精品解析：天津市海河中学2026届高三下学期统练1数学试卷

河西海河中学26春高三开学考试卷 高三第二学期统练1 一、单选题 1. 已知全集，，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图即可得解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：C. 2. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单独递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立. 故选：A 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】对于A中的函数，当时，，与图象不符，故排除； 对于B中的函数的定义域为，故排除； 对于D中的函数为偶函数，故排除． 对于C中的函数，定义域为，且满足，其图象关于原点对称， 当时，，当时，，与图象一致. 故选：C 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则 B. 数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】把样本点的中心坐标代入线性回归方程，求出判断A；由中位数的计算公式即可判断B；由方差的性质即可判断C；由相关系数的意义即可判断D． 【详解】对于A,把代入，可得，解得，故A错误； 对于B，数据3，4，2，8，1，5，8，6，即1，2，3，4，5，6，8，8的中位数为，故B错误； 对于C，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故C错误； 对于D，若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，，因为，则甲组数据的线性相关性更强，故D正确． 故选：D． 5. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，， 【详解】因为函数是偶函数，则， 又函数为偶函数，则， 即，所以函数是周期为2的函数， 则，， 且当时，是减函数， 由可得，即. 故选：C 6. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D. 在上的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】由题意先求，再逐项验证即可. 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 7. 设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（ ） A. 139 B. 153 C. 144 D. 178 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得，进而可得前n项和，所求可化简为，代入公式，即可得答案. 【详解】∵an＝2n－7，∴， ∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2. ∴前n项和. ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝. 故选：B 8. 如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由外接球球心的定义即可确定其位置，然后由勾股定理可得外接球的半径，再由球的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为是等腰直角三角形，，， 则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆半径为， 由正弦定理可得，解得， 设外接圆圆心为，外接圆的圆心为， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 故选：C 9. 已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解． 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 二、填空题 10. 已知复数，则z的共轭复数_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 11. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解。 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 所以圆心到直线的距离为， 解得直线的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 故答案为：或． 13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 14. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为_________；点是线段上一点，且，若，则的最大值为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值． 【详解】由，可得， 则 ； 由，可得， 则， 由，可得， 即， 整理得， 故， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 故答案为：；． 15. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】,,． 【解析】 【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围． 【详解】方程，即， 结合，得，原方程可化为， ①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意； ②，记， 的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以的最小值为， 结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； ③，则， 在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为， 的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值， 当时，即时，函数的最小值， 观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； 当时，函数的最小值， 方程即的根的判别式△， 且方程即的根的判别式△， 结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意． 综上所述，或，即实数的取值范围是,,． 故答案为：,,． 【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）因此存在直线满足条件． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解，即可结合的关系求解， （2）联立方程可得坐标，即可根据根据，即可求解. 【小问1详解】 依题意，，解得， 又因为，所以． 【小问2详解】 设直线的方程为，椭圆的方程为， 设点，联立方程组，整理得， 解得，①， 直线AF方程为， 设点， ，联立方程组，解得，②， 又因为， 设，则有， 即，所以，所以． 所以，则有， 代入①②有，解得， 由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 【解析】 【分析】（1）由可求出数列的通项公式，设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式； （2）（i）利用裂项求和法求出，可将所求不等式变形为，然后对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求出的取值范围； （ii）求得，利用错误相减法可证得结论成立. 【小问1详解】 对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. 【小问2详解】 （i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然为递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）略 20. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） （3） 由，，， 因为等价于. 一方面，要证明， 由（2）可知当时，有，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号，又，所以， 因为，所以， 因此当时，. 所以，当时，时成立，即成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）设，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最大值，即可求出参数的取值范围； （3）问题等价于证明，结合（2）可知，从而得到，再递推即可得证. 【小问1详解】 当时，函数，函数定义域为， 且， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由已知有恒成立，设，即， 又函数定义域为，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即，解得， 即的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西海河中学26春高三开学考试卷 高三第二学期统练1 一、单选题 1. 已知全集，，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则 B. 数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强 5. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D. 在上的最小值为 7. 设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（ ） A. 139 B. 153 C. 144 D. 178 8. 如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知复数，则z的共轭复数_________. 11. 若，，则______． 12. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 14. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为_________；点是线段上一点，且，若，则的最大值为_________. 15. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 三、解答题 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 19. 已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 20. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $