河南许昌市2025-2026学年高三下学期质量检测数学试题

2025一2026学年高三年级质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上。 新 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 h 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2},B={x|x+1>0},则A∩B= A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} 毁 C.{-2,-1,0,1,2} D.{-3,-2,-1,0,1,2} A 1+2i 2.若复数z= -a(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知a,b是两个不共线的向量，若向量3a-2b与xa+8b共线，则x= A.9 B.6 C.-4 D.-12 4.在正四棱台ABCD-A,B,C,D1中，AB=2A,B,=4,若侧面与底面的夹角为60°，则该四棱台 的体积为 56 203 A. B. C. 8 D. 283 3 3 3 兼 5. 已知双曲线 62 =1(b>0),AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A,B到该双曲线 的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为 3 B 了 7 2 2 C. D.2 高三数学 第1页（共4页） 6.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对 每一题的概率均为在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为 6 A. 12 3 25 B. 2 D 7.已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,若fy)-f(x)fy）=f(x+y)-1,则 A.f(0)=1 a)=10 B. C.函数f(x+1)是奇函数 D.函数f(x)+1是偶函数 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+sinB+sinC=2,5cos2cos2, AB 2a+b=4,若M是AC的中点，则BM的最小值为 B.1 C.3.D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的是 A.(x-2y)5的展开式中x4y的系数为-10 B.一组数据2,4,6,5，m,4,3的中位数一定是4 C一组数据(，)(1≤≤10)的线性回归方程为=2-3，若星=20，则=30 D.对随机事件A,B若P(B=子，P(BA)=子，则事件A与B相互独立 10.将函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<开)的图象向左平移后得到函数y=g(x)的图象， 6 若g(x)是偶函数，则 Ap-号 B,函数y)的图象关于点（侣0）对称 C.丽数y=八x8()在（写，受1上单调递增 D.函数)=g())-在[0，]上的所有学点之和为号则-1m≤号 高三数学 第2页（共4页） 11.有一款弹球游戏，在如图所示的矩形球台ABCD上进行，游 戏开始时，弹球从A点发射，玩家可以自由控制发射角度， 但不能沿边框发射，弹球发射后沿直线运动，碰撞到球台 的边框后被反弹（人射角=反射角），反弹后继续沿直线运 动，经过若干次反弹后，到达AB的中点E,一轮游戏结束. 若弹球大小忽略不计，则 A.若经过一次反弹到达点E,则碰撞点是某边框的一个三等分点 和 B.若经过两次反弹到达点E,则首次碰撞点是某边框的一个四等分点 C.若前两次碰撞点分别在BC、AD上，则只经过三次反弹不可能到达点E D.若经过三次反弹到达点E,且首次碰撞点在BC上，则该点是BC的一个五等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2设5，为各项均为正数的等比数列a,}的前n项和，若2a,+a,04,则 13.抛物线y2=8x的焦点为F,准线与x轴交于点E,A为抛物线上一点，若∠AFE为锐角， √I7sin∠AEF=3sin∠AFE,则|AE|= 14.已知函数f(x)的定义域为(0，+o),f1)=0,g(x)=xf(x),若g'(x)=lnx,则不等式 +e)<高)的解集为心立4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)》 某企业对员工进行技能测试，测试成绩X(满分为150分)近似服从正态分布N(95,225), 且P(95<X<120)=0.4,测试成绩120分以上为优秀. 四 (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上的员工 人数（结果四舍五入保留到整数）： (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为 Y,求Y的分布列和期望 的1 附：若随机变量X~N(u,o2),则P(u-σ≤X≤u+σ)≈0.6827， P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545， P(u-3o≤X≤+3σ)≈0.9973. 高三数学：第3页（共4页） 16.(15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S,=2S,+a1且an=2an+1. (1)求{a,}的通项公式： (2)设函数f八x)=x+(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)°，b,=f'(1),求数列{b,}的前n项 和T 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边 长为2的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点. (1)证明：平面AEF⊥平面PBC; (2)若EF∥平面PCD,求直线PF与平面PAD所成 角的正弦值； (3)设点G为三棱锥E-ABF的外接球的球心，试判 断三棱锥G-PAD的体积是否为定值？若是，求出该定 值；若不是，请说明理由， 18.(17分) x2 知椭圆E:不+1(0>b>0)的离心率为左右焦点分别为，F,点M(0,3 椭圆上 (1)求E的方程； (2)已知E上一点P,且P不在x轴上，直线PF,PF,与E的另一个交点分别为A,B （1)若点P的坐标为(-1，》，求直线B的方程， (i)若PF=aF,A,PF=uFB,求+u的值 19.(17分) 已知函数f(x)=aln(x+1),g(x)=xf八x). (1)若a>0,求g(x)的单调区间； (2)若e-1≥f(x),h(x)=g(x)-c0sx (i)求a; (ⅱ)函数h(x)图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的对数：若 不存在，请说明理由 高三数学 第4页（共4页）2025-2026学年高三年级质量检测参考答案 一、选择题 1.A2.C3.D4.D5.B6.C7.C8.B 二、选择题 9.ABD 10.BC 11.BCD 三、填空题 33.7 2 14.,e 四、解答题 15.解：(1)因为X~N(95,225),所以=95，o=15, 所以P(X≥80)=P(X24-0)=PL-a≤X≤L+O+05=0.34135+0.5=0.8413 …4分 2 则30000×0.84135≈25241， 所以估计该公司测试成绩80分以上的员工人数为25241人. …5分 (1)因为X~N95,225),且P(95≤X<120)=0.4,所以P(X≥120)=0.5-0.4=0.1， 依题意Y~B3,0.1), …7分 所以P(Y=0)=C0.1)°(0.9)3=0.729，P(Y=1)=C(0.1)'(0.9)2=0.243, P(Y=2)=C(0.1)2(0.9)'=0.027,P(Y=3)=C(0.1'(0.9)°=0.001， 随机变量Y的分布列为： Y 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 …11分 随机变量Y的期望E()=3x0.1=0.3. …13分 16.解：(1)设数列的公差为d,当n=1时，由S,=2S2+a可知 4+a2+a=2(a2+4)+a,则42=34 …2分 又a2n=2an+1,令n=1可得a,=2a+1 联立解得4=1，a,=3,则d=2 …5分 ∴.an=2n-1 …6分 (2)当x≠-1x≠0时.f(x)x1+(1x)+(1+x++(1)] x产=(x产-1，当x=-1x=0时，f()=0+刘-1成立 - (1+x)-1 所以f(x)=(1+x)2m-1 …8分 f(x)=2n(1tx)2-1,则f()=n-2=n4“，bn=m4" …11分 T=1×4+2×42+3×43+.+n.4" 4T=1×42+2×43+.+n.4m+1 -3江，=4+4++4-n4n=4=×4-n-4_0-3m小4-4 4-1 3 Z=30-1小-4+4 …15分 17.(1)证明：，平面PAB⊥平面ABCD,交线为AB,BC⊥AB,则BC⊥平面PAB AEC平面PAB,则CB⊥AE 又AE⊥PB,PB∩BC=B,则AE⊥平面PBC,AEC平面AEF .平面AEF⊥平面PBC …4分 (2)EFI/平面PCD,平面PDC∩平面PBC=PC,则EF//PC .F为线段BC的中点 取AB的中点O,连接OP,则OP⊥平面ABCD …5分 以O为坐标原点，OB,OP所在直线为x,z轴，过O作BC的平行 线为二轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-x, P(0,0,3),A(-1,0,0,D(-1,2,0)bF1,1,0) PA=（-1,0,V5),AD=（-1,0,0)bPF=11,-5) D 设平面PAD的法向量为n=（x,y,) 则 n1pA「-x-V3z=0 n⊥AD y=0 令z=1,x=-5,n=（5,0,1 设PF与平面PAD所成角为a PF.n 则sin a 25 25 …9分 5 (3)由(1)知，AE⊥平面PBC,则AE⊥EF,△AEF为直角三角形，且△ABF也为直角三角形，则 三棱锥E-ABF外接球的球心为线段AF的中点G, 则OG/IBF,.OG1IAD且OG= 歌，即点G恒在与AD平行的直线上， 点G到平面PAD的距离为B到平面PAD的一半，则三棱锥E-ABF的体积为定值…I2分 2 2 专吉2x26 3 .V。-D= …15分 18解：(1)由已知得e=号，a=2c,则6：=3女 a 2 4 9 又腊同过仁1,3，由示+3G1解得=4，所以：+s1 …4分 43 (2)证明：设1：x=y-1,2:x=y+1A(x,y),B(x2,y2),P(,) x=y-1 -9 由 xy-1→(3m2+4)y-6my-9=0,%=3m+4 -=1 4+ x=my+1 -9 由 +上=13+4y+6my-9=0,2.3+4 81 81 (32+43m,2+4） %=(3m2+43m2+4 …7分 由PR=风A→(1-x,-%)=(5+1y)→入=业，同理可得u= 2 9(32+4+3,2+4） 2+=+--3+43m+4到 (342+3,2+8)y。2 乃y2 2 yy2 9 - 602+82+6_10 结论得证； …10分 9 9 3 (3)记N的中点为G, MI+NO =MO'+NTMT'-NT'-MO'-NO M-N7=Mg-N@°~(M7-N7ǖ+NT)=(Mg-@)(M0-D） NM(2TG)-NM (20GNM TG-OG=0 则M⊥Q7,即⊥2，则2=-1 …12分 由(2)设M(x3,y3),N(x,y4) -6m1 -9 可知y+业F3m44y43m2+4 -6%1 )2 N=1+mVy,+y4)2-4yy=1+ 36 12(1+m2） 322+4 3m2+4 3m2+4 同理№r 121+%2) 4m2+3 721+m2 s-m)(m) 令t=1+2,t21 …15分 72t2 72t2 72 S= (3t+1)(4r-)12r+t-1 96 12+19 当t=2时取得最小值 7 …17分 19.解析：(1)当a>0时，g(x)=f(x)=xn(x+1) g-an(+)}daix+中lx- …2分 则g(x)为增函数，又g(0)=0 当x>0时，g'(x)>0,g(x)为增函数，当-1<x<0时，g'(x)<0,g(x)为减函数 ∴.g(x)的单调递增区间为(0，+o),单调递减区间为(-1,0) …4分 (2)(i)e-1≥f(x)即e-1≥aln(x+1)(x>-1) 当a≤0时，若-1<x<0,则ln(x+1)<0,an(x+1)≥0 且e-1<0,不等式不成立，.a>0 当a>0时，令G(x)=e-l-an(x+1)(x>-l) G(x)=e-0-+1)e-a …6分 x+1x+1 令m(x)=(x+1)e-a,则m(x)=(x+2)e>0,m(x)为增函数 m-l=-a<0,x>-l,e>},(x+1e-a≥41-a-x+l-e e my>+1）-ae.又mae->0且e-1>-1 e 则(x)在(-1，+o)上有且仅有一个零点x …8分 当x>x,时，(x)>0,G(x)>0,Gx)为增函数 当-1<x<x。时，(x)<0,G(x)<0,Gx)为减函数 则函数在x=x处取得最小值G(x),G(x)≥0 又G(0)=0,则此时必有x。=0,所以m(0)=0,解得a=1 …10分 (ii)由(i)知，g(x)=xln(x+1),假设存在关于原点对称的点， 设点P(m,n)为函数h(x)图象上的点，则P(m,n)关于原点对称的点为P'(-m,-n) mln(m+1)-cosm=n →mlnm+1-2cosm=0 …12分 -mln (-m+1)-cosm=-n 1-m 设函数F(m）=mhn+12cosm(-1<m<1） 1-m F(←刚=-7mn二+12c08m=r(m）,F(m为偶函数 1+m 当0≤m<1时，F'(m)=ln"++2 +2sin m …14分 1-m1-m2 m+1=-1m）+2-2121,hm+≥0，则F(m）2≥0 1-m1-m1-m 1-m 所以函数F(m)为增函数，F()≥F(0)=-2 4. 5 (5co4 即方程F(m)=0在0,1)上有唯一解， 综上可知函数y=g(x)-COsx图象上存在唯一一对关于原点对称的点. ……17分