第3章 第14节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 课堂精讲册 1 第三章　函数 第14节　二次函数的图象与性质 教材知识全梳理 甘肃考点系统练 知识点 1 　二次函数的图象与性质 概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数， 叫做二次函数 开口 方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 大致 图象 对称 轴 (1)对称轴为直线x＝－ ； (2)配方转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x＝h； (3)已知抛物线上纵坐标相同的两点A(x1，y)，B(x2，y)，则对称 轴为直线x＝ 顶点 坐标 (1)直接运用顶点坐标公式(－ ， 　)； (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点 坐标为(h，k)； (3)将对称轴x＝x0代入函数解析式求得对应的y0 增减 性 在对称轴左侧，y随x的增大 而① ⁠； 在对称轴右侧，y随x的增大 而③ ⁠ 在对称轴左侧，y随x的增大而 ② ⁠； 在对称轴右侧，y随x的增大而 ④ ⁠ 最值 当x＝－ 时，y取最 ⑤ 值，其值为 当x＝－ 时，y取最⑥ ⁠ 值，其值为 　 减小　 增大　 增大　 减小　 小　 大　 　 知识点 2 　二次函数解析式的确定 二次函数 解析式的三种表达 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k是常数) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2是常数)，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标 二次函数 解析 式的确定 方法：待定系数法 一般步骤： 一设：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 二列：找出函数图象上的点，并代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中，得到方程组； 三解：解方程组，得到a，b，c的值； 四还原：将所求待定系数a，b，c的值代入y＝ax2＋bx＋c 中即可 【温馨提示】 解析式的常见设法： 1. 若顶点在原点，可设为y＝ax2； 2. 若顶点在y轴上(或对称轴是y轴)，可设为y＝ax2＋c； 3. 若顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； 4. 若抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx； 5. 若已知任意三个点的坐标，可设为y＝ax2＋bx＋c； 6. 若已知顶点(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k； 7. 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，可设为交点式y ＝a(x－x1)(x－x2) 　 知识点 3 　二次函数图象的平移 平移方向 一般式y＝ax2＋bx＋c 顶点式y＝a(x －h)2＋k 简记 向左平移m 个单位长度 y＝a(x＋m)2＋b(x＋ m)＋c y＝a(x－h＋ m)2＋k x“左加右减” 向右平移m 个单位长度 ⑦ ⁠ ⁠ ⑧ ⁠ ⁠ 向上平移m 个单位长度 y＝ax2＋bx＋c＋m y＝a(x－h)2＋ k＋m 等号右边整体 “上加下减” 向下平移m 个单位长度 ⑨ ⁠ ⁠ ⑩ ⁠ ⁠ 等号右边整体 “上加下减” y＝a(x－m)2＋ b(x－m)＋c　 y＝a(x－ h－m)2＋k　 y＝ax2＋bx＋c －m　 y＝a(x－ h)2＋k－m　 　 知识点 4 　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数 与一元 二次方程 的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴交点的横坐标； 抛物线与x轴有两个交点⇔方程有两个不相等的实数根⇔b2－ 4ac＞0； 抛物线与x轴有一个交点⇔方程有两个相等的实数根⇔b2－ 4ac＝0； 抛物线与x轴无交点⇔方程无实数根⇔b2－4ac＜0 二次函数 与不等式 的关系 ax2＋bx＋c＞kx＋m的解集⇔函数y＝ax2＋bx＋c的图象位 于函数y＝kx＋m图象上方对应的点的横坐标的取值范围； ax2＋bx＋c＜kx＋m的解集⇔函数y＝ax2＋bx＋c的图象位 于函数y＝kx＋m图象下方对应的点的横坐标的取值范围 二次函数的图象与性质(省卷：6年4考；兰州：3年2考) 1. (2023兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　C　) A.对称轴为直线x＝－2 B.顶点坐标为(2，3) C.函数的最大值是－3 D.函数的最小值是－3 C 拓展训练 2. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，点A，B均在 抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(n，3)，则点B的坐标 为(　C　) A.(n＋2，3) B.(n－2，3) C.(2－n，3) D.(2－2n，3) C 3. 二次函数y＝x2＋2x－1的图象大致是(　C　) C 4. (人教九上习题改编)已知二次函数y＝2x2＋4x＋3. (1)该二次函数的图象开口向 ，顶点坐标为 ⁠； (2)当x＜－1时，y随x的增大而 (填“增大”“减小”或“不 变”)，当1≤x≤3时，函数值y的最大值为 ⁠； (3)若该二次函数的图象经过点(－2，y1)，(0，y2)，(3，y3)，则y1，y2，y3 的大小关系为 ⁠. 上　 (－1，1)　 减小　 33　 y3＞y2＝y1　 二次函数解析式的确定(6年5考；3年4考) 针对训练 5. 已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二 次函数的表达式. 解：将点(2，3)和(－1，－3)分别代入表达式y＝ax2＋c中， 得 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－5. 解：将点(2，3)和(－1，－3)分别代入表达式y＝ax2＋c中， 得 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－5. 6. 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2， 13)，求这个二次函数的表达式. 解：∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， ∴设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋1， ∵经过点(2，5)和(－2，13)， ∴ 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－2x＋1. 解：∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， ∴设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋1， ∵经过点(2，5)和(－2，13)， ∴ 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－2x＋1. 7. 已知二次函数的图象经过点(0， 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二 次函数的表达式. 解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)， ∴可以设函数表达式为 y＝a(x－8)2＋9. 又∵它的图象经过点(0 ，1)， ∴可得 1＝a(0－8)2＋9.解得 a＝－ . ∴这个二次函数的表达式是y＝－ (x－8)2＋9. 解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)， ∴可以设函数表达式为 y＝a(x－8)2＋9. 又∵它的图象经过点(0 ，1)， ∴可得 1＝a(0－8)2＋9.解得 a＝－ . ∴这个二次函数的表达式是y＝－ (x－8)2＋9. 二次函数图象的平移 针对训练 8. (人教九上习题改编)已知抛物线y＝x2. (1)将抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ⁠ ⁠； (2)将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ⁠ ⁠； (3)抛物线y＝(x＋1)2－3可由抛物线y＝x2经过何种方式平移得到？ 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度. y＝(x－ 1)2　 y＝x2＋ 3　 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 针对训练 9. (北师九下习题改编)如图，一次函数y＝x＋a和二次函数y＝x2＋bx的 图象交于点A(－3，0)和点B(1，4). (1)方程x2＋bx＝0的解为 ⁠； (2)方程x2＋bx－x－a＝0的解为 ⁠； (3)不等式x2＋bx－x－a＜0的解集是 ⁠. x1＝－3，x2＝0　 x1＝－3，x2＝1　 －3＜x＜1　 20 $