9.1.2 余弦定理 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

9.1.2 余弦定理 【课程基本信息】 年级 高一 课题 余弦定理 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理. 2.能应用余弦定理及变形公式进行边角转化，判定三角形的形状. 3.能应用余弦定理及变形公式进行边角转化，解决三角形相关的几何计算、证明问题. 【教学重点】 应用余弦定理及变形公式进行边角转化，判定三角形的形状. 【教学难点】 应用余弦定理及变形公式进行边角转化，解决三角形相关的几何计算、证明问题. 【教学过程】 情境与问题：利用如图(1)所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角. 例如，如图(2)所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这3个量求出AB吗？ 设计意图：通过提出问题，引领学生认识余弦定理的概念. 情境中的问题可以转化为：已知三角形的两边及其夹角，求第三边.即：已知a、b及C，求c.类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解.如上图所示，注意到||=b，||=a，<，>=C，所以||||<，>=abcos C，而且=-，因此==a2-2abcos C+b2，又因为||=c，因此c2=a2+b2-2abcos C. 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：c2=a2+b2-2abcos C，a2=b2+c2-2bccos C， b2=c2+a2-2cacos C. 教师提问：根据余弦定理的概念，尝试总结一下余弦定理的其他性质. 余弦定理的其他形式：，，. 拓展：三斜求积术：我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个.相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积.即S=. 【课堂例题】 例1：在△ABC中，已知a=3，b=6，C=60°，求c. 解：由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=32+62-2×3×6×cos60°=27，因此c=. 例1的启示：从例1可以看出，已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致. 例2：在△ABC中，已知a=6，b=4，c=2，求C. 解：由c2=a2+b2-2abcos C可得(2)2=62+42-2×6×cos C，可解得cos C=，又因为0°<C<180°，所以C=60°. 例2的启示：由例2可以看出，已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致. 例3：在△ABC中，已知acos A=bcos B，判断该三角形的形状. 解：方法一：由余弦定理得，因此a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，即a2c2-b2c2-a4+b4=0，从而c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0，所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0，因此a2-b2=0或c2-a2-b2=0，当a2-b2=0时，a=b，△ABC是等腰三角形，当c2-a2-b2=0时，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形. 方法二：由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B，因此sin 2A=sin 2B，所以A=B或A+B=，当A=B时，△ABC是等腰三角形，当A+B=时，△ABC是直角三角形 例4：如图所示平面四边形ABCD中，已知B+D=180°，AB=2，BC=4，CD=4，AD=2，求四边形ABCD的面积. 解：如图，连接A，C，在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos B，AC2=AD2+CD2-2AD×CDcos D，又因为B+D=180°，所以cos D=cos(180°-B)=-cos B，因此22+(4)2-2×2×4cos B=(2)2+42+2×2×4cos B，解得cos B=0，因此cos D=0，则B=D=90°，从而可知四边形的面积为. 例4的启示：例4说明，与平面多边形有关的问题，有时可以转化为三角形的问题来求解. 例5：在△ABC中，求证：a=bcos C+ccos B. 解：如图所示，，因此， 又由图可知||=a，，，所以a2=bacos C+cacos B，即a=bcos C+ccos B. 例5的启示：例5的结果也可用向量数量积的几何意义来解释.事实上， bcos C+ccos B是在上的投影的数量之和. 【课堂巩固】 1.在中，，，则( ) A. B. C. D. 2.已知的面积为，，，则( ). A. B. C. D. 3.在中，已知，且，确定的形状_______________. 【小结作业】 11页的课后习题 【板书设计】 9.1.2 余弦定理 1.余弦定理及其推论 2.余弦定理解三角形 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $