微专题6 隐形圆问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 题型突破册 1 甘肃中考方法提炼 微专题六　隐形圆问题 一阶　构造隐形圆 二阶　利用隐形圆求最值 综合训练 一阶 构造隐形圆 模型一　定点定长模型 条件 线段AB长度为定值，点A为定点， 点B为动点 OA＝OB＝OC 图示 结论 点B的运动轨迹是以点A为圆心，线 段AB长为半径的圆 点A，B，C均在☉O上 1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，连接BD，若∠CAD＝ 84°，则∠CBD的度数为 ⁠. 42°　 2. 如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下 滑至A'处并且A'C＝1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为 米. 　 【解析】如图，连接CP，CP'.∵∠ACB＝90°，BC＝1米，AB＝2米，∴∠BAC＝30°，∵P是木棒AB的中点，∴PC＝PA＝1米，∴∠PCA＝30°，同理求出∠B'CP'＝30°，则∠PCP'＝30°，∴木棒AB的中点P运动的路径长为×2π×1＝米. 模型二　定弦定角模型 条件 在△ABC中，AB为定长，∠ACB的度数为定值 图示 ∠ACB＜90° ∠ACB＝90° ∠ACB＞90° 结论 ∠ACB＝ ∠AOB， 点C的运动轨迹为优 弧ACB(不与点A，B 重合) AB为直径，点 C的运动轨迹为 ☉O(不与点 A，B重合) ∠AOB＋∠ACB＝ 180°，点C的运动轨迹为 劣弧ACB(不与点A，B重 合) 3. 如图，正方形ABCD的边长为2，P是边AB上一动点，过点B作直线 CP的垂线，垂足为Q，当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长 为 . 　 【解析】如图，∵PC⊥BQ，∴∠CQB＝90°，∴点Q在以BC为直径的圆上运动，当点P从点A运动到点B时，运动路径的圆心角为90°，∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴BC＝2，∴OB＝1，∴点Q的运动路径的长为＝. 模型三　四点共圆模型 条件 ∠C＝∠D＝90° ∠D＋∠B＝180° 图示 结论 A，B，C，D四点共圆 A，B，C，D四点共圆，∠A＋ ∠C＝180° 4. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于 点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE＝ ⁠. 20°　 5. 如图，已知△ABC，D为平面内一动点，且AD平分∠CAB，连接 BD，CD.若∠ABD＋∠ACD＝180°，BD＝3，则CD的长为 ⁠. 3　 二阶　利用隐形圆求最值 类型一　点圆最值 已知平面内一定点D和☉O，点E是☉O上一点，当D，O，E三点共线 时，线段DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)，设点O与点D之 间的距离为d，☉O的半径为r. 位置关系 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 图示 DE的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点E的位置 连接DO并延长交☉O于点E DE的最小值 r－d 0 d－r 此时点E的位置 连接OD并延长 交☉O于点E 点E与点D重合 连接OD交☉O于 点E 6. 如图，在矩形ABCD中，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，若 AB＝4，BC＝6，求线段CE的最小值. 解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点E在以AB为直径的半☉O上， 连接CO交☉O于点E'， ∴当点E位于点E'位置时，线段CE取得最小值， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE'＝2， ∵BC＝6， ∴OC＝ ＝ ＝2 ， ∴CE'＝OC－OE'＝2 －2. 7. 如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，点C为坐标平面内的 一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值. 解：如图，作点A关于点O的对称点A'(－3，0)， 则点O是AA'的中点， 又∵点M是AC的中点， ∴OM是△AA'C的中位线， ∴OM＝ A'C， ∴当A'C最大时，OM最大， ∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2， ∴点C在以点B为圆心，2为半径的☉B上运动， ∴当A'C经过圆心B时，A'C最大，即点C在图中点C'的位置. 此时A'C'＝A'B＋BC'＝3 ＋2. ∴OM的最大值为 ＋1. ∴OM的最大值为 ＋1. 类型二　线圆最值 已知☉O及直线l，☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，点Q为 ☉O上一点. 位置关系 直线l与☉O相离 直线l与☉O相切 直线l与☉O相交 图示 点Q到直线 l距离的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点Q的 位置 过点O作直线l的垂线，垂线与☉O的交点中距离直线l较 远的交点即为点Q 点Q到直线l的距离的最小值 d－r 0 0 此时点Q 的位置 过点O作直线l的垂线，垂线与☉O的交点中距离直线l较近的交点即为点Q 直线l与☉O的交点 即为点Q 8. 如图，在△ABC中，BC＝2，点A为平面内一动点，在点A运动的过程 中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 . ＋1　 【解析】如图，作△ABC的外接圆☉O，连接OB，OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为＋1，∴△ABC的最大面积是×2×(＋1)＝＋1. 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， CD⊥AB，垂足为D，E是边BC上的动点(0＜CE＜3)，若点P在线段DE 上，且∠CDP＋∠CBP＝60°，求点P到直线AC距离的最小值. 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝8， ∵CD⊥AB， ∴∠ABC＋∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴BD＝ BC＝2， ∵∠BED＝∠BCD＋∠CDP，∠BPD＝∠BED＋∠CBP， ∴∠BPD＝∠BCD＋∠CDP＋∠CBP， ∵∠CDP＋∠CBP＝60°， ∴∠BPD＝30°＋60°＝90°， ∴点P在以BD为直径的圆上， 如图，设BD的中点为O，则BO＝DO＝1，即以BD为直径的☉O的半 径OP为1， ∴AO＝AB－BO＝7， 过点O作OF⊥AC，垂足为F，交☉O于点P，此时点P到AC的距离最 小， ∵∠AFO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△AFO∽△ACB， ∴AO∶AB＝OF∶BC， 即7∶8＝OF∶4，解得OF＝3.5， ∴PF＝OF－OP＝3.5－1＝2.5， ∴点P到直线AC距离的最小值为2.5. ∴点P到直线AC距离的最小值为2.5. 27 $