专题04变量与函数同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题04变量与函数同步讲义 【题型01 用表格表示变量间的关系】................................3 【题型02 用关系式表示变量间的关系】..............................6 【题型03 用图象表示变量间的关系】................................8 【题型04 函数的概念】...........................................10 【题型05 函数的三种表示方法】...................................12 【题型06 函数解析式】...........................................14 【题型07 求自变量的取值范围】...................................15 【题型08 求自变量间的值或函数值】...............................17 【解答题4题】..................................................19 ★知识梳理★ 知识点01:常量与变量 1. 定义 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 常量：在某一变化过程中，取值始终保持不变的量。 2. 实例辨析 圆的面积公式 S=πr2：S（面积）、r（半径）是变量；π（圆周率）是常量。 购买橘子：单价 5 元 / 千克，总价 m=5a（a 为购买重量）：常量是 5，变量是 a、m。 知识点02:函数的核心概念 1. 函数定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么： x 是自变量（主动变化的量）。 y 是因变量（随 x 变化的量），也称 y 是 x 的函数。 2. 函数的本质 函数不是数，而是两个变量之间的一种对应关系，核心是 “一一对应”（自变量的每一个值，对应唯一的函数值）。 3. 函数值 当自变量 x=a 时，函数 y 对应的唯一值 b，叫做当 x=a 时的函数值。 知识点03:函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 实例 解析法 用数学表达式（函数关系式）表示变量关系 简洁、准确，便于计算推导 不够直观 y=2x+1、S=πr2 列表法 用表格列出自变量与函数的对应值 直观，可直接读取数值 只能表示有限个值 气温随时间变化的记录表 图象法 用平面直角坐标系中的图象表示关系 直观反映变化趋势 数值不够精确 一天内温度变化曲线 知识点04:自变量的取值范围 1. 确定原则 使代数式有意义：如分式分母不为 0、二次根式被开方数非负等。 使实际问题有意义：结合问题背景，如时间、长度、数量不能为负数。 2. 实例 函数 y=：自变量 x2（分母不为 0）。 用绳子围矩形，长为 x，面积 y=x(10−x)：0<x<10（边长为正）。 知识点05:判断函数关系的关键 判断两个变量是否为函数关系，核心看：对于自变量的每一个值，是否有唯一的函数值与之对应。 是函数：y=3x、y=x2。 不是函数：y=±（x>0 时，一个 x 对应两个 y）。 【题型1.用表格表示变量间的关系】 【典例】连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，根据表格得到数据的变化规律是解题的关键． 根据表格数据，时间每增加2分钟，水温增加，因此每分钟水温增加． 【详解】由表可知，时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加． 由于水温变化均匀，每分钟水温增加量为． 故答案为同：8． 【跟踪专练1】在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 【跟踪专练2】某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示： 每天生产的个数 … 生产的天数 … 则该厂家要想天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产______个． 【答案】 【分析】本题考查函数的表示方法，根据变量的变化规律写出与之间的关系式是解题的关键．根据变量的变化规律写出与之间的关系式，当时，求出对应的值即可． 【详解】解：根据表格，得， 与之间的关系为， 当时，得， 解得， 每天需要生产个． 故答案为：． 【跟踪专练3】在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为时，弹簧长度为 C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 【答案】D 【分析】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加，弹簧长度就增加，可以计算当所挂物体为或时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为． 【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x是自变量，y是因变量．故本选项正确，不符合题意； B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确，不符合题意； C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确，不符合题意； D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确，符合题意． 故选：D． 【题型2.用关系式表示变量间的关系】 【典例】语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为___． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式 ，理解题意列出是解题的关键． 根据总页数每天读的页数读完所需的天数得出，从而得出关系式． 【详解】解：根据题意得，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，元/千瓦时是常数． 故选：C． 【跟踪专练2】深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，根据乘车费用包括起步价和超过2公里部分的费用，列出关系式即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：， 【跟踪专练3】国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 【题型3.用图象法表示变量间的关系】 【典例】小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，根据小颖在等车这段时间，离家距离不随时间的变化而变化即可得解． 【详解】解：∵小颖站在离家不远的公共车站等车， ∴这段时间离家距离不随时间的变化而变化， 故选：A． 【跟踪专练1】你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（  ）最符合故事情境． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，理解题意，分析得到乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位是解题的关键．根据题意乌鸦衔来小石子放入瓶中时，水位将会上升，最后乌鸦喝到水之后的水位应不低于一开始的水位，据此逐项判断即可． 【详解】解：因为乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中后，水位将会上升， 且一开始的水位乌鸦是喝不着水的， 所以乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位， 因此只有A选项的图象符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【答案】 时间 喷出水的高度 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 【详解】解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 【跟踪专练3】如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 【题型4.函数的概念】 【典例】下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量x、y，若对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此可得答案． 【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示是的函数， 故选：C． 【跟踪专练1】小明的微信钱包原有80元钱，他在新年一周里抢红包，钱包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，因变量是（    ） A．时间 B．小明 C．80元 D．钱包里的钱 【答案】D 【分析】根据因变量的定义（随着自变量的值变化而变化的变量叫做因变量）即可得． 【详解】解：因为钱包里的钱随着时间的变化而变化， 所以时间是自变量，钱包里的钱是因变量， 故选：D． 【点睛】本题考查了因变量，熟记因变量的概念是解题关键． 【跟踪专练2】在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ________ ，常量是 _________ ． 【答案】 v，t 1000 【分析】本题考查了函数的定义，正确理解变量是指可以取不同值的量，常量是指固定不变的量，即可解题． 【详解】解：在平均速度公式中，时间t变化时，速度v也随之变化，故v和t都是变量，而距离1000米是固定值，故是常量． 故答案为：v，t；1000． 【跟踪专练3】下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， B． 对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，则y不是x的函数， C． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， D． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， 故选：B． 【题型5.函数的三种表示方法】 【典例】定义：用_______来表示函数关系的方法叫做列表法． 列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律． 【答案】表格 【解析】略 【跟踪专练1】梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 【答案】C 【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意； B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意； C、从第3天到第4天，周积分的增长量为分，因此选项C符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有分、分，分的不等，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提． 【跟踪专练2】如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 【跟踪专练3】一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【答案】D 【分析】根据表格中的数量关系可辨别各选项是否符合题意． 【详解】解：A、由题意可得，放水时间是自变量，水池中的水量是因变量，故选项正确； B、水池中原有水，每分钟放水，随着放水时间的增加，水池中水量减少，故选项正确，不符合题意； C、放水后，水池中的水还有，此时水池中水全部放完，故选项正确，不符合题意； D、放水后，水池中的水还有，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用函数解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解题目中的数量关系，并能列式表达． 【题型6.函数解析式】 【典例】如果弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，假设重物质量为，受力后的弹簧长度为，则与的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，能够根据题意中的等量关系建立函数关系式是解题关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下表列出了一次实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系，下列关系式中能表示这种关系的是（　　） 50 80 100 150 … 25 40 50 75 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数的关系式，关键是读懂题意，掌握函数关系的三种表示方法，并能准确找到图表中上下数据的对应关系． 【详解】解：由表中上下对应的统计数据可知：b是d的倍， 即：， 故选：C． 【跟踪专练2】在弹性限度内，某弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）的关系式为，则其常数项12的实际意义是________． 【答案】 弹簧的原长为 【分析】本题考查函数关系式，常数项表示当自变量为零时的函数值，据此进行作答即可. 【详解】解：∵某弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）的关系式为， ∴当时，，即当不挂物体时，弹簧的长度为，即弹簧的原长为； 故答案为：弹簧的原长为 【跟踪专练3】若点是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据距离的非负性判断即可． 【详解】根据题意，y关于x的函数解析式为， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键． 【题型7.求自变量的取值范围】 【典例】函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．全体实数 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键． 根据分式分母不等于零可得答案． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】函数中的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 【跟踪专练3】函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数． 【题型8.求自变量的值或函数值】 【典例】铁的密度为，铁块的质量（单位：g）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为．当时，____________g． 【答案】78.7 【分析】本题考查了函数值的计算知识点，掌握将自变量的值代入函数关系式求解因变量值的方法是解题的关键． 将体积代入函数关系式中计算质量的值． 【详解】解：当时，． 故答案为78.7． 【跟踪专练1】乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，把代入一次函数解析式解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴应付总金额为元， 故选：． 【跟踪专练2】自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是__________米． 【答案】 【分析】此题考查了函数求值，把的值代入公式，求解即可． 【详解】解：把代入公式得：， 则物体下落时，在月球上下落的距离是米． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，求函数值，先根据题意得到，，再推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴ ， ， 故选：A． 【解答题】 1．1个月～6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重（单位：g）和月龄（单位：月）间的关系可以用表示，其中（单位：g）是婴儿出生时的体重．假设一个婴儿出生时的体重为4000g． (1)请用表格表示，在1个月～6个月内，这个婴儿的体重与月龄之间的关系． (2)请指出关系式中的常量和变量，并指出变量之间存在什么关系． 【答案】(1)见解析 (2)常量是4000和700，变量是与．见解析 【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量的定义、函数的概念以及一次函数的增减性知识点，掌握根据函数关系式计算对应值、区分常量与变量，以及判断函数关系的方法是解题的关键． （1）将代入函数关系式，得到，再将依次代入计算对应的值，整理成表格； （2）根据常量和变量的定义，在关系式中区分固定不变的量和变化的量，再根据函数的定义判断变量之间的关系． 【详解】（1）解：在个月～个月内，这个婴儿的体重与月龄之间的关系如下表所示： 月龄/月 1 2 3 4 5 6 体重 4700 5400 6100 6800 7500 8200 （2）解：与之间的关系式是， 常量是和，变量是与． 由表格可以看出对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值与它对应， 因此是的函数，且随的增大而增大． 2．【跟踪专练1】刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 【答案】(1)时间x，路程y (2)1200，乙 (3)320 (4)1008 (5)3.7或4.7或 【分析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键． （1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可； （2）结合图象，进行作答即可； （3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可； （4）设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解． （5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量是时间，因变量是路程， 即自变量是时间，因变量是路程； （2）解：由图象可知：这次龙舟的全程是1200米，乙到达终点共用了分钟，甲到达终点共用了5分钟， ∵ 乙队先到达终点； （3）解：由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是： （米分钟）； （4）解：由图象可知，甲的速度为：（米分钟）， 设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：， 解得：， 甲队走了：（米． （5）解：如图： 由（4）知道相遇时间为分钟 设时间为分钟，甲乙两队相距40米， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴当乙停船检查时，两船相距：（米）， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴ ∴； ∵当时，乙船停止运动， 甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； 综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过3.7或4.7或 分钟时，甲乙两队相距40米． 3．【跟踪专练1】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．． 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．． 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里） 【答案】(1)刹车时车速，刹车距离 (2)20米 (3) (4)汽车是超速行驶，理由见解析 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加m，可得答案； （4）结合（3）的结论得出可得车速为，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， 当刹车时车速为时，刹车距离是20m； 故答案为：20； （3）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， 与v之间的关系式为：， 故答案为：； （4）解：当时，， ， ， 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 4．【跟踪专练1】如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】(1)的长，阴影部分的面积 (2)； (3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 【分析】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意即可解答； （2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式； （3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：因为， 所以图中阴影部分的面积为：， 所以阴影部分的面积与之间的关系式为； （3）解：由题意得，则， 解得：， 所以， 即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04变量与函数同步讲义 【题型01 用表格表示变量间的关系】................................3 【题型02 用关系式表示变量间的关系】..............................4 【题型03 用图象表示变量间的关系】................................5 【题型04 函数的概念】............................................6 【题型05 函数的三种表示方法】....................................7 【题型06 函数解析式】............................................8 【题型07 求自变量的取值范围】....................................8 【题型08 求自变量间的值或函数值】................................9 【解答题4题】....................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:常量与变量 1. 定义 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 常量：在某一变化过程中，取值始终保持不变的量。 2. 实例辨析 圆的面积公式 S=πr2：S（面积）、r（半径）是变量；π（圆周率）是常量。 购买橘子：单价 5 元 / 千克，总价 m=5a（a 为购买重量）：常量是 5，变量是 a、m。 知识点02:函数的核心概念 1. 函数定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么： x 是自变量（主动变化的量）。 y 是因变量（随 x 变化的量），也称 y 是 x 的函数。 2. 函数的本质 函数不是数，而是两个变量之间的一种对应关系，核心是 “一一对应”（自变量的每一个值，对应唯一的函数值）。 3. 函数值 当自变量 x=a 时，函数 y 对应的唯一值 b，叫做当 x=a 时的函数值。 知识点03:函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 实例 解析法 用数学表达式（函数关系式）表示变量关系 简洁、准确，便于计算推导 不够直观 y=2x+1、S=πr2 列表法 用表格列出自变量与函数的对应值 直观，可直接读取数值 只能表示有限个值 气温随时间变化的记录表 图象法 用平面直角坐标系中的图象表示关系 直观反映变化趋势 数值不够精确 一天内温度变化曲线 知识点04:自变量的取值范围 1. 确定原则 使代数式有意义：如分式分母不为 0、二次根式被开方数非负等。 使实际问题有意义：结合问题背景，如时间、长度、数量不能为负数。 2. 实例 函数 y=：自变量 x2（分母不为 0）。 用绳子围矩形，长为 x，面积 y=x(10−x)：0<x<10（边长为正）。 知识点05:判断函数关系的关键 判断两个变量是否为函数关系，核心看：对于自变量的每一个值，是否有唯一的函数值与之对应。 是函数：y=3x、y=x2。 不是函数：y=±（x>0 时，一个 x 对应两个 y）。 【题型1.用表格表示变量间的关系】 【典例】连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加______． 【跟踪专练1】在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【跟踪专练2】某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示： 每天生产的个数 … 生产的天数 … 则该厂家要想天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产______个． 【跟踪专练3】在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为时，弹簧长度为 C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 【题型2.用关系式表示变量间的关系】 【典例】语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为___． 【跟踪专练1】某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【跟踪专练2】深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______． 【跟踪专练3】国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3.用图象法表示变量间的关系】 【典例】小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（  ）最符合故事情境． A．   B．   C．   D．   【跟踪专练2】该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【跟踪专练3】如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【题型4.函数的概念】 【典例】下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明的微信钱包原有80元钱，他在新年一周里抢红包，钱包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，因变量是（    ） A．时间 B．小明 C．80元 D．钱包里的钱 【跟踪专练2】在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ________ ，常量是 _________ ． 【跟踪专练3】下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.函数的三种表示方法】 【典例】定义：用_______来表示函数关系的方法叫做列表法． 列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律． 【跟踪专练1】梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 【跟踪专练2】如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【跟踪专练3】一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【题型6.函数解析式】 【典例】如果弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，假设重物质量为，受力后的弹簧长度为，则与的函数关系式是______． 【跟踪专练1】下表列出了一次实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系，下列关系式中能表示这种关系的是（　　） 50 80 100 150 … 25 40 50 75 … A． B． C． D． 【跟踪专练2】在弹性限度内，某弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）的关系式为，则其常数项12的实际意义是________． 【跟踪专练3】若点是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为(   ) A． B． C． D． 【题型7.求自变量的取值范围】 【典例】函数中，自变量x的取值范围是_______． 【跟踪专练1】函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．全体实数 C． D． 【跟踪专练2】函数中的取值范围为___________． 【跟踪专练3】函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8.求自变量的值或函数值】 【典例】铁的密度为，铁块的质量（单位：g）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为．当时，____________g． 【跟踪专练1】乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【跟踪专练2】自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是__________米． 【跟踪专练3】已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．1个月～6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重（单位：g）和月龄（单位：月）间的关系可以用表示，其中（单位：g）是婴儿出生时的体重．假设一个婴儿出生时的体重为4000g． (1)请用表格表示，在1个月～6个月内，这个婴儿的体重与月龄之间的关系． (2)请指出关系式中的常量和变量，并指出变量之间存在什么关系． 2．【跟踪专练1】刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 3．【跟踪专练1】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．． 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．． 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里） 4．【跟踪专练1】如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $