上平移了2个单位长度， 解：(3)如图，作点D关于x轴的对称点D'(1，－ )，连接D'J，以IJ， D'J为邻边构造平行四边形D'JIE，连接DE. 故DJ＋DI＝D'J＋DI＝EI＋DI≥DE，当且仅当D，I，E三点共线时 取等号， ∵点H为AC的中点， 故E点坐标在D'(1，－ )基础上也向右平移了1个单位长度，向上平移了2 个单位长度， 即E(2，－ )，故DE＝ ＝5 ， 即DJ＋DI的最小值为5 . 故E点坐标在D'(1，－ )基础上也向右平移了1个单位长度，向上平移了2 个单位长度， 即E(2，－ )，故DE＝ ＝5 ， 即DJ＋DI的最小值为5 . ∴H(－1，2)，由平移的性质可知A点到H点向右平移了1个单位长度， 向上平移了2个单位长度， 5. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于 A(－4，0)，B两点，与y轴交于点C，顶点坐标为(－ ， )，经过点A 的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)∵顶点坐标为(－ ， )， ∴y＝a(x＋ )2＋ ， 将点A(－4，0)代入，得0＝a(－4＋ )2＋ ，解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2－ x＋2. 解：(1)∵顶点坐标为(－ ， )， ∴y＝a(x＋ )2＋ ， 将点A(－4，0)代入，得0＝a(－4＋ )2＋ ，解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2－ x＋2. (2)如图2，连接BE，已知△AEB的面积为10. ①求点E和点D的坐标； 解：(2)①当y＝0时，－ x2－ x＋2＝0， 解：(2)①当y＝0时，－ x2－ x＋2＝0， 解得x＝1或x＝－4， ∴B(1，0)， ∴AB＝5， ∴△AEB的面积＝ ×5×OE＝10，解得OE＝4， ∴E(0，4)， 设直线AE的解析式为y＝kx＋4， ∴－4k＋4＝0，解得k＝1， ∴直线AE的解析式为y＝x＋4， 当x＋4＝－ x2－ x＋2时，解得x＝－4或x＝－1， ∴D(－1，3). ②若M是线段OA上的一动点，N是线段AE上的一动点，且AM＝EN， 求EM＋ON的最小值. 解：②如图，过点A作AG⊥AE，且AG＝OE， ∵NE＝AM，∠AEO＝∠OAG，AG＝OE， ∴△NEO≌△MAG(SAS)， ∴NO＝MG， ∴EM＋ON＝EM＋MG≥EG， ∵AO＝EO＝4， ∴EM＋ON的最小值为4 . 解：②如图，过点A作AG⊥AE，且AG＝OE， ∵NE＝AM，∠AEO＝∠OAG，AG＝OE， ∴△NEO≌△MAG(SAS)， ∴NO＝MG， ∴EM＋ON＝EM＋MG≥EG， ∵AO＝EO＝4， ∴AE＝4 ， ∵∠EAG＝90°，AG＝OE＝4， ∴EG＝ ＝4 ， ∴EM＋ON的最小值为4 . 6. 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B(－3，0)两点，与y轴交 于C(0，－3)，直线y＝x＋m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交 于点E. 　　 (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把B(－3，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. 解：(1)把B(－3，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. (2)连接BC，CE，求△BCE的面积； 解：(2)∵直线y＝x＋m经过点B(－3，0)， ∴直线BE的表达式为y＝x＋3. 联立 ， 解得 或 ， ∴E(2，5)， 在y＝x＋3中， 令x＝0，则y＝3， 解：(2)∵直线y＝x＋m经过点B(－3，0)， ∴直线BE的表达式为y＝x＋3. 联立 ， 解得 或 ， ∴E(2，5)， 在y＝x＋3中， 令x＝0，则y＝3， ∴D(0，3). ∴S△BCE＝S△BCD＋S△CDE＝ ×6×3＋ ×6×2＝15. ∴D(0，3). ∴S△BCE＝S△BCD＋S△CDE＝ ×6×3＋ ×6×2＝15. (3)如图2，直线BE与抛物线的对称轴交于点F，在x轴上有M，N两点(点 M在点N的右侧)，且MN＝2，将线段MN在x轴上平移，直接写出四边形 MEFN的周长的最小值. 解：(3)四边形MEFN周长的最小值为8 ＋2. 解：(3)四边形MEFN周长的最小值为8 ＋2. 类型2　面积问题 7. 如图，抛物线y＝－ x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，2). (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把A(－1，0)，C(0，2)代入y＝－ x2＋mx＋n得 ，解得 ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. 解：(1)把A(－1，0)，C(0，2)代入y＝－ x2＋mx＋n得 ，解得 ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角 形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； 解：(2)P点坐标为(，4)或(， )或(，－ ). 解：(2)P点坐标为(，4)或(， )或(，－ ). (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时E点的坐标. 解：(3)当y＝0时，－ x2＋ x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4， 则B(4，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 解：(3)当y＝0时，－ x2＋ x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4， 则B(4，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 把B(4，0)，C(0，2)代入得 ，解得 ， ∴直线BC的解析式为y＝－ x＋2， 设E(x，－ x＋2)(0≤x≤4)，则F(x，－ x2＋ x＋2)， ∴FE＝－ x2＋ x＋2－(－ x＋2)＝－ x2＋2x， ∵S△BCF＝S△BEF＋S△CEF＝ ×4×EF＝－x2＋4x， S△BCD＝ ×2×(4－ )＝ ， ∴直线BC的解析式为y＝－ x＋2， 设E(x，－ x＋2)(0≤x≤4)，则F(x，－ x2＋ x＋2)， ∴FE＝－ x2＋ x＋2－(－ x＋2)＝－ x2＋2x， ∵S△BCF＝S△BEF＋S△CEF＝ ×4×EF＝－x2＋4x， S△BCD＝ ×2×(4－ )＝ ， ∴ ＝S△BCF＋S△BCD＝－x2＋4x＋ ＝－(x－2)2＋ (0≤x≤4) ∴ ＝S△BCF＋S△BCD＝－x2＋4x＋ ＝－(x－2)2＋ (0≤x≤4) ∴当x＝2时， 有最大值，最大值为 ，此时E点坐标为(2，1). 8. 如图1，已知抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛 物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，连接BC，交PE于点F，已知 点D到x轴的距离与AB的长度相等，设点P的横坐标为m. (1)求此抛物线的表达式； 解：(1)由题意知，y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)， 令y＝0，则x1＝－1，x2＝3， ∵点A在点B的左侧， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∴AB＝4， ∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，点D为抛物线顶点， ∴D(1，－4a)， ∵点D到x轴的距离与AB的长度相等， ∴－4a＝4， ∴a＝－1. ∴此抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. (2)若PF＝2，求点P的坐标； 解：(2)由(1)知抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3， 则点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，令x＝0，则y＝3， ∴C(0，3)， 设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得 ， ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3， ∴F(m，－m＋3)， ∴PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝2， 解：(2)由(1)知抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3， 则点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，令x＝0，则y＝3， ∴C(0，3)， 设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得 ， ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3， ∴F(m，－m＋3)， ∴PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝2， 解得m1＝1，m2＝2， ∴点P的坐标为(1，4)或(2，3)； 解得m1＝1，m2＝2， ∴点P的坐标为(1，4)或(2，3)； (3)如图2，连接BP，PA，PA交BC于点G，设△BPG和△ABG的面积分 别为S1，S2，求 的最大值. 　　 解：(3)如图，过点P作PH∥x轴交BC的延长线于点H，由题知， ＝ ， ∵PH∥x轴， ∴△PGH∽△AGB， ∴ ＝ ， 由(1)可得，AB＝4，由(2)可得，直线BC的表达式为y＝－x＋3，点 P(m，－m2＋2m＋3)，令－x＋3＝－m2＋2m＋3， ∴x＝m2－2m， ∴H(m2－2m，－m2＋2m＋3)， 解：(3)如图，过点P作PH∥x轴交BC的延长线于点H，由题知， ＝ ， ∵PH∥x轴， ∴△PGH∽△AGB， ∴ ＝ ， 由(1)可得，AB＝4，由(2)可得，直线BC的表达式为y＝－x＋3，点 P(m，－m2＋2m＋3)，令－x＋3＝－m2＋2m＋3， ∴x＝m2－2m， ∴H(m2－2m，－m2＋2m＋3)， ∴HP＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m， ∴ ＝ ＝ ＝－ ＋ ， ∵－ ＜0，0＜m＜3， ∴当m＝ 时， 取得最大值，最大值为 . ∴HP＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m， ∴ ＝ ＝ ＝－ ＋ ， ∵－ ＜0，0＜m＜3， ∴当m＝ 时， 取得最大值，最大值为 . 43 $