2026年中考数学一轮复习学案 6 分式方程

2026年中考数学一轮复习学案 6. 分式方程 ■考点一　解分式方程► 1．分式方程的概念：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为 整式 方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找 最简公分母 ，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④ 验根 ． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的 增根 。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使 最简公分母为零 的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。 ■考点二　分式方程的应用► 1. 列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。 2. 分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。 ■易错提示► 1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。 2. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解。 一、单选题 1．有下列方程：①；②；③；④．其中，属于分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．分式方程 的解是（　　） A． B． C． D． 3．解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B． C． D． 4．已知关于 的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 且 5．若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 7．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8． 如果关于x 的分式方程 无解，那么实数m的值是(　　) A．1 B．-1 C．1或-1 D．除±1以外的任意数 9．甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．13 B．15 C．18 D．20 二、填空题 11．x＝　 　时，两分式与的值相等． 12．分式方程的解是　 　． 13．若关于x的方程的解是x＝1，则a的值为 　 　． 14．若方程有增根，则的值是　 　． 15．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有　 　个． 三、计算题 16．（1）解分式方程：． （2）解分式方程：． 四、解答题 17．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程。 18．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 19．已知关于x的分式方程． （1）当时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 20．为了相应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的 ． （1）求m的值； （2）若这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个， a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程，所以属于分式方程的是②③。 故答案为：B. 【分析】根据整式方程和分式方程的定义分别进行识别即可得出答案。 2．【答案】A 【解析】【解答】解： ， 去分母，得2x=x+1， 移项，得2x-x=1， 则x=1. 经检验，x=1是原分式方程的解. 故选A. 【分析】解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：分式方程的最简公分母是， 方程两边都乘同一个整式去分母是， 故答案为：C． 【分析】根据解分式方程的去分母，找出最简公分母，结合题意即可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：去分母得， m-3=x-1， 解得x=m-2， 由题意得，m-2≥0， 解得，m≥2， x=1是分式方程的增根，所有当x=1时，方程无解，即m≠3， 所以m的取值范围是m≥2且m≠3． 故答案为：C． 【分析】先求出x=m-2，再求出m≥2，最后求解即可。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3， ∴x=a+1. ∵方程的解为负数， ∴a+1<0且a+1≠-2， 解得a<-1且a≠-3. 故答案为：D. 【分析】给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，则x=a+1，由方程的解为负数可得a+1<0且a+1≠-2，求解即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解： ， 方程两边同时乘以（x-2）约去分母， 得m+x-2=-x， 解得x=1-m， ∵原方程的解是非负数， ∴1-m≥0且1-m≠2， 解得m≤2且m≠-2. 故答案为：C. 【分析】将m作为常数，方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而根据原方程的解是非负数列出不等式组1-m≥0且1-m≠2，再求解即可. 7．【答案】B 8．【答案】C 【解析】【解答】解：方程去分母，得mx-x=2(1-x)， 整理，得(m+1)x=2. ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则m+1=0，解得 m=-1； ②分式方程有增根，则x-1=0，解得x=1. 把x=1代入(m+1)x=2，得m+1=2，解得m=1. 综上所述，m=1或m=-1. 故答案为：C . 【分析】分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解，需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵设乙每小时加工x个零件， ∴甲每小时加工的零件数为x+20个． ∴甲加工200个零件的时间为，乙加工160个零件的时间为． ∵甲，乙所用时间相等， ∴可列方程． 故答案为：D. 【分析】先根据题意设乙的工作效率为x，推导甲的工作效率为x+20；再利用“时间=总量÷效率”，分别表示甲的工作时间，乙的工作时间；最后根据“时间相等”的条件，联立两个时间表达式得到方程． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：分式方程化简得：3x-a-（x+1）=x-3， 整理，解得：x=a-2， ∵分式方程的解为正数，x≠3，即a-2＞0，且a-2≠3 ∴a＞2且a≠5①； ∵的解集为y≥5， ∴原不等式组有解， 整理，解得：y≥5且y＞， ∴＜5， ∴a＜7②； 由①和②式得：2＜a＜7，且a≠5 ∴符合条件的整数a为3，4，6， ∴整数a的值之和=3+4+6=13. 故答案为：A. 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数，x≠3，求出a＞2且a≠5①；再解不等式组，根据不等式组的解集为y≥5，解得a＜7②，由①和②式得2＜a＜7，且a≠5，得符合题意的整数a为3，4，6，进而求出整数a的值之和即可. 11．【答案】-8 【解析】【解答】解：根据题意可得：， 去分母得：4(x-1)=3(x-4)， 解之：x=8 经检验：x=-8是原方程的解. 故答案为：-8. 【分析】根据题意列出方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故答案为：. 【分析】将方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验解答即可． 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】3 16．【答案】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得2x-x=3+2， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得3x+12x=8+12-3， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为．​​​​ 【解析】【分析】（1）（2）都是分式方程，因此按照解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值后，代入进行检验即可。 17．【答案】×，×． 解：去分母，得． 去括号，得．解得，． 经检验是原方程的解． 【解析】【分析】分析每一步即可得到正确还是错误，根据去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤即可得到x的值，然后进行检验即可. 18．【答案】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， ∴原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米； （2）解：设该公司原计划应安排名工人施工， （天）， 根据题意，得， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， ∴该公司原计划最多应安排8名工人施工． 【解析】【分析】（1）设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米，然后根据“原计划的时间=实际的时间+15”可列出关于的分式方程，解方程并检验即可求解； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”计算出原计划的工作天数，从而表示出所有工人的工作总额，进而由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，最后找出解集中的最大整数解即可． （1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 19．【答案】（1） （2）且 20．【答案】（1）解：设购进A品牌足球m个，根据题意可得： ， 解得：m=120， 经检验m=120是原方程的解， 所以m的值是120 （2）解：由（1）可得：B品牌足球的个数为150个， 元/个， =40元/个， A品牌足球和B品牌足球的进价分别为50元/个和40元/个， 120a+150× ， 解得：a≥70， 答：a的最小值为70 【解析】【分析】（1）设购进A品牌足球m个，根据购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，列方程求解；（2）根据获得的利润不低于4800元，列不等式求解． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $