微专题7 类型1 利用“两点之间线段最短” 求最值-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题型突破册 1 甘肃中考方法提炼 微专题七　几何最值问题 类型1　利用“两点之间线段最短” 求最值 方法归纳 针对训练 方法归纳 方法1　利用对称构造等线段 类型 1　 利用“两点之间线段最短” 求最值 1. 如图，正方形ABCD的边长为12，点M在边DC上，且DM＝3，点N是 对角线AC上一动点，求DN＋MN的最小值. 【方法指引】找点D关于直线AC的对称点，将两条线段和最小问题转化 为两点之间线段最短问题. 解：如图，连接BN，BM. ∵四边形ABCD为正方形， ∴点B与点D关于AC对称. ∴NB＝DN. ∴DN＋MN＝BN＋MN≥BM， ∴DN＋MN的最小值为BM的长， CM＝CD－DM＝12－3＝9，在Rt△BMC中， 由勾股定理，得BM＝ ＝ ＝15. ∴DN＋MN的最小值为15. 解：如图，连接BN，BM. ∵四边形ABCD为正方形， ∴点B与点D关于AC对称. ∴NB＝DN. ∴DN＋MN＝BN＋MN≥BM， ∴DN＋MN的最小值为BM的长， CM＝CD－DM＝12－3＝9，在Rt△BMC中， 由勾股定理，得BM＝ ＝ ＝15. ∴DN＋MN的最小值为15. 2. 如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M，N分别为 射线OA，OB上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数 . 【方法指引】分别作点P关于射线OA，OB的对称点，将周长最小问题转 化为两点之间线段最短问题. 解：如图，连接OP，作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM. ∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP， 作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF， ∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF， ∴PM＋PN＋MN＝EM＋NF＋MN≥EF， 当E，M，N，F四点共线时，△PMN周长最小， 又∵∠EOF＝∠EOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOF，∠AOB＝∠MOP ＋∠PON， 在△EOF中，∠OEM＋∠OFN＋∠EOF＝180°， ∴∠OEM＋∠OFN＝180°－100°＝80°， ∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN， ∴∠MPO＋∠OPN＝80°， ∴∠MPN＝80°. 在△EOF中，∠OEM＋∠OFN＋∠EOF＝180°， ∴∠OEM＋∠OFN＝180°－100°＝80°， ∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN， ∴∠MPO＋∠OPN＝80°， ∴∠MPN＝80°. ∴∠EOF＝2∠AOB， 又∵∠AOB＝50°， ∴∠EOF＝100°， 方法2　利用平行四边形构造等线段 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F分别是边AB，CD的 中点，点G，H为线段EF上的两个动点，且GH＝3，连接BG，DH，求 BG＋DH的最小值. 【方法指引】以BG，GH为边构造平行四边形，将不共端点的两条线段 和最小问题转化为两点之间线段最短问题. 解：如图，取边BC的中点M，连接HM，DM， ∴BM＝CM＝ BC＝3. ∵GH＝BM＝3，GH∥BM， ∴四边形GBMH为平行四边形， ∴BG＝HM， ∴BG＋DH＝ HM＋DH≥DM. 在Rt△DMC中，由勾股定理，得DM＝ ＝5. ∴BG＋DH的最小值为5. 解：如图，取边BC的中点M，连接HM，DM， ∴BM＝CM＝ BC＝3. ∵GH＝BM＝3，GH∥BM， ∴四边形GBMH为平行四边形， ∴BG＝HM， ∴BG＋DH＝ HM＋DH≥DM. 在Rt△DMC中，由勾股定理，得DM＝ ＝5. ∴BG＋DH的最小值为5. 4. 如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上 (点E在点F的左侧)，且EF＝1，求DE＋BF的最小值. 【方法指引】过点D作直线AC的平行线，以DE，EF为边构造平行四边 形，将不共端点的两条线段和最小问题转化为两点之间线段最短问题. 解：如图，过点D作DM∥AC，且DM＝EF＝1，连接BM交AC于点 F， ∵DM＝EF，DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形， ∴DE＝FM， ∴DE＋BF＝FM＋FB≥BM， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°， ∴AD＝AB，AC⊥BD. ∴DE＋BF的最小值为 . ∴DE＋BF的最小值为 . ∴△ABD是等边三角形，BD⊥DM. ∴BD＝AB＝3， 在Rt△BDM中，BM＝ ＝ ， 方法3　利用全等三角形构造等线段 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是 对角线BD上一动点，且BE＝DF，求DE＋CF的最小值. 【方法指引】延长DA，构造以DF为边的三角形与△BDE全等，将不共端 点的两条线段和最小问题转化为两点之间线段最短问题. 解：如图，延长DA到点G，使DG＝DB，连接FG，CG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，∠BAD＝∠GDC＝90°， ∴∠GDF＝∠DBE. ∵DF＝BE，DG＝BD， ∴△DGF≌△BDE(SAS)， ∴FG＝DE， 在Rt△GDC中，GD＝BD＝5，∠GDC＝90°， ∴GC＝ ＝ ＝ ， ∴DE＋CF的最小值为 . 在Rt△GDC中，GD＝BD＝5，∠GDC＝90°， ∴GC＝ ＝ ＝ ， ∴DE＋CF的最小值为 . ∴DE＋CF＝FG＋CF≥CG， ∴当G，F，C三点共线时，FG＋CF的值最小，最小值为CG的长. ∵∠BAD＝90°， ∴BD＝ ＝ ＝5. 6. 如图，在Rt△ABC中，D，E是AB边上的两个动点，且AD＝BE，连 接CD，CE，若∠B＝30°，AC＝4，求CD＋CE的最小值. 【方法指引】过点A作直线BC的平行线，构造以AD为边的三角形与 △BCE全等，将不共端点的两条线段和最小问题转化为两点之间线段最短 问题. 解：如图，过点A作AF∥BC，且AF＝BC，连接DF，CF， ∴∠FAD＝∠CBE. ∵AD＝BE， ∴△FAD≌△CBE (SAS)， ∴DF＝CE， ∴CD＋CE＝CD＋DF≥CF， 易得∠CAF＝90°，∠AFC＝30°， ∵AC＝4， ∴CF＝2AC＝8， ∴CD＋CE的最小值为8. 解：如图，过点A作AF∥BC，且AF＝BC，连接DF，CF， ∴∠FAD＝∠CBE. ∵AD＝BE， ∴△FAD≌△CBE (SAS)， ∴DF＝CE， ∴CD＋CE＝CD＋DF≥CF， 易得∠CAF＝90°，∠AFC＝30°， ∵AC＝4， ∴CF＝2AC＝8， ∴CD＋CE的最小值为8. 7. 如图，在矩形ABCD中，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑 动，且EF＝1.若AB＝5，BC＝2，求GE＋CF的最小值. 解：如图，作点G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，连接HG' 交AB于点E，在EB上截取EF＝1，此时GE＋CF的值最小， ∵CH＝EF＝1，CH∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH＝CF， ∴G'H＝EG'＋EH＝EG＋CF， ∵AB＝CD＝5，BC＝AD＝2，G为边AD的中点， ∴AG＝1， ∴DG'＝AD＋AG'＝2＋1＝3，DH＝5－1＝4，在Rt△DHG'中，由勾股 定理得HG'＝ ＝5， 即GE＋CF的最小值为5. 8. 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且 EF＝ ，连接CE，CF，求△CEF周长的最小值. 解：如图，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG， 则AE＝FG，EF＝AG＝ ，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC， ∴∠GAC＝90°， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)， ∴CE＝AE＝GF， ∴CE＋CF＝GF＋CF， ∴当点G，F，C在同一直线上时，CF＋FG的值最小，最小值为CG的 长， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴AC＝3 ， 在Rt△ACG中，由勾股定理得CG＝ ＝ ＝2 ， ∴CF＋FG的最小值为2 ，又 ∵EF＝ ， ∴△CEF周长的最小值为 ＋2 . ∴AC＝3 ， 在Rt△ACG中，由勾股定理得CG＝ ＝＝2 ， ∴CF＋FG的最小值为2 ，又 ∵EF＝ ， ∴△CEF周长的最小值为 ＋2 . 9. 在锐角△ABC中，AC＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，点D，E分别是 边AB，AC上的动点，且AD＝CE，求CD＋BE的最小值. 解：如图，过点C作CK∥AB，使CK＝AC＝10，过点B作BG⊥KC， 交KC的延长线于点G，连接BK，EK. 则∠KCE＝∠CAD， 在△CKE和△ACD中， ， ∴△CKE≌△ACD(SAS)， ∴EK＝CD， ∴CD＋BE＝EK＋BE≥BK， ∴CD＋BE的最小值为BK的长， ∵CK∥AB，BG⊥CK， ∴BG⊥AB，∠BGK＝90°， ∴∠ABG＝90°， ∴∠CBG＝∠ABG－∠ABC＝90°－60°＝30°， ∴CG＝ BC＝ ×8＝4， ∴∠ABG＝90°， ∴∠CBG＝∠ABG－∠ABC＝90°－60°＝30°， ∴CG＝ BC＝ ×8＝4， 在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG＝ ＝ ＝4 ， KG＝CK＋CG＝10＋4＝14， 在Rt△BGK中，由勾股定理得：BK＝ ＝ ＝ 2 ， ∴CD＋BE的最小值为2 . 在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG＝ ＝ ＝4 ， KG＝CK＋CG＝10＋4＝14， 在Rt△BGK中，由勾股定理得：BK＝ ＝ ＝ 2 ， ∴CD＋BE的最小值为2 . 26 $