精品解析：四川省蓬溪中学校2025-2026学年高一下学期入学质量检测数学试卷

蓬溪中学高2025级2026年春季入学质量检测 数 学 试 卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解得集合，再求交集即可． 【详解】因为，， 所以． 故选：D． 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定为“”． 3. 下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 4. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定，进而求得结果. 【详解】因为不等式的解集为， 所以， 解得. 所以不等式化简得，即， 解得. 故选：B. 5. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为角的终边过点， 所以，所以. 故选：D 6. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和特值进行排除. 【详解】，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，排除A，B． ，排除D，所以只有C正确． 故选：C． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦的性质可得，再结合对数、指数函数的性质比较大小即可． 【详解】因为，，， 所以． 故选：B． 8. 若函数的定义域为，且满足的图象关于成中心对称，为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的一个周期为4 B. C. 图象的一条对称轴为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数的性质推出函数的周期和对称轴，判断选项A，C；求出相应函数值，结合函数周期性计算判断选项B，D． 【详解】的图象关于中心对称， 是奇函数，即， 为偶函数， ，把替换为，则， ，把替换为，得， ， 周期为4， ， 的对称轴为，又周期为4， 的对称轴为， 是奇函数， ， ， ， 选项A：，故周期为4，故A正确； 选项B：， ， ，，， ，故B错误； 选项C：的对称轴为， 当时，对称轴为，故C正确； 选项D：，周期为4， ， ，故D正确． 故选：B． 二、多选题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的反函数是 B 函数过定点 C. 对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D. 已知为奇函数，当时，，则时， 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项. 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∴，B选项正确， ∴，A选项错误， ∴ ，C选项正确 ， ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 存在，使得为偶函数 B. 若是R上的减函数，则的取值范围是 C. 若存在最大值，则的取值范围是 D. 若存在最小值，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】分析函数图像即可判断选项A；由函数单调性列关于a的不等式组即可求解判断选项B；由的单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项C；由C选项即可分析求解判断选项D． 【详解】选项A：当时，图象为指数函数部分图象， 当时，图象为一条射线， 所以图象不关于y轴对称，故不存在使得为偶函数，故A错误； 选项B：是R上的减函数，所以. 所以若是R上的减函数，则的取值范围是，故B正确； 选项C：当时，. 若即时，在上单调递增，此时， 所以若在R上存在最大值，则； 若即，在上恒有， 则函数在R上有最大值为6，故； 若，在上单调递减，此时， 则函数在R上无最大值，不符合. 存在最大值的条件是，即，故C正确； 选项D：由C可知时，无最小值； 时，在R上值域为，无最小值； ，要使在R上有最小值，则，即； 存在最小值时，的取值范围是，故D错误． 故选：BC． 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得. 【详解】. 故答案为： 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【解析】 【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可. 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 14. 函数所有零点的和为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】将问题转化为函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 【详解】由，得，则所有零点的和等价于函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 易得的图象与直线均关于点（2，0）对称． 又， 结合的图象与直线可知， 的图象与直线在内共有5个交点， 则的图象与直线共有11个交点，且关于点对称， 则这11个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为22． 故答案为：22 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得； （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】（1） . （2） 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集运算和并集运算即可求解； （2）由知，得的不等式组解得即可. 【小问1详解】 当时，， 又， 故， ． 【小问2详解】 ， 当时，，解得， 当时，解得， 故的取值范围是． 17. （1）已知，且是第二象限角．求，的值； （2）已知函数，化简的解析式并求对称中心． 【答案】（1）， ；（2），对称中心为， ． 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式化简计算可得； （2）利用三角恒等变换公式将函数化简，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且是第二象限角， 所以，； ； ． （2）， 所以的对称中心为， 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据列方程组求出的值，可得函数解析式； （2）利用函数解析式，结合正弦函数的性质，求定义区间内函数的最值； （3）根据函数图象的变换得到的解析式，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 又，解得， 所以． 【小问2详解】 ，， ∴，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，，解得，， 因为，所以当时，此时取得最小值为． 19. 若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）求函数在内的最值； （3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数解一元二次不等式，利用分母恒大于零的性质，去分母简化运算即可； （2）先将分式函数变形，再利用均值不等式，并结合参数进行分类讨论，从而确定函数的值域与最值； （3）将“三角形函数”条件转化为“两倍最小值大于最大值”，结合第（2）问的最值结论，分情况求解参数的范围． 【小问1详解】 当时，由于， 所以， 从而不等式的解集为． 【小问2详解】 变形得． 当时，； 当时，由于，所以， 当且仅当即时取等号， ①当时，， 从而，即无最小值，当且仅当时，； ②当时，， 从而，即无最大值，当且仅当时，． 【小问3详解】 当时，，符合题意； 当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即， 所以； 当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即， 所以． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬溪中学高2025级2026年春季入学质量检测 数 学 试 卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 6. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，且满足的图象关于成中心对称，为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的一个周期为4 B. C. 图象的一条对称轴为 D. 二、多选题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的反函数是 B 函数过定点 C. 对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D. 已知为奇函数，当时，，则时， 10 已知，且，，则（ ） A B. C. D 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 存在，使得为偶函数 B. 若是R上的减函数，则的取值范围是 C. 若存在最大值，则的取值范围是 D. 若存在最小值，则取值范围是 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 14. 函数所有零点的和为__________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）化简：． 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知，且是第二象限角．求，的值； （2）已知函数，化简的解析式并求对称中心． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若满足，求的最小值． 19. 若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）求函数在内的最值； （3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $