第6讲 分式方程及其应用（综合检测） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 分式方程其应用 一、选择题 1．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（2025•鹿城区校级三模）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x 3．（2022•宁波一模）分式方程的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3 4．（2022•丽水一模）在如下解分式方程＝1的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　） x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④ A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 5．（2025•衢州模拟）志愿者组织到敬老院参加老年人关爱活动，其中一部分人从距离敬老院12km的集合点骑自行车出发，剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•萧山区模拟）一艘轮船在静止中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为xkm/h，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 8．（2025•临平区模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆．例如：1☆，则方程（﹣2）☆x＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1 9．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 10．（2021•浙江模拟）已知关于x的方程＝无解，则m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．（2024•浙江）若，则x＝　　 ． 12．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是 　　 ． 13．（2025•建德市校级模拟）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是 　 ． 14．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 　 　 ． 15．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　 　 千克． 甲种糖果 乙种糖果 千克数 20 30 单价（元/千克） 25 15 16．（2025•西湖区模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是 　 ． 三、解答题 17．（2025•浙江）解分式方程：＝0． 18．（2025•温州模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x， 去括号：x﹣1﹣x+4＝2﹣x， 移项：x＝1． 所以原方程的解是x＝1. 小迪： 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1， 去括号：x﹣1+x﹣4＝﹣1， 移项并合并：2x＝4， 解得x＝2． 经检验：x＝2是方程增根，原方程无解． 老师批改时说小丁和小迪的解题过程都有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后重新写出正确的完整解答过程． 19．（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 20．（2025•杭州模拟）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． （1）求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； （2）两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 21．（2025•杭州模拟）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断． 王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．” 李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!” 根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 分式方程其应用 一、选择题 1．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【思路点拨】根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解析】解：根据题意得：＝1， 去分母得：x﹣2＝3， 解得：x＝5， 检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0， ∴分式方程的解为x＝5． 故选：A． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 2．（2025•鹿城区校级三模）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x 【思路点拨】方程两边同乘最简公分母（x﹣2）即可． 【解析】解：原方程去分母得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x， 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 3．（2022•宁波一模）分式方程的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3 【思路点拨】方程两边都乘x﹣1得出1＝﹣x+2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】解：， 方程两边都乘x﹣1，得1＝﹣x+2（x﹣1）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣1≠0， 所以x＝3是原方程的解， 即原分式方程的解是x＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 4．（2022•丽水一模）在如下解分式方程＝1的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　） x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④ A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【思路点拨】观察4个步骤，找出根据等式的基本性质即可． 【解析】解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①（等式的基本性质） x﹣3+x＝x﹣2……②（去括号法则） x+x﹣x＝﹣2+3……③（等式的基本性质） ∴x＝1……④（合并同类项法则）． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 5．（2025•衢州模拟）志愿者组织到敬老院参加老年人关爱活动，其中一部分人从距离敬老院12km的集合点骑自行车出发，剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，则汽车的速度是4xkm/h，根据剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时达到，列出分式方程即可． 【解析】解：设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，则汽车的速度是4xkm/h，45分钟＝小时， 根据题意得：﹣＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2025•萧山区模拟）一艘轮船在静止中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为xkm/h，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可得顺水速度为（30+x）km/h，逆水速度为（30﹣x）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可． 【解析】解：设江水的流速为vkm/h， 根据题意得： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程． 7．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【思路点拨】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可． 【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个． 根据题意可得：＝﹣30， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键． 8．（2025•临平区模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆．例如：1☆，则方程（﹣2）☆x＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1 【思路点拨】根据定义的新运算列得分式方程，解方程并检验即可． 【解析】解：由题意可得＝1， 去分母得：﹣2+x＝1+2x， 解得：x＝﹣3， 经检验，x＝﹣3是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 9．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【思路点拨】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【解析】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴， 方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1）， 解得：m＝﹣3x+5， ∴m＝﹣3×1+5＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 10．（2021•浙江模拟）已知关于x的方程＝无解，则m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解析】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：1+m＝3， 解得：m＝2， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 二、填空题 11．（2024•浙江）若，则x＝　3　 ． 【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【解析】解：两边都乘以（x﹣1），得 2＝x﹣1， 解得x＝3， 经检验x＝3是原方程的解， 所以原方程的解为x＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 12．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是 　4　 ． 【思路点拨】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论． 【解析】解：由题意得：＝2， 去分母得：2＝2（x﹣3）， 去括号得：2x﹣6＝2， 移项，合并同类项得：2x＝8， ∴x＝4． 经检验，x＝4是原方程的根， ∴x＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤． 13．（2025•建德市校级模拟）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是 m＜﹣1且m≠﹣2　 ． 【思路点拨】先根据解分式方程的一般步骤解分式方程，然后根据分式方程的解是负数和分式的分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【解析】解：， 方程两边同时乘x+1得： 2x﹣m＝x+1， 2x﹣x＝1+m， x＝1+m， ∵关于x的分式方程 的解是负数， ∴1+m＜0， 解得m＜﹣1， ∵分式方程中的分母x+1≠0，即x≠﹣1， ∴1+m≠﹣1， 解得：m≠﹣2， 综上可知m的取值范围是：m＜﹣1且m≠﹣2， 故答案为：m＜﹣1且m≠﹣2． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤． 14．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 　﹣　 ． 【思路点拨】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案． 【解析】解：根据题意得：+＝， 化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1）， 解得：x＝﹣， 检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0， ∴原方程的解为：x＝﹣． 故答案为：﹣． 【点睛】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键． 15．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　10　 千克． 甲种糖果 乙种糖果 千克数 20 30 单价（元/千克） 25 15 【思路点拨】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解析】解：设需加入甲种糖x千克， 根据题意得：﹣＝1， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴需加入甲种糖10千克． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16．（2025•西湖区模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是 x＝5　 ． 【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可． 【解析】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1， 去分母得：1＝2﹣x+4， 解得：x＝5， 经检验x＝5是分式方程的解， 故答案为：x＝5 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 三、解答题 17．（2025•浙江）解分式方程：＝0． 【思路点拨】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解析】解：， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0， 去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 18．（2025•温州模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x， 去括号：x﹣1﹣x+4＝2﹣x， 移项：x＝1． 所以原方程的解是x＝1. 小迪： 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1， 去括号：x﹣1+x﹣4＝﹣1， 移项并合并：2x＝4， 解得x＝2． 经检验：x＝2是方程增根，原方程无解． 老师批改时说小丁和小迪的解题过程都有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后重新写出正确的完整解答过程． 【思路点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【解析】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误（划线略）， 正确解法如下： 去分母得：x﹣1+x﹣4＝2﹣x， 移项得：3x＝7， ∴， 检验：当x＝时，x﹣2≠0， 所以原方程的解是x＝． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 19．（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【思路点拨】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解析】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20．（2025•杭州模拟）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． （1）求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； （2）两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 【思路点拨】（1）设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品，根据“乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”建立分式方程求解； （2）设乙组提高效率后每天加工a袋食品，根据题意得到3×（30+60）+（7﹣3）×（a+2a）≥600+90，再解不等式求解． 【解析】解：（1）设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品． 由题意，得． 整理得，20x＝600， 解得x＝30． 经检验x＝30是分式方程的解，且符合题意， ∴2x＝60． 答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品． （2）设乙组提高效率后每天加工a袋食品． 由题意，得3×（30+60）+（7﹣3）×（a+2a）≥600+90， 整理得，12a≥420， 解得a≥35， 答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到关系式是解题的关键． 21．（2025•杭州模拟）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断． 王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．” 李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!” 根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由． 【思路点拨】设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时，列出方程求解比较即可． 【解析】解：李师傅在行驶过程中没有超速． 理由：设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时． 得，解方程，得x＝90． 经检验：x＝90是分式方程的解． ∴平均车速为1.2x＝108（千米/小时）， ∴最快车速为108×（1+10%）＝118.8（千米/时）． ∵120＞118.8， ∴李师傅在行驶过程中没有超速． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $