精品解析：山西现代双语学校南校2026-2027学年第一学期10月学情自测八年级数学试卷

2026——2027学年八年级数学学科阶段性测评 考试时长：90分钟；分值：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 实数的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 6. 兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（ ） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 7. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　） A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为时，输出的数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边的长为_______． 12. 计算：_______． 13. 写出一个比3大且比小的无理数________． 14. 将化成最简二次根式为______． 15. 如图，中，，，点D在边上，点A关于所在直线的对称点为点E，连接，．若于点F，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4） 17. 计算： 解：原式……① ……② ……③ 根据上述解题过程，回答下列问题： （1）第①步的依据是___________． （2）第___________步开始出现错误（填序号）．错误原因是___________． （3）请写出正确的计算答案___________． 18. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少； （2）经过，高空抛物下落的高度是多少？ 19. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 20. （图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________； （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 21. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 22. 读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形． 由定义可知，差直角三角形一定是______三角形． 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形ABC中，，则的度数为______°． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F． 若，则图中是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据： ▲ ） ∴，． ∵， ∴……． 任务： （1）“定义对象”部分“▲”处为 ▲ （填“锐角”“直角”或“钝角”）； “定义运用”部分问题1的“▲”处为 ▲ ； 问题2的“▲”处为 ▲ ； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图3，已知中，，，，点E在BC边上，若是差直角三角形，则的长为______． 23. 嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年八年级数学学科阶段性测评 考试时长：90分钟；分值：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 实数的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，明确算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根“非负的平方根”这一定义，可知实数的算术平方根应为非负形式，进而确定的算术平方根． 【详解】解：算术平方根是非负数，且， 的算术平方根是． 故选：． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、是整数，是有理数，不符合题意； B、是分数，是有理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、是分数，是有理数，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，从而即可得出正方形的面积，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， ∴以为边长的正方形面积为， 故选：． 5. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是 6. 兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（ ） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 7. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　） A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】∵52+122=132， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理计算笔筒内最长线段长度，结合图形铅笔露出笔筒，确定铅笔长度的取值范围，进而判断选项． 【详解】解：设铅笔长度为L， 由题意得，笔筒内能容纳的最长线段长度为，笔筒内能容纳的最短线段长度为， 铅笔露出笔筒， 铅笔长度L大于笔筒内部部分长度， ∵笔筒内部部分长度最小值为， ∴， A选项中的不满足，B、C、D选项均大于． 9. 如图，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，即可求出点A所表示的数． 【详解】解：如图所示， ， 由图可知， 所以点A到原点的距离为， 故点A所表示的数是． 故选：A 【点睛】本题考查勾股定理以及在数轴上表示无理数的方法，掌握解答的方法是关键． 10. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为时，输出的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出． 【详解】解：当输入时，取算术平方根得，是有理数，重新输入； 当输入时，取算术平方根得，是有理数，重新输入； 当输入时，取算术平方根得，是无理数，输出． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”是解题关键； 直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为， ∴另一条直角边为：， 故答案为： ． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，熟练掌握二次根式的化简和加法法则是解题的关键．先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 写出一个比3大且比小的无理数________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数的意义，利用3和的平方作答即可，答案不是唯一的． 【详解】∵，， ∴， ∴比3大且比小的无理数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了无理数、实数大小比较，熟练掌握实数大小比较是解题原则． 14. 将化成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，中，，，点D在边上，点A关于所在直线的对称点为点E，连接，．若于点F，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作，，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，通过等面积法求出；利用轴对称性质及垂直定义证明，得出即可求解． 【详解】解：作于点G，作于点H，如图： ，，， ， ， ， 解得， 点A关于所在直线的对称点为点E， ， 于点F， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 三、解答题：本题共8小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 17. 计算： 解：原式……① ……② ……③ 根据上述解题过程，回答下列问题： （1）第①步的依据是___________． （2）第___________步开始出现错误（填序号）．错误原因是___________． （3）请写出正确的计算答案___________． 【答案】（1）二次根式的除法法则 （2）②，去括号时，符号错误 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出第①步的依据是二次根式的除法法则，即可作答． （2）认真分析计算过程得第②步开始出现错误， 去括号时，符号错误，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，第①步的依据是二次根式的除法法则； 【小问2详解】 解：第②步开始出现错误，错误的原因为：去括号时，符号错误； 【小问3详解】 解： ． 18. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少； （2）经过，高空抛物下落的高度是多少？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把高度 50 和 100 分别代入公式，依次计算，求出对应的落地时间． （2）把时间代入公式，两边平方后解方程，求出对应的下落高度． 【小问1详解】 解：∵ 当 ， ∴ ， ∴ 从 高空抛物到落地所需时间 ， ∵ 当， ∴ ， ∴ 从高空抛物到落地所需时间 ． 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ， 两边平方，得 ， ∴ 高空抛物下落的高度是 ． 19. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离是 （2）云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理求出，再求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； 【小问2详解】 解：由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 20. （图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________； （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 【答案】（1）10， （2）或 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是： （1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【小问1详解】 解：∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为； ∴， ∴， 故答案为：10，； 【小问2详解】 ∵， ∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或． 21. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】 （1）△ABC是直角三角形， 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 22. 读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形． 由定义可知，差直角三角形一定是______三角形． 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形ABC中，，则的度数为______°． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F． 若，则图中是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据： ▲ ） ∴，． ∵， ∴……． 任务： （1）“定义对象”部分“▲”处为 ▲ （填“锐角”“直角”或“钝角”）； “定义运用”部分问题1的“▲”处为 ▲ ； 问题2的“▲”处为 ▲ ； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图3，已知中，，，，点E在BC边上，若是差直角三角形，则的长为______． 【答案】（1）钝角；30；平行四边形的定义 （2）理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的定义） ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 是差直角三角形． （3）5或 【解析】 【分析】（1）根据 ，得，判定是一个钝角，求解即可； 根据得，利用三角形内角和列式解答即可； 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，解答即可； （2）根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等量代换，差直角三角形的定义解答即可； （3）分和两种情况，利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 是一个钝角， 故是一个钝角三角形； ， ， ， ， ， ， 解得； ∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的定义）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，， ， 点E在边上，且， 是一个钝角， 是差直角三角形， 或， 当时，此时， ， ， 过点E作于点F，根据题意，得， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的长为5或3.5． 23. 嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 【答案】（1）1； （2）如图所示，即为所求； 3）如图， 拼接后的正方形的边长为， 拼接后图形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质即可得到答案； （2）利用勾股定理画图，即可得到答案； （3）利用勾股定理画图，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意得， 故答案为：； （2）略； （3）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $