2026年江苏南京市鼓楼区开明中学和建宁中学中考数学模拟练习卷

江苏省南京市鼓楼区两校 2026 年中考数学一模试卷 一、单选题 (每小题 2 分, 共 12 分) 1. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. 且 D. 且 2. 如图，在矩形纸片 中， ，点 为 边上一点，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上点 处，则 长为( ) A. B. C. D. 3. 下列整数中，与 最接近的是( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A. B. C. D. 5. 给出下列实数: 其中无理数有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 6. 如图,分别经过原点 和点 的动直线 ,其夹角 ,点 是 中点,连接 ,则 的最小值是( ) A. 4 B. C. D. 二、填空题(每小题 2 分，共 20 分) 7. 设 是方程 的两个根,且 ,则 的值为_____. 8. 分解因式 9. 在一个样本中, 将 100 个数据分成 4 组, 其中第一组的频数是 20 , 第三组与第四组的频率之和是 0.57 ，那么第二组的频数是_____. 10. 在平行四边形 ABCD 中,如果 ,则 _____. 11. 如图，将 绕点 旋转至 的位置，点 在边 上， 与 交于点 . 若 ，则 _____。 12. 如图,反比例函数 , 和 均为等腰直角三角形, 点 在反比例函数图象上，若 ，则 _____. 13. 已知圆锥的母线长 ，侧面积 ，则这个圆锥的高是_____ . 14. 如图，在 中，以 为直径的半圆分别与 ， 交于点 ， . 若 ，则 的长为_____. 15. 如图,四边形 是正方形,以 为边在正方形内部作等边 ,连接 ，则 _____。 16. 如图，在菱形 中， ， 分别是边 ， 上的点，连接 ， . 若 ， ，则四边形 的面积是_____. 三、解答题(本题共 11 小题，共 88 分) 17. 求不等式组 的整数解 18. 解答题: (1)计算: . (2)先化简，再求值 ，其中 . 19. 如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，且 。求证:四边形 是平行四边形. 20. 如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， 于点 于点 ,且 . (1)求证:四边形 是平行四边形； (2)若 ，当 等于多少度时，四边形 是矩形？ 21. 为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”. 比赛项目为: . 唐诗； . 宋词； . 论语； . 三字经. 比赛形式分“单人组”和“双人组”. (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件(填“随机”或“不可能”或“必然”)？ (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少? 请用画树状图或列表的方法进行说明. 22. 如图, 是 的外接圆， 是 的切线，且 ，连接 交 于点 . (1)求证: ； (2)连接 ，若 为直径， ， ，求 的半径. 23. 甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为 ,甲、乙两人距出发点的路程 关于 的函数图象如图 1 所示，甲、乙两人之间的路程差 关于 的函数图象如图 2 所示，请你解决以下问题: 图1 图2 (1)甲的速度是_____ ，乙的速度是_____ ； (2)分别求出 、 与 的函数关系式； (3)对比图 1，图 2 可知: _____， _____， _____； (4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距10km？(直接写出 的值) 24. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度. 某校 “综合与实践”活动小组的同学要测星 两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案: 无人机在 两楼之间上方的点 处,点 距地面 的高度为 ,此时观测到楼 底部点 处的俯角为 ,楼 上点 处的俯角为 ,沿水平方向由点 飞行 到达点 ,测得点 处俯角为 ,其中点 均在同一竖直平面内. 请根据以上数据求楼 与 之间的距离 的长 (结果精确到 . 参考数据: ). 25. 一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球若干个. 数学兴趣小组做摸球实验, 将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回 盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据: 摸球的次数 100 400 800 1000 2000 3000 摸到白球的次数 58 252 484 595 1797 摸到白球的频率 0.580 0.630 0.605 0.595 0.600 (1) _____， _____； (2)估计摸出一个球恰好是白球的概率约为_____(结果精确到0.1) 26. 已知二次函数 ( ， 为常数)的图象经过点 ，对称轴为直线 . (1)求二次函数的表达式； (2)若点 向上平移 2 个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在 的图象上，求 的值； (3)当 时,二次函数 的最大值与最小值的差为 ,求 的取值范围. 27.【知识技能】 (1)如图1，在 中， 是 的中位线. 连接 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，得到 . 当点 的对应点 与点 重合时,求证: . 【数学理解】 (2)如图 2，在 中 是 的中位线. 连接 ，将 绕点 按逆时针方向旋转,得到 ,连接 ,作 的中线 . 求证: . 【拓展探索】 (3)如图3，在 中， ，点 在 上， . 过点 作 ,垂足为 . 在四边形 内是否存在点 ,使得 ? 若存在,请给出证明; 若不存在,请说明理由. 图1 图2 图3 1. D 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式 且 ,从而求解. 【详解】解: 根据题意得: 且 ,即 解得: 且 , 故选 D. 【点睛】本题考查了根的判别式: 一元二次方程 的根与 有如下关系: 当 时,方程有两个不相等的两个实数根; 当 时,方程有两个相等的两个实数根; 当 时,方程无实数根. 2. B 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠, 勾股定理; 根据矩形的性质与折叠得到 ，设 ，再利用勾股定理 ，解出 的值即可求出. 【详解】解: 矩形纸片 中, ,将 沿 翻折, 在 中, 设 , 在 Rt 中, 解得: 故选: B. 3. C 【分析】利用夹逼法先求得 在 3 和 4 之间,然后比较 与 13 的大小后即可求得答案. 本题考查无理数的估算, 熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键. 【详解】解: , , , , 与 最接近的是 4, 故选: C 4. D 【分析】本题考查了因式分解, 解题的关键是理解因式分解的定义. 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解, 也叫作分解因式. 据此作答即可. 【详解】解: A. 等式右边不是乘积形式, 故选项错误, 不合题意; B. 等式右边不是乘积形式, 故选项错误, 不合题意; C. 等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D. 符合定义, 故选项正确, 符合题意. 故选: D. 5. A 【分析】此题主要考查了无理数的定义, 求一个数的立方根, 无理数就是无限不循环小数. 理解无理数的概念, 一定要同时理解有理数的概念, 有理数是整数与分数的统称. 即有限小数和无限循环小数是有理数, 而无限不循环小数是无理数. 本题根据无理数的定义求解即可. 【详解】解: , 无理数有: ,共 2 个. 故选: A. 6. C 【分析】作 的外接圆 ,连接 ,取 的中点 ,连接 ,证明 是等边三角形,求出 ，得到点 在以 为圆心，4 为半径的圆上运动，画出 ,当 在 与 的交点时,连接 交 于 ,此时 有最小值,根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】解: 作 的外接圆 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， , 是等边三角形, , , , , 点 在以 为圆心,4 为半径的圆上运动,画出 , 当 在 与 的交点时,连接 交 于 ,此时 有最小值, 是等边三角形, , , , . 的最小值是 , 故选: C. 【点睛】本题考查坐标与图形, 点到圆上的距离, 等边三角形的判定与性质, 勾股定理, 直角三角形的性质, 正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键. 7. 2 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系, 利用根与系数的关系求解即可, 解题的关键是熟记:一元二次方程 的两个根为 ,则 . 【详解】解: 是关于 的一元二次方程 的两个实数根, , , 则 , 故答案为: 2 . 8. 【分析】此题考查了因式分解, 熟练掌握公式法是关键. 先提取公因式再用完全平方公式和平方差公式分解即可. 【详解】解: 故答案为: 9. 23 【分析】本题考查频率的意义 (频数与数据总数的比值或者百分比称为这类数据频数的频率), 根据频率的意义知各个小组的频率之和是 1 , 可得第二组的频率是 1-0.2-0.57 , 再列式计算即可. 关键是根据各个小组的频率之和是 1 和己知条件列出算式. 【详解】解: 各个小组的频率之和是 1,第一组的频率是: ,第三组与第四组的频率之和是 0.57 , 第二组的频率是: , 第二组的频数为: . 故答案为: 23 . 10. 【分析】根据平行四边形的性质可得 ,再根据四边形内角和定理求解即可. 【详解】: 四边形 ABCD 是平行四边形 故答案为: . 【点睛】本题考查了平行四边形的角度问题, 掌握平行四边形的性质、四边形内角和定理是解题的关键. 11. 50 【分析】首先由旋转性质得 ,从而 , ; 由 可知 为等腰三角形,结合已知 求出 ； 再利用 与 的等量关系，推出 ，进而得到 的度数. 【详解】解: 绕点 旋转至 的位置, , , ， 是等腰三角形， ， , 又 , , 即 . 12. -20 【分析】根据题意列式表示出 点的坐标,然后在根据 的几何意义即可求出答案. 【详解】解: 设 , 和 均为等腰直角三角形, , , : 点 在反比例函数图象上, ,即 , 又 ,即 , , 故答案为: -20 . 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题, 掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解决此题的关键. 13. 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式, 熟知上述公式是解题的关键. 利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径, 再利用勾股定理即可得到高. 【详解】解: 根据圆锥侧面积公式 变形可得 , 根据圆锥母线公式 ,可得 , 故答案为: . 14. 【分析】本题考查了弧长公式, 等腰三角形的性质, 三角形的内角和定理, 掌握知识点的应用是解题的关键. 找出半圆圆心 ,连接 ,根据三角形的内角和定理得 ,又 , ,则 ,求出 ,则 , 最后通过弧长公式即可求解. 【详解】解: 如图,找出半圆圆心 ,连接 , , , ， ， ， ， , , 的长为: , 故答案为: . 15. 【分析】根据正方形的性质,等边三角形的性质,推出 是等腰三角形,从而求出 的度数,进而求出 的度数即可. 【详解】解: 四边形 是正方形, 是等边三角形, ， , , ; 故答案为: . 【点睛】本题考查正方形的性质, 等边三角形的性质, 等腰三角形的判定和性质. 熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质, 利用等边对等角求角的度数, 是解题的关键. 16. 【分析】如图,过点 分别作 于点 ,作 于点 ,连接 ,证明 得 ，证明 得 ，证明 得 ,继而得到 ,然后根据锐角三角函数的定义得 ,求出 , ,可得结论. 【详解】解: 如图,过点 分别作 于点 ,作 于点 ,连接 , , 四边形 是菱形, , 在 和 中， , ， 在菱形 中, , , 在 Rt 中, , 在 Rt 中, , , , ,即 , 在 和 中, , , 在 和 中, , 在菱形 中， ， ， ， , , , , , 四边形 的面积是 . 故答案为: . 【点睛】本题考查菱形的性质, 全等三角形的判定和性质, 锐角三角函数, 等积变换等知识点, 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 17. ; 不等式组的整数解为:-1,0,1 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解, 正确求得不等式组的解集成为解题的关键. 先求出不等式组的解集, 然后再确定整数解即可. 【详解】解: , 解不等式①，得: ， 解不等式②，得: . 原不等式组的解集为: . 原不等式组的整数解为:-1,0,1. 18. ; (2) 【分析】(1) 根据特殊角的三角函数值, 零指数幂, 二次根式的混合运算计算即可; (2)先根据分式的加减乘除混合运算进行化简,再将 代入进行计算即可. 【详解】( 1 )解: (2)解: 当 时, 原式 . 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值, 分式的加减乘除混合运算, 二次根式的混合运算, 零指数幂, 正确计算是解题的关键. 19. 证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质, 全等三角形的判定和性质, 由平行四边形的性质得 ， ， ，即可证 (AAS)，即得 ， ，进而得 ，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键. 【详解】证明: : 四边形 是平行四边形, ， ， ， , (AAS), , , 即 , 四边形 是平行四边形. 20. ( 1 )见解析 (2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析 【分析】(1) 由 得出 ，再证明 (AAS) 得出 ，即可得证； (2)证明 是等边三角形，得出 ，结合平行四边形的性质得出 ，即可得证. 【详解】(1)证明: , ， ， 于点 于点 ， ， ， , ， 四边形 是平行四边形; (2)解:当 时，四边形 是矩形，理由如下: ， ， ， 是等边三角形， , 四边形 是平行四边形, , , 四边形 是矩形. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定, 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 21. (1) ,随机 (2)恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为 【分析】本题考查树状图法求概率. (1)直接利用概率公式, 求解即可; (2)画出树状图，再利用概率公式求解即可. 掌握树状图法求概率, 是解题的关键. 【详解】(1)解: 小丽随机抽取一个比赛项目, 共有 4 种等可能的结果, 其中恰好抽中“三字经”的情况只有 1 种, ,是随机事件; 故答案为: ,随机; (2)画出树状图如图: 由图可知, 共 12 种等可能的结果, 其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有 1 种, . 22. (1)证明见解析 (2) 5 【分析】本题考查了平行线的判定, 等腰三角形的性质, 切线的性质, 勾股定理等知识, 掌握相关知识是解题的关键. (1)连接 并延长交 于点 ，连接 ，切线的性质得到， ，再得到 是 的垂直平分线,再得出 ,即可得出结论; (2)连接 ，得到 是 的中位线，求出 ，设 ，在 和 中,由勾股定理得 ,即 , 即 ,从而得到 ,求解即可. 【详解】(1) 证明: 连接 并延长交 于点 ,连接 ,如图: 是 的切线, , , 在 的垂直平分线上, , 在 的垂直平分线上, 是 的垂直平分线， , , ； (2)解:连接 ，如图: 由( 1 )可得 ， ， 是 的中位线， , 设 ，在 和 Rt 中，由勾股定理得: ,即 , ,即 , , 整理得: , 解得: (舍去), 的半径为 5 . 23. (1)30,12 (2) (3) (4) 或 或 或 【分析】本题考查了实际问题的函数图象, 一次函数的应用, 一元一次方程的应用, 能够从函数中读取信息是解题的关键. (1)根据图象中的信息求解即可; (2)利用待定系数法求解即可; (3)首先求出当 时， 和 ，然后作差即可求出 ；根据题意得到 时， ，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当 时， 和 ，然后作差即可求出 ; (4)根据题意分 4 种情况讨论，分别列出方程求解即可. 【详解】(1)甲的速度是 ,乙的速度是 ; (2)设 将 代入得, 解得 ; 设 将 代入得， 解得 ; (3)当 时， ; 根据图 2 可得, 时, ,即此时甲乙两人相遇 联立得, 解得 ; 当 时, ; (4)根据题意得， 当甲还没出发时, 解得 ; 当甲出发后,追上乙前, 解得 当甲追上后,还没到终点前, 解得 当甲到达终点后,乙还没到终点前, 解得 综上所述，乙出发 或 或 或 小时，甲、乙两人相距 . 24. 【分析】延长 和 分别与直线 交于点 和点 ,则 ,再根据图形应用三角函数即可求解. 【详解】解: 延长 和 分别与直线 交于点 和点 ,则 . 又 , 四边形 是矩形. . 由题意,得 . 在 Rt 中, , . 是 的外角, . . . 在 中, . . 答: 楼 与 之间的距离 的长约为 . 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用, 正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键. 25. (1)1200, 0.599 (2)0.6 【分析】(1)根据频率公式计算即可求解; (2)根据频率估计概率即可求解； 本题考查了用频率估计概率, 掌握频率和概率之间的关系是解题的关键. 【详解】(1) 解: 由表可得, , , 故答案为:1200, 0.599 (2)解: 随着实验次数越来越大时，摸到白球的频率稳定在 0.6 附近， 估计摸出一个球恰好是白球的概率约为 0.6, 故答案为: 0.6 . 26. (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法, 二次函数的图象与性质, (1)采用待定系数法即可求解二次函数关系式; (2)先求出平移后点 的坐标，然后把坐标代入解析式即可; (3)分为 时， 时，建立方程解题即可. 【详解】(1) 解: 设二次函数的解析式为 ,把 代入得 解得 , ( 2 )解:点 平移后的点的坐标为 ， 则 ,解得 或 (舍), 的值为 4 ; (3)解:当 时， 最大值与最小值的差为 ,解得: 不符合题意,舍去; 当 时, 最大值与最小值的差为 ,符合题意; 当 时, 最大值与最小值的差为 ,解得 或 ,不符合题意; 综上所述， 的取值范围为 . 27.(1)证明见解析； (2)证明见解析; (3)存在,理由见解析 【分析】(1)用旋转的性质得到 ，推出 ，再结合三角形中位线的平行性质,得到 ,通过等角对等边证明 ； (2)先由旋转的性质得到对应边相等、对应旋转角相等，证明 ，得到对应边的比例关系,再结合三角形中位线定理,证明 是 的中位线,得到 , 代入比例式变形即可得证; (3)要满足 ，可构造以 为直径的 和以 为直径的 ，利用直径所对的圆周角为直角,得到 ,满足角度和为 ,再通过勾股定理、相似三角形的性质计算两圆圆心距, 判定两圆有交点, 同时验证交点在四边形 内部,即可证明存在符合条件的点 . 【详解】( 1 )解: 绕点 按逆时针方向旋转，得到 ，且点 的对应点 与点 重合, ， ， 是 的中位线， , , , ； (2)解:连接 ， 绕点 按逆时针方向旋转,得到 , , , , 是 的中位线， 是 的中线， ， ， 是 的中位线， , , ； (3)解:存在,理由如下: 取 的中点 的中点 ,分别以 为圆心, 为半径作 和 , 点 为两圆的交点, 是 的直径, 是 的直径, , , , ， 在 中, , ,由勾股定理得 , , 的半径 , ， 的半径 , , ， 是 的半径， 是 的切线， 过点 作 于点 , , , ,即 ,解得 , ,即圆心 到 的距离大于 的半径, 在 外, 过点 作 于点 , 在 中, , 设 ,由勾股定理得 ,解得 , , , , 在 Rt 中,由勾股定理得 , 而 , , 与 有交点,结合 均在 外,可知两圆的交点 在四边形 内部, 故四边形 内存在点 ,使得 . 学科网（北京）股份有限公司 $