精品解析：吉林省长春市长春市第二十八中学校等部分学校2025-2026学年九年级下学期数学阶段学情自测试题

九年级综合测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 某种彩票的中奖率是 ，则购买该种彩票100张会中奖 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，逐一判断各选项，选出一定发生的事件即可． 【详解】解：选项A，购买中奖率为 的彩票100张，不一定中奖，属于随机事件，不符合要求， 选项B，若，则或，不一定有，属于随机事件，不符合要求， 选项C，对顶角相等是已证明的定理，一定成立，属于必然事件，符合要求， 选项D，掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上也可能反面向上，属于随机事件，不符合要求． 2. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵图中两条直线被三条平行线所截，且，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 3. 二次函数 的图象如图所示，当 时，函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象求出函数解析式，进而求出，当 时的值，判断即可． 【详解】解：由图象可知，函数图象过点和， ∴， ∴当 时，； 故选B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算． 根据二次根式的性质及运算法则逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解： A：，计算正确； B：与无法直接相减，计算错误； C：，计算错误； D：两边平方后，左边为，右边为，显然，计算错误； 故选：A． 5. 某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若 米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在 中， 米，，利用三角函数即可求出的高度． 【详解】解：∵， 米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题的方程建立．题目中销售量从月到月共增长两个月，需要理解月平均增长率的含义，即月平均增长率连续作用两次，解题的关键是理解两个月的累计增长应表示为，而非简单相加． 【详解】设月平均增长率为， 则月份销售量：， 月份销售量：， 根据题意，月份的销售量为辆， 可列方程为：， 故选：． 7. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选A． 8. 如图，点，，均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，由等腰三角形得，所以，再根据圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选： ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 为了解洋县居民垃圾分类能力的情况，应采用的调查方式是____________（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查了抽查和普查，根据普查的定义：在一个调查中对全体对象都进行了调查，像这样考察全体对象的调查叫做普查；抽样调查是调查的一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况．普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果和普查得到的调查结果比较近似．据此判断即可． 【详解】解：调查洋县居民的垃圾分类能力的情况应采用抽样调查的方式． 故答案为：抽样调查． 10. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的表达式为____________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据二次函数图象与几何变换，结合平移规则“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线表达式为， 将抛物线向右平移2个单位长度，得到：， 再将所得抛物线向上平移3个单位长度，得到：. 整理得，化为一般式可得． 11. 在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出 的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴ ， ∵，且是锐角， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 12. 如图，与 位似，位似中心是点．若，的面积为2，则 的面积为________________ 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与 位似，位似中心是点．得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， ∵与 位似，位似中心是点． ∴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴ 的面积为， 故答案为：32． 13. 如图，在扇形中，已知，，过的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，再根据证明，根据全等三角形的性质得到 ，从而得到矩形是正方形，再求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴ ， 在 与中， ， ∴， ∴ ， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，是边上一点，延长到点，使 ，过点作，分别交，，于点，，，连接、，过点作交于点，以下结论：①；②；③若是的中点，，则；④，其中正确的是__________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，据此可判断①；证明，得到，则，当时，可证明，得到，则只有当是的中点时，据此可判断②；求出，证明，可得，据此可判断③；证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：设交于点O，如下图， 在正方形中，，，， ，， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和 中， ， ， ， ， 假设， ，， ， ， ， ， ， 只有当是的中点时，故②错误； 若是的中点，， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ，故③正确； ， ， 又∵， ， ， ，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 【点睛】本题以正方形为载体，核心依托全等三角形与相似三角形的判定与性质，通过AAS证全等得线段相等，利用相似推比例计算线段长度，结合特殊点（E为中点）的勾股定理运算，将几何线段关系转化为代数比例求解，充分体现了数形结合与转化思想． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】 , 【解析】 【分析】先确定方程的各项系数，计算判别式判断根的情况，再代入公式计算即可得到方程的解． 【详解】解：∵ ∴ ，， ，，  ∴，  ． 16. 如图，，且，试说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明得到，从而可证明 ，即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵． 17. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． （1）四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形及列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图， （1）根据中心对称图形的概念求解； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人购买到同一幅作品的概率． 【小问1详解】 解：在四幅山西刺绣作品中是中心对称的图形有②③④共3个． 故答案为：3； 【小问2详解】 解：将依次编号为， 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种可能性，其中两人购买到同一幅作品的可能性有3种， 故两人购买到同一幅作品的概率为． 18. 已知是的直径，点是延长线上一点， 是的弦， ． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为点，的半径为8，求的长． 【答案】（1） 、证明：如图所示，连接， ∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理得， ，再根据等边对等角得 ，最后根据三角形内角和定理求出 的度数即可证明结论； （2）先根据垂径定理得 ，再根据直角三角形的性质得 ，然后根据勾股定理得，最后根据 得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径，，垂足为M，的半径是8， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 根据勾股定理得， ∴． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； （2）在图②中，线段上找一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：作图如图，点即为所求的点， ，， ，且相似比为 ． 【小问2详解】 解：作图如图，点即为所求作的点， 取，与交于， 此时． 20. 某校要求学生积极参与“增强免疫力，丰富学习生活”为主题的体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的完成目标，学校随机抽取了30名学生一周累计锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集，整理和分析，过程如下： 【数据收集】 7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6 4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10 【数据整理】 将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示锻炼时间）； 【数据分析】 （1）样本容量为___________； （2）补全条形统计图； （3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有900名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？ 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）510 【解析】 【分析】（1）由题中随机抽取了30名学生一周累计锻炼时间（单位：）的数据作为一个样本可知样本容量； （2）先计算出 组人数，即可补全频数分布直方图； （3）由样本中每周不少于的学生数占比估计该校900名学生情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，样本容量为30． 【小问2详解】 解： 组人数为人， 补全频数分布直方图，如图所示： ． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计有510名学生能完成目标． 21. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为 ，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为 时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把 放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点停止．在点运动的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，当点回到点停止时，点也随之停止运动．以为边作矩形 ，使点与点在所在直线的两侧，且．设点的运动时间为秒． （1）当点运动到点时，____________； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当点在边上，且点落在上时，求的值； （4）当点在矩形内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时，， 当时，． （3）1 （4） 或 ． 【解析】 【分析】（1）直接利用路程除以速度得到时间计算即可； （2）先确定t的取值范围，当点P与点B重合时，解得；当点P返回到点A时，，则当 时，；当时，； （3）点Q在边上，且点M落在上，可证明，则，于是得，所以； （4）分三种情况讨论，一是时，当点M在矩形内部时， ；二是时，点M不在矩形内部；三是时，点M在上，则，解得；点P与点A重合，则，，作于点G，可证明，得 ，则，可知点M恰好落在边上，于是可知当点M在矩形内部时， ． 【小问1详解】 解：∵，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动， ∴当点运动到点时，； 【小问2详解】 解：∵点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动， ∴当点P与点B重合时，则 ，解得； 当点P返回到点A时，则，解得， 当 时，， 当时，． 【小问3详解】 解：点Q在边上，且点M落在上，如图1， ∵四边形和四边形 都是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得． 【小问4详解】 解：当时，如图1，由①得，当点M在矩形内部时， ， 当时，如图2， 此时点M不在矩形内部， 当时，如图3，当点M在上， 则，解得； 如图4，点P与点A重合，则，， 作于点G，则， ∴， ∴， ∴  ， ∴， ∴点M恰好落在边上， ∴当点M在矩形内部时， ， 综上所述，当点M在矩形内部时， 或 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线 经过、两点且与轴交于另一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上一点，当时，求点的坐标； （3）若点是直线上方的抛物线上一点，连结、，求面积的最大值及此时点的坐标； （4）若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连结 、 ，以 、 为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）有最大值为， （4）或 【解析】 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可； （2）根据平行可知点的纵坐标为，再代入抛物线解方程即可； （3）过点P作 轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可． （4）当点H、M重合时，则，确定，①当点M在点H的下方时和②当点M在点H的上方时，两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：当时， ， 当时，， ∴，， ∵B、C在 上， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 ，， 点的纵坐标为， 令，即，整理得， 解得 或 ， ； 【小问3详解】 解：过点P作 轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． 【小问4详解】 解：当点H、M重合时，则， ∴， ①当点M在点H的下方时，即， 由题意得：， 当点H、N达到对称轴两侧对称的位置时，则， 则当时，矩形内没有函数y的图象， 当时，矩形区域内的函数y随x的增大而减小， 即． ②当点M在点H的上方时，即或， 当时，，即， 则此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当，则此时点H在对称轴右侧，矩形内没有函数y的图象， 则， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 某种彩票的中奖率是 ，则购买该种彩票100张会中奖 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 2. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 二次函数 的图象如图所示，当时，函数值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若 米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，点，，均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 为了解洋县居民垃圾分类能力的情况，应采用的调查方式是____________（填“普查”或“抽样调查”） 10. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的表达式为____________． 11. 在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 12. 如图，与 位似，位似中心是点．若，的面积为2，则 的面积为________________ 13. 如图，在扇形中，已知，，过的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，在正方形中，是边上一点，延长到点，使 ，过点作，分别交 ，，于点，，，连接、，过点作交于点，以下结论：①；②；③若是的中点，，则；④，其中正确的是__________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 如图，，且，试说明． 17. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． （1）四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 18. 已知是的直径，点是延长线上一点， 是的弦， ． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为点，的半径为8，求的长． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； （2）在图②中，线段上找一点，使． 20. 某校要求学生积极参与“增强免疫力，丰富学习生活”为主题的体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的完成目标，学校随机抽取了30名学生一周累计锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集，整理和分析，过程如下： 【数据收集】 7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6 4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10 【数据整理】 将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示锻炼时间）； 【数据分析】 （1）样本容量为___________； （2）补全条形统计图； （3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有900名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？ 21. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂 组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为， 与的夹角为．经测量：为，为 ， 为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为 时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 22. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、 、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把 放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、 、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点停止．在点运动的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，当点回到点停止时，点也随之停止运动．以为边作矩形 ，使点与点在所在直线的两侧，且．设点的运动时间为秒． （1）当点运动到点时，____________； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当点在边上，且点落在上时，求的值； （4）当点在矩形内部时，直接写出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线 经过、两点且与轴交于另一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上一点，当时，求点的坐标； （3）若点是直线上方的抛物线上一点，连结 、，求面积的最大值及此时点的坐标； （4）若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连结 、 ，以 、 为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $