第2章 第7节 一元二次方程及其解法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 课堂精讲册 1 第二章　方程（组）与不等式（ 组） 第7节　一元二次方程及其解法 教材知识全梳理 甘肃考点系统练 知识点 1 　一元二次方程及其解法 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 一般 形式 解法 直接开 平方法 适用于形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程 解 法 配方法 适用于二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二 次方程 解题步骤：(1)变形：将二次项系数化为1； (2)移项：使方程左边只含二次项和一次项，右边是常数 项； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方 程配方成(x＋m)2＝n的形式； (4)求解：利用直接开平方法解方程 解 法 公式法 适用于所有一元二次方程，当b2－4ac≥0时，实数根为x ＝① ⁠ 【温馨提示】 1.公式法求解时一定要先把方程化为一般形式； 2.确定a，b，c的值时注意符号 　 解 法 因式分 解法 适用于：(1)常数项为0，即形如ax2＋bx＝0(a≠0)的一元 二次方程； (2)一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式乘积的一 元二次方程 解题步骤：(1)将方程左边分解因式； (2)令每个因式为0，得到两个一元一次方程； (3)解这两个一元一次方程. 【温馨提示】 方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数 的因式 　 知识点 2 　一元二次方程根的判别式 概念 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示它，即Δ ＝b2－4ac 根的情况与 判别式的 关系 (1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程有两个② ⁠的实数 根； (2)③ ⇔一元二次方程有两个相等的实数 根； (3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程④ ⁠实数根 不相等　 b2－4ac＝0　 无　 　 知识点 3 　一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，则x1＋x2＝ － ，x1x2＝ 一元二次方程及其解法(省卷：6年9考；兰州：3年2考) 针对训练 1. 用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是(　C　) A.(x＋1)2＝3 B.(x＋1)2＝6 C.(x－1)2＝3 D.(x－1)2＝6 C 2. 已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值 为(　B　) A.0 B.－1 C.2 D.－1或2 B 3. (人教九上习题改编)选择合适的方法解下列一元二次方程： (1)(x－2)2＝5； 解：(1)∵(x－2)2＝5， ∴x－2＝± ，∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . (2)x2－4x－3＝0； 解：(2)移项得x2－4x＝3， 配方得x2－4x＋4＝3＋4，即(x－2)2＝7， 开方得x－2＝± ，∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . 解：(1)∵(x－2)2＝5， ∴x－2＝± ，∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . 解：(2)移项得x2－4x＝3， 配方得x2－4x＋4＝3＋4，即(x－2)2＝7， 开方得x－2＝± ，∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . (3)x2＋3x＋1＝0； 解：(3)∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝5＞0， ∴x＝ ＝ ，即x1＝ ，x2＝ . (4)2x(x－3)＋x＝3. 解：(4)方程整理，得2x(x－3)＋(x－3)＝0， 因式分解，得(x－3)(2x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－ . 解：(3)∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝5＞0， ∴x＝ ＝ ，即x1＝ ，x2＝ . 解：(4)方程整理，得2x(x－3)＋(x－3)＝0， 因式分解，得(x－3)(2x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－ . 一元二次方程根的判别式(省卷：6年3考；兰州：3年3考) 4. (2024兰州一诊)一元二次方程x2－5x＋5＝0的根的情况为(　B　) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能判定 B 5. (2024兰州)关于x的一元二次方程9x2－6x＋c＝0有两个相等的实数 根，则c＝(　D　) A.－9 B.4 C.－1 D.1 D 6. (2025省卷)关于x的一元二次方程3x2－6x＋m＝0有两个实数根，则m 的取值范围是(　B　) A.m＜3 B.m≤3 C.m＞3 D.m≥3 B 7. (2025兰州)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实数 根，则a的值可以是(　D　) A.3 B.2 C.1 D.0 D 8. (2023兰州)关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根， 则b2－2(1＋2c)＝(　A　) A.－2 B.2 C.－4 D.4 A 拓展训练 9. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＝3有实数根，则m的取值范 围是(　D　) A.m≥ B.m＜ C.m＞ 且m≠1 D.m≥ 且m≠1 D 使用根的判别式时要注意： 1. 确认方程是否是一般形式； 2. 若所给方程的二次项系数含有字母，注意二次项系数不能为0这一隐含 条件； 3. 方程有实数根包括“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数 根”两种情况. 一元二次方程根与系数的关系 针对训练 10. (北师九上习题改编)已知一元二次方程x2－3x－8＝0的两个实数根为 x1，x2. (1)x1x2＝ ⁠； (2)x1＋x2＝ ⁠； (3) ＋ ＝ ⁠； (4) ＋ ＝ 　－ 　. －8　 3　 25　 － 　 22 $