第3章 第15节 整合——函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 分层练习册 1 第三章　函数 第15节　整合——函数的实际应用 一阶　基础巩固练 二阶　能力提升练 一阶 基础巩固练 1. 如图，用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻 边长为y m，矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的 变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　A　) A.一次函数关系，二次函数关系 B.反比例函数关系，二次函数关系 C.一次函数关系，反比例函数关系 D.反比例函数关系，一次函数关系 A 2. (2025湖北)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A) 与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　A　) A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A A 3. (2025福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量 的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的 长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m 的物体重力为m g，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹 簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米 时，所挂物体的质量为 千克. 0.8　 4. (2024无锡)大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1 500米的M，N两点同时出发，相向而行.两人离M点的距离s关于时间t 的函数关系如图中折线所示.小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息 1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自 终点. (1)a的值为 ⁠； 10　 (2)求图中BC所对应的函数表达式； 解：(2)10－4＝6， 6 min时小亮与N点的距离为150×6＝900(m)， 则此时小明与M点的距离为1 500－900＋400＝ 1 000(m)，∴B(6，1 000). 设BC所对应的函数表达式为s＝kt＋b， 将B(6，1 000)和C(10，1 500)分别代入s＝kt＋ b， 得 ，解得 ， 解：(2)10－4＝6， 6 min时小亮与N点的距离为150×6＝900(m)， 则此时小明与M点的距离为1 500－900＋400＝ 1 000(m)，∴B(6，1 000). 设BC所对应的函数表达式为s＝kt＋b， 将B(6，1 000)和C(10，1 500)分别代入s＝kt＋b， 得 ，解得 ， ∴BC所对应的函数表达式为s＝125t＋250(6≤t≤10). ∴BC所对应的函数表达式为s＝125t＋250(6≤t≤10). (3)求小明、小亮相遇的时间. 解：(3)∵B(6，1 000)，∴A(5，1 000)， ∴小明的速度为1 000÷5＝200(m/min)， 1 500÷(200＋150)＝ (min). 答：小明、小亮相遇的时间为 min. 解：(3)∵B(6，1 000)，∴A(5，1 000)， ∴小明的速度为1 000÷5＝200(m/min)， 1 500÷(200＋150)＝ (min). 答：小明、小亮相遇的时间为 min. 5. (2025新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长 的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道 截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8 米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式； 解：(1)由题意得，顶点为(，8)，即(6，8)， 设抛物线的解析式为：y＝a(x－6)2＋8(a≠0)， 代入点(12，0)得a(12－6)2＋8＝0， 解得：a＝－ ， ∴抛物线解析式为y＝－ (x－6)2＋8(0≤x≤12)； 解：(1)由题意得，顶点为(，8)，即(6，8)， 设抛物线的解析式为：y＝a(x－6)2＋8(a≠0)， 代入点(12，0)得a(12－6)2＋8＝0， 解得：a＝－ ， ∴抛物线解析式为y＝－ (x－6)2＋8(0≤x≤12)； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不 少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两 车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶， 能否安全通过？请说明理由. 解：(2)能安全通过，理由如下： 记甲车左侧所在直线与x轴的交点为xA，则xA＝ － －3＝2， 将x＝2代入y＝－ (x－6)2＋8， 得y＝－ ×(2－6)2＋8＝ ， ∵ －3.5＝ ＞0.5， ∴能安全通过. 二阶 能力提升练 6. (2025山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘 米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x ＜1 000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1 000) 内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结 论正确的是(　B　) A.当x≥1 000时，y随x的增大而减小 B B.当x＝2 000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1 000 D.当y＝0.4时，x＝600 【解析】A.当x≥1 000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错 误，不符合题意；B.∵抛物线过点(1 000，0.6)，(3 000，0.6)，∴抛物 线的对称轴为：直线x＝ ＝2 000，∵抛物线的开口向下，∴x ＝2 000时，y有最大值，故B选项正确，符合题意；C.由图象可得：当y ＝0.6时，x1＝1 000，x2＝3 000，∴当y≥0.6时，1 000≤x≤3 000，故C 选项错误，不符合题意；D.由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2 个，故D选项错误，不符合题意. 【解析】A.当x≥1 000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错 误，不符合题意；B.∵抛物线过点(1 000，0.6)，(3 000，0.6)，∴抛物 线的对称轴为：直线x＝ ＝2 000，∵抛物线的开口向下，∴x ＝2 000时，y有最大值，故B选项正确，符合题意；C.由图象可得：当y ＝0.6时，x1＝1 000，x2＝3 000，∴当y≥0.6时，1 000≤x≤3 000，故C 选项错误，不符合题意；D.由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2 个，故D选项错误，不符合题意. 7. 加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健 体的明确要求.体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看 作是抛物线，其行进的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)的函数解 析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当 实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为(　C　) A.3 B.4 C.5 D.6 C 【解析】设抛物线的对称轴为直线x＝m，点C关于对称轴的对称点为 D，记D点的横坐标为xD，观察图象可知C点横坐标为8，∴ ＝m， 解得xD＝2m－8，观察图象可知点D是位于A，B两点之间的，所以0＜ xD＜4，即0＜2m－8＜4，解得4＜m＜6，所以实心球行进到最高点时水 平距离x可能为5. 【解析】设抛物线的对称轴为直线x＝m，点C关于对称轴的对称点为 D，记D点的横坐标为xD，观察图象可知C点横坐标为8，∴ ＝m， 解得xD＝2m－8，观察图象可知点D是位于A，B两点之间的，所以0＜ xD＜4，即0＜2m－8＜4，解得4＜m＜6，所以实心球行进到最高点时水 平距离x可能为5. 8. (2025深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品 商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； 解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 根据题意得： ， 解得 ， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 选择条件①②： 根据题意得： ， 解得 ， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2 倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 解：(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10－m)个， 根据题意得：10－m≤2m， 解得m≥ ， 又∵m≤10，∴ ≤m≤10， 设学校购买篮球、足球的总费用为w元， 根据题意得：w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， 解：(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10－m)个， 根据题意得：10－m≤2m， 解得m≥ ， 又∵m≤10，∴ ≤m≤10， 设学校购买篮球、足球的总费用为w元， 根据题意得：w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵ ≤m≤10，且m为正整数， ∴当m＝4时，w最小，最小值为540. 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元. ∵ ≤m≤10，且m为正整数， ∴当m＝4时，w最小，最小值为540. 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元. 9. 综合与实践 主题：二次函数与刹车距离的探究 素 材 1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板 到车辆完全停止时，所行驶的距离. 素 材 2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标.经大量 实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离y(单位：米)与刹车时 汽车的速度x(单位：千米/小时)之间存在二次函数关系. 素 材 3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千 米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离 为30米. 请根据上述素材，解答下列问题. (1)求y与x的函数关系式； 解：(1)由题意，设y与x的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c， ∵当x＝0时，y＝0，∴c＝0. ∴y＝ax2＋bx. 又∵当x＝40时，y＝16；当x＝60时，y＝30， ∴ .∴a＝ ，b＝ . ∴y与x的函数关系式为y＝ x2＋ x. 解：(1)由题意，设y与x的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c， ∵当x＝0时，y＝0，∴c＝0. ∴y＝ax2＋bx. 又∵当x＝40时，y＝16；当x＝60时，y＝30， ∴ .∴a＝ ，b＝ . ∴y与x的函数关系式为y＝ x2＋ x. (2)在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞 到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？(不考虑汽车变道和司机的 反应时间) 解：(2)∵要求刹车距离不超过70米， ∴令y＝ x2＋ x＝70.∴x2＋40x－14 000＝0. 解得x＝100(负根舍去). ∴刹车时速度不能超过100千米/小时. 解：(2)∵要求刹车距离不超过70米， ∴令y＝ x2＋ x＝70.∴x2＋40x－14 000＝0. 解得x＝100(负根舍去). ∴刹车时速度不能超过100千米/小时. 10. (2025内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》 刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品. 已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款 200个，需花费8 000元. (1)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ 解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个 进价为y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价 为20元； (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售 价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100) 元，W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求W关于a的函数 表达式，并求出W的最大值. 解：(2)由题意得，W＝(a－40)[200－5(a－60)] ＝－5(a－70)2＋4 500， ∵－5＜0，60≤a≤100， ∴当a－70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4 500. 解：(2)由题意得，W＝(a－40)[200－5(a－60)] ＝－5(a－70)2＋4 500， ∵－5＜0，60≤a≤100， ∴当a－70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4 500. 11. (2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1 与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示， 以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直 角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与 桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到 FF'的距离PD＝2 m.(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式； 解：(1)由题意，∵AO＝17 m， ∴A(0，17). 又OC＝100 m，缆索L1的最低点P到FF'的 距离PD＝2 m， ∴抛物线的顶点P为(50，2). 故可设抛物线为y＝a(x－50)2＋2. 又将A(0，17)代入抛物线可得， 2 500a＋2＝17. ∴a＝ . 解：(1)由题意，∵AO＝17 m， ∴A(0，17). 又OC＝100 m，缆索L1的最低点P到FF'的 距离PD＝2 m， ∴抛物线的顶点P为(50，2). 故可设抛物线为y＝a(x－50)2＋2. 又将A(0，17)代入抛物线可得， 2 500a＋2＝17. ∴a＝ . ∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝ (x－50)2＋2(0≤x≤100). ∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝ (x－50)2＋2(0≤x≤100). (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长. 解：(2)由题意， ∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 缆索L1所在抛物线为y＝ (x－50)2＋2， ∴缆索L2所在抛物线为y＝ (x＋50)2＋2. 又令y＝2.6， ∴2.6＝ (x＋50)2＋2. ∴x＝－40或x＝－60. 又FO＜OD＝50 m， ∴x＝－40. ∴FO的长为40 m. 又FO＜OD＝50 m， ∴x＝－40. ∴FO的长为40 m. 27 $