微专题7 类型2 利用“垂线段最短” 求最值-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题型突破册 1 甘肃中考方法提炼 微专题七　几何最值问题 类型2　利用“垂线段最短” 求最值 方法归纳 针对训练 方法1　利用对称构造等线段 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点M，N分别是线段 AC，AB上的动点，求BM＋MN的最小值. 【方法指引】作点B关于直线AC的对称点，将两条线段和最小问题转化 为垂线段最短问题. 类型 2　 利用“垂线段最短” 求最值 解：如图，作B点关于AC的对称点B'，过点B'作AB的垂线，交AC于点 M，交AB于点N， 由对称性可得MB＝MB'， ∴BM＋MN＝B'M＋MN＝B'N，此时BM＋MN的值最小，在Rt△ABC 中，AB＝20，BC＝10， ∴AC＝10 ， ∵AB·BC＝AC·BH， ∴10×20＝10 BH， ∴BH＝4 ， ∴BB'＝8 ， 解：如图，作B点关于AC的对称点B'，过点B'作AB的垂线，交AC于点 M，交AB于点N， 由对称性可得MB＝MB'， ∴BM＋MN＝B'M＋MN＝B'N，此时BM＋MN的值最小，在Rt△ABC 中，AB＝20，BC＝10， ∴AC＝10 ， ∵AB·BC＝AC·BH， ∴10×20＝10 BH， ∴BH＝4 ， ∴BB'＝8 ， ∵ cos ∠CAB＝ ＝ ， ∴ cos ∠NB'B＝ ＝ ＝ ， ∴B'N＝16， ∴BM＋MN的最小值为16. ∵ cos ∠CAB＝ ＝ ， ∴ cos ∠NB'B＝ ＝ ＝ ， ∴B'N＝16， ∴BM＋MN的最小值为16. 方法2　利用锐角三角函数构造等线段 2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上 的一个动点，求 BP＋PC最小值. 【方法指引】过点P作AB的垂线，通过锐角三角函数将两条线段和最小 问题转化为垂线段最短问题. 解：如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点C作CH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠PBM＝ ∠ABC＝30°， ∴PM＝ PB， ∴ PB＋PC＝PC＋PM，根据垂线段最短可知，CP＋PM的最小值为 CH的长， 在Rt△CBH中，CH＝BC· sin 60°＝ ， ∴ BP＋PC最小值是 . 解：如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点C作CH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠PBM＝ ∠ABC＝30°， ∴PM＝ PB， ∴ PB＋PC＝PC＋PM，根据垂线段最短可知，CP＋PM的最小值为 CH的长， 在Rt△CBH中，CH＝BC· sin 60°＝ ， ∴ BP＋PC最小值是 . 3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，P为边CD上 的一动点，求PB＋ PD的最小值. 解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDP＝∠DAB＝60°， ∴ sin ∠EDP＝ ＝ ， ∴EP＝ PD， ∴PB＋ PD＝PB＋PE， ∴当B，P，E三点共线且BE⊥AD时，PB＋PE有最小值，即最小值 为BE， ∵ sin A＝ ，AB＝6， ∴BE＝3 ， ∴PB＋ PD的最小值为3 . ∵ sin A＝ ，AB＝6， ∴BE＝3 ， ∴PB＋ PD的最小值为3 . 11 $