二、题型7 与切线有关的证明与计算-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题型突破册 1 甘肃中考题型攻克 二、中档解答题攻克 题型七　与切线有关的证明与计算 类型1　与切线性质有关的证明与计算 1. 如图，☉O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于 点E，且AE＝AB. (1)求∠ACB的度数； 解：(1)如图，连接OA， ∵AE是☉O的切线， ∴∠OAE＝90°， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB， ∴∠OAB＝∠ABE＝∠E， ∵∠OAB＋∠ABE＋∠E＋∠OAE＝180°， ∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°， ∴∠AOB＝180°－∠OAB－∠ABO＝120°， ∴∠ACB＝ ∠AOB＝60°； ∴∠ACB＝ ∠AOB＝60°； (2)若DE＝2，求☉O的半径. 解：(2)设☉O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r＋2， ∵∠OAE＝90°，∠E＝30°， ∴2OA＝OE，即2r＝r＋2， ∴r＝2， 故☉O的半径为2. 解：(2)设☉O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r＋2， ∵∠OAE＝90°，∠E＝30°， ∴2OA＝OE，即2r＝r＋2， ∴r＝2， 故☉O的半径为2. 2. (2025兰州)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交☉O于点E，连接AE，CE. (1)求证：∠ADB＝∠AEC； (1)证明：∵BD为☉O的切线， ∴AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠AEC； (1)证明：∵BD为☉O的切线， ∴AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠AEC； (2)解：∵∠ADB＝∠AEC， ∴ cos ∠ADB＝ cos ∠AEC＝ ， 在Rt△ABD中， ∵ cos ∠ADB＝ ＝ ， ∴设BD＝ x，AD＝3x， ∴AB＝ ＝ ＝2x， 即2x＝4，解得x＝2， ∴BD＝2 ， (2)解：∵∠ADB＝∠AEC， ∴ cos ∠ADB＝ cos ∠AEC＝ ， 在Rt△ABD中， ∵ cos ∠ADB＝ ＝ ， ∴设BD＝ x，AD＝3x， ∴AB＝ ＝ ＝2x， 即2x＝4，解得x＝2， ∴BD＝2 ， (2)若AB＝4， cos ∠AEC＝ ，求OD的长. 在Rt△OBD中， ∵OB＝2，BD＝2 ， ∴OD＝ ＝ ＝2 . 类型2　与切线判定有关的证明与计算 3. 如图，AB是☉O的直径， ＝ ，点E在AD的延长线上，且 ∠ADC＝∠AEB. (1)求证：BE是☉O的切线； (1)证明：如图，连接BD，OC，OD，设AB交CD 于点F， ∵ ＝ ， ∴BC＝BD， ∵OC＝OD， ∴点O，B在CD的垂直平分线上， ∴OB垂直平分CD， ∴∠AFD＝90°， ∵∠ADC＝∠AEB， ∴CD∥BE， ∴∠ABE＝∠AFD＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AB是☉O的直径， ∴BE是☉O的切线； ∴AB⊥BE， ∵AB是☉O的直径， ∴BE是☉O的切线； (2)解：∵☉O的半径为2， ∴AB＝4， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝3， ∴AC＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠ABC＝ ＝ ， (2)当☉O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值. ∴∠AEB＝∠ABC， ∴tan∠AEB＝tan∠ABC＝ . ∴∠AEB＝∠ABC， ∴tan∠AEB＝tan∠ABC＝ . ∵ ＝ ， ∴∠ADC＝∠ABC， ∵∠AEB＝∠ADC， 4. (2025省卷)如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在☉O上，∠BAO＝ ∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点， ∠BCD＝ ∠AOB. (1)求证：CD是☉O的切线； (1)证明：∵OA＝OC＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB， ∵∠BAO＝∠BCO， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝∠COB， ∴ ＝ ， 如图，连接CE， ∵BE是☉O的直径， ∴∠OCE＋∠OCB＝90°， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵∠E＝ ∠AOB，∠BCD＝ ∠AOB， ∴∠BCD＝∠ECO， ∴∠DCO＝∠DCB＋∠BCO＝90°， ∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线； ∵∠E＝ ∠AOB，∠BCD＝ ∠AOB， ∴∠BCD＝∠ECO， ∴∠DCO＝∠DCB＋∠BCO＝90°， ∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线； (2)解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形ABCO是菱形， ∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OF＝ OB＝ OE， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵EF＝3， ∴OF＝1，OE＝2， ∴OC＝2， ∵∠DOC＝60°， ∴CD＝OC·tan 60°＝2× ＝2 . (2)解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形ABCO是菱形， ∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OF＝ OB＝ OE， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵EF＝3， ∴OF＝1，OE＝2， ∴OC＝2， ∵∠DOC＝60°， ∴CD＝OC·tan 60°＝2× ＝2 . (2)若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长. 5. 如图，△ABC内接于☉O，BC是☉O的直径，过CA的延长线上一点D 作DG⊥BC于点G，交AB于点E，点F是DE的中点，连接AF. (1)求证：AF是☉O的切线； (1)证明：如图，连接AO， ∵BC是☉O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∵点F是DE的中点， ∴DF＝AF＝EF＝ DE， ∴∠FAE＝∠AEF， (1)证明：如图，连接AO， ∵BC是☉O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∵点F是DE的中点， ∴DF＝AF＝EF＝ DE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∵∠AEF＝∠BEG，DG⊥BC， ∴∠BGE＝90°， ∴∠B＋∠BEG＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB， ∴∠EAF＋∠BAO＝90°， ∴AO⊥AF， ∵OA是☉O的半径， ∴AF是☉O的切线； ∵∠AEF＝∠BEG，DG⊥BC， ∴∠BGE＝90°， ∴∠B＋∠BEG＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB， ∴∠EAF＋∠BAO＝90°， ∴AO⊥AF， ∵OA是☉O的半径， ∴AF是☉O的切线； (2)解：∵BG＝OG＝8， ∴OC＝OB＝BG＋OG＝16， ∴GC＝OG＋OC＝8＋16＝24， ∴在Rt△BGE中，GE＝BG·tan B＝8× ＝6. ∵∠B＋∠BEG＝90°，∠D＋∠DEA＝90°，∠DEA ＝∠BEG， ∴∠B＝∠D， (2)若BG＝OG＝8，tan B＝ ，求AF的长. ∴DE＝DG－GE＝32－6＝26， ∴AF＝ DE＝13. ∴DE＝DG－GE＝32－6＝26， ∴AF＝ DE＝13. ∴tan D＝tan B＝ ， ∴在Rt△DGC中，DG＝ ＝ ＝32， 6. (2024兰州)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D为☉O上 一点，BC＝BD，延长BA至点E，使得∠ADE＝∠CBA. (1)求证：ED是☉O的切线； (1)证明：如图，连接OD， ∵AB为☉O的直径， ∴∠BCA＝∠BDA＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠DBA＝∠BDO， 在Rt△BCA和Rt△BDA中， ， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)， (1)证明：如图，连接OD， ∵AB为☉O的直径， ∴∠BCA＝∠BDA＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠DBA＝∠BDO， 在Rt△BCA和Rt△BDA中， ， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)， ∴∠CBA＝∠DBA， ∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO， ∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO， ∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD， ∵OD为☉O的半径， ∴ED是☉O的切线； ∴∠CBA＝∠DBA， ∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO， ∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO， ∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD， ∵OD为☉O的半径， ∴ED是☉O的切线； (2)解：∵BO＝4， ∴AB＝2OB＝8， ∴EB＝AE＋AB＝AE＋8， ∵tan∠CBA＝ ，∠CBA＝∠DBA， ∴tan∠DBA＝ ， 在Rt△ABD中，tan∠DBA＝ ＝ ， ∴设AD＝a，BD＝2a， ∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E， ∴△EAD∽△EDB， (2)解：∵BO＝4， ∴AB＝2OB＝8， ∴EB＝AE＋AB＝AE＋8， ∵tan∠CBA＝ ，∠CBA＝∠DBA， ∴tan∠DBA＝ ， 在Rt△ABD中，tan∠DBA＝ ＝ ， ∴设AD＝a，BD＝2a， (2)若BO＝4，tan∠CBA＝ ，求ED的长. ∴ED∶EB＝AE∶ED＝AD∶BD， 即ED∶(AE＋8)＝AE∶ED＝a∶2a， 由AE∶ED＝a∶2a，得：AE＝ ED，由ED∶(AE＋8)＝a∶2a，得 2ED＝AE＋8， ∴2ED＝ ED＋8， ∴ED＝ . ∴ED∶EB＝AE∶ED＝AD∶BD， 即ED∶(AE＋8)＝AE∶ED＝a∶2a， 由AE∶ED＝a∶2a，得：AE＝ ED，由ED∶(AE＋8)＝a∶2a，得 2ED＝AE＋8， ∴2ED＝ ED＋8， ∴ED＝ . ∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E， ∴△EAD∽△EDB， 23 $