第03讲 导数的应用（知识清单+9题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（沪教版选择性必修第二册）

第03讲 导数的应用 知识清单 知识点01：函数的单调性与其导数的正负之间的关系 知识点02：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 知识点03：函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 知识点04：函数极值的意义 知识点05：函数极值的求法与步骤 知识点06：函数最值的定义 知识点07：求函数的最大值与最小值的步骤 题型讲解 （举一反三） 题型1：利用导数研究函数的单调性 题型2：求已知函数的极值 题型3：根据极值、极值点求参数 题型4：函数（导函数）图象与极值点的关系 题型5：由导数求函数的最值（不含参） 题型6：函数单调性、极值与最值的综合应用 题型7：利用导数研究不等式恒成立问题 题型8：利用导数研究函数的零点 题型9：利用导数解决实际问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点02利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点03函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点04函数极值的意义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 知识点05函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 知识点06函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值 知识点07求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 题型1：利用导数研究函数的单调性 【例1-1】（24-25高二下·上海·期中）与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期中）函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 【变式1-2】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是________． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 题型2：求已知函数的极值 【例2-1】（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 【变式2-1】函数的驻点是______． 【变式2-2】函数的极小值是_______. 【变式2-3】（25-26高一上·上海浦东新·月考）设函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程. (2)当，求函数的极值. 题型3：根据极值、极值点求参数 【例3-1】（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则______. 【变式3-1】若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④ 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 题型4：函数（导函数）图象与极值点的关系 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【变式4-2】（24-25高三下·上海·月考）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 【变式4-3】已知的图象如图所示，求函数在上的单调区间和极值点．    题型5：由导数求函数的最值（不含参） 【例5-1】（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【变式5-1】（24-25高二下·上海松江·月考）函数的最小值是________． 【变式5-2】（24-25高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 【变式5-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 题型6：函数单调性、极值与最值的综合应用 【例6-1】（24-25高三下·上海虹口·月考）函数，记在上的最大值为，则的解集是______． 【变式6-1】若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是______． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为__________． 【变式6-3】（25-26高三上·上海徐汇·期中）若函数（为常数，且），已知是上的严格增函数，则的最大值为______ 题型7：利用导数研究不等式恒成立问题 【例7-1】（24-25高三下·上海·月考）设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025高三上·上海·专题练习）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【变式7-2】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是________． 【变式7-3】（2026高三·上海·专题练习）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 题型8：利用导数研究函数的零点 【例8-1】（25-26高三上·上海·期末）已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】（25-26高二上·上海·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ）. A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 【变式8-3】（2026高三·上海·专题练习）设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 题型9：利用导数解决实际问题 【例9-1】（24-25高二下·上海奉贤·期末）圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（   ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【变式9-1】（24-25高二下·上海·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【变式9-1】（24-25高三下·上海静安·期中）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m． 【变式9-3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，价格与产量的函数关系式为，求产量为何值时，利润最大． 一、填空题 1．（25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为______． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 3．（25-26高三上·上海松江·期中）函数的单调减区间为______． 4．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则__________. 5．（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是__________． 6．（24-25高二下·上海松江·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是_________. 7．（25-26高一上·上海·期末）比较两数的大小：____（在下列符号中，选择最恰当的填入：、、、、. 8．（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 9．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为________． 11．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________． 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期末）在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（24-25高二下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 16．（2026高三·上海·专题练习）已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 18．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 19．（24-25高二下·上海·期末）已知 (1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数e为自然对数的底）； (2)根据（1）的结论，判断与的大小关系： 20．（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3. (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 21．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知函数. (1)求出函数所有的极值点. (2)设函数的图象上存在两点，满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上. ①证明：，两点在直线的两侧. ②求a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数的应用 知识清单 知识点01：函数的单调性与其导数的正负之间的关系 知识点02：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 知识点03：函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 知识点04：函数极值的意义 知识点05：函数极值的求法与步骤 知识点06：函数最值的定义 知识点07：求函数的最大值与最小值的步骤 题型讲解 （举一反三） 题型1：利用导数研究函数的单调性 题型2：求已知函数的极值 题型3：根据极值、极值点求参数 题型4：函数（导函数）图象与极值点的关系 题型5：由导数求函数的最值（不含参） 题型6：函数单调性、极值与最值的综合应用 题型7：利用导数研究不等式恒成立问题 题型8：利用导数研究函数的零点 题型9：利用导数解决实际问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点02利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点03函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点04函数极值的意义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 知识点05函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 知识点06函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值 知识点07求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 题型1：利用导数研究函数的单调性 【例1-1】（24-25高二下·上海·期中）与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】构造函数，求证其单调性即可得，最后利用对数函数的单调性即可. 【详解】令，则， 则在上单调递减，则， 即，即，即， 因为增函数，则. 故选：C 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期中）函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求导，再令导数小于零，即可求出函数的减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得或， 所以函数的严格减区间为和. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值. （2）由（1）求出导函数大于0的不等式的解集即可得解. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与平行，得 即，解得，此时，点不在直线上， 所以. （2）由（1）知，其定义域为，， 由，即，解得， 所以的单调增区间是. 题型2：求已知函数的极值 【例2-1】（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 【变式2-1】函数的驻点是______． 【答案】 【分析】求导，根据导数即可求解. 【详解】，令，解得， 故答案为：. 【变式2-2】函数的极小值是_______. 【答案】0 【分析】求出导函数，由其确定单调性得极小值． 【详解】由已知，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在递减， 所以的极小值为． 故答案为：0. 【变式2-3】（25-26高一上·上海浦东新·月考）设函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程. (2)当，求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值，极大值 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用直线的点斜式方程即得； （2）对函数求导，分析函数的单调性，即得函数的极值. 【详解】（1）当时，，则， 所以，而， 故函数在点处的切线方程为. （2）当时，，函数的定义域为， 则， 令，得或；令，得， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值； 在处取得极大值. 题型3：根据极值、极值点求参数 【例3-1】（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则______. 【答案】24 【分析】根据极值点和极值可得关于参数的方程组，求出其解后再检验可得参数的值，从而可求. 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 【变式3-1】若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④ 【答案】 【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为， ， 又函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 故方程有两个不等的正根， 于是，则， 所以即. 故②③④正确. 故答案为：②③④. 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【答案】 【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可. 【详解】的定义域为，， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得， 经验证符合题意，故实数a的值为. 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数的单调性与极值，结合其极小值小于，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型4：函数（导函数）图象与极值点的关系 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小打到依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高三下·上海·月考）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断，，再求出函数的导函数，分析函数的极值点，即可判断、，从而得解. 【详解】因为， 由图可知当时，当时，所以，， 又， 由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点小于极小值点， 所以有两个零点，不妨设为，则，，且， 所以导函数的图象如下图所示：    所以，，则，所以，，，. 故选：A 【变式4-3】已知的图象如图所示，求函数在上的单调区间和极值点．    【答案】单调递增区间为，单调递减区间为，极大值点为，无极小值点. 【分析】根据的正负直接确定单调区间，结合极值点定义可得极值点. 【详解】由图象可知：当时，；当时，； 在上的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值点为，无极小值点. 题型5：由导数求函数的最值（不含参） 【例5-1】（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 【变式5-1】（24-25高二下·上海松江·月考）函数的最小值是________． 【答案】 【分析】求导得函数单调性，然后即可得解. 【详解】求导得， 由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】因为，则， 又恒成立， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)0； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减，， 所以函数的最大值为0. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，在上递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 题型6：函数单调性、极值与最值的综合应用 【例6-1】（24-25高三下·上海虹口·月考）函数，记在上的最大值为，则的解集是______． 【答案】 【分析】通过换元，，用导数探究得，进而可得不等式的解集. 【详解】因为， 令，则， ， 因为，令得，或， 列表 1 极大值 极小值 因为函数的图象关于点对称，且，所以，结合表格和简图可知，， 所以 ， 故的解集是. 故答案为：. 【变式6-1】若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数图象的交点结合图象可求． 【详解】原不等式等价于，， 设， 所以， 令，得． 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 又，时，， 因此与的图象如下，    当时，显然不满足条件，当时，只需满足， 解可得，． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】函数为分段函数，时函数为，时函数为. 需通过导数分析两段函数的单调性，结合极小值的定义确定的范围。 【详解】（1）当时，函数，其导数，故在上单调递增，在处取得最小值1. （2）当时，函数，求导得. ①若，则，函数在上单调递增，此时整个函数在R上单调递增，无极小值; ②若，令，解得。由于，仅考虑. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减, 故函数在时先增后减，而时函数单调递增，故整个函数在处取得极小值. 此时，实数的取值范围为 故答案为： 【变式6-3】（25-26高三上·上海徐汇·期中）若函数（为常数，且），已知是上的严格增函数，则的最大值为______ 【答案】 【分析】有题意可得导数恒成立，令，求导数并通过导数求得函数的单调区间，即可得到，令得到关系，从而得到不等式，再令，通过导数求得函数的单调区间及最大值，即的最大值. 【详解】，则， 由题意可知恒成立. 令，则， ∵，令，， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， ∴函数， ∴ ∴， ∴， 令，则， ∴时，，单调递增，时，，单调递减， ∴. ∴的最大值为. 故答案为：. 题型7：利用导数研究不等式恒成立问题 【例7-1】（24-25高三下·上海·月考）设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后，验证对任意能否恒成立，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为，则， 则函数在上为增函数， 考虑到，，因此讨论分界点为． 当时，则对任意实数，， 此时，函数在上为增函数，则对任意的，，合乎题意； 当时，因为函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，即函数在上单调递减， 所以，，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-1】（2025高三上·上海·专题练习）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由已知可得，则可知若不等式恒成立，则，解得，再根据可知函数在上单调递增，不等式恒成立. 【详解】由已知，则， 又，所以若任意，恒成立， 则，解得， 又当，， 则当时，，即恒成立， 所以此时函数在上单调递增，即恒成立， 综上所述， 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题得在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】由在定义域上恒成立，即在上恒成立， ，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； ，即， ，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-3】（2026高三·上海·专题练习）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立，分离参数，再由导数求函数的最大值即可得解. 【详解】，其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，所以． 题型8：利用导数研究函数的零点 【例8-1】（25-26高三上·上海·期末）已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用三次多项式的因式分解性质说明必要性成立，从而得解. 【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”. 若成立，当时，， 则，满足且， 所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以， 若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得： ，其中为函数的两个不同零点， 此时满足且，故成立，即. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 【变式8-1】（25-26高二上·上海·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，函数若存在巧值点，则有，分别对四个选项求导后令，若有解，则说明此函数有巧值点，若无解，则说明此函数没有巧值点，额外的，对于A选项，需要使用零点存在性定理来证明有解. 【详解】A，，令，即， 设，易得是在上连续不间断的曲线， 且有，， 由零点存在性定理，在上必有零点，故函数有巧值点； B，，令，即，即，此时无解，故函数没有巧值点； C，，令，即，解得，故函数有巧值点； D，，令，即，解得，故函数有巧值点； 故选：B 【变式8-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由可得，令，则直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 令，其中，则直线与函数的图象有两个公共点， ，由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为， 函数的极小值为， 当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】（2026高三·上海·专题练习）设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 【答案】1 【分析】讨论在上的零点个数，需先求的导数，分析导数的单调性和零点，确定的单调性，结合端点值及零点存在定理判断零点个数. 【详解】由已知得，所以. 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减. 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，. 所以存在，使得. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 题型9：利用导数解决实际问题 【例9-1】（24-25高二下·上海奉贤·期末）圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（   ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】设圆锥的高为，求出该圆锥体积的函数关系，利用导数求出最大值，进而判断得解. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则， 圆锥的体积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当，时，圆锥的体积取得最大值， 此时圆锥的母线与底面所成角，有，，①正确； 而，则圆锥的体积不能取到，②错误. 故选：B 【变式9-1】（24-25高二下·上海·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式得出，其中，再利用导数法可求得的最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 【变式9-1】（24-25高三下·上海静安·期中）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m． 【答案】 【分析】设底面短边长为，求出容器的容积的表达式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】设底面短边长为， 则长边长为，高为， 则，解得， 则容器的容积，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以要使该容器的容积最大，则容器的高为. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，价格与产量的函数关系式为，求产量为何值时，利润最大． 【答案】84 【分析】求出利润的表达式，利用导数求出最值即可. 【详解】收入， 利润， 则有，令，即，解得， 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值． 所以产量为84时，利润最大． 一、填空题 1．（25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为______． 【答案】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 2．（24-25高二下·上海·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 【答案】 【分析】根据导函数的图象确定区间单调性，进而判断极值点个数. 【详解】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 故答案为：1 3．（25-26高三上·上海松江·期中）函数的单调减区间为______． 【答案】 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则__________. 【答案】 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据题意求出参数的值，再利用导数判断函数在上的单调性，进而可以求出最大值. 【详解】，依题意，解得 此时， 令得；令得或 所以在单调递减，在和单调递增； 所以是的极小值点. 因为，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增 因为 且 所以在的最大值为 故答案为: 6．（24-25高二下·上海松江·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题. 【详解】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海·期末）比较两数的大小：____（在下列符号中，选择最恰当的填入：、、、、. 【答案】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合对数函数与的单调性可得出与的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为减函数，所以， 即，即，即， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】当时，令，得到有2个零点；当时，转化为，在有1解，令，可得，再令，得到，求得函数的单调性，得到，进而得到在上单调递减，得到不等式，即可求解. 【详解】当时，令，解得或，有2个零点； 当时，令，即，在有且仅有1解， 令，可得， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，恒成立，即，所以在上单调递减， 又由，，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求导，由题意得是方程的两个解，即是方程的两个根，得，由得，即，利用对勾函数即可求解. 【详解】令， 则是方程的两个解，也即方程的两个根． 所以有且， 等价于，解得 易知， 而 ， 所以 故答案为： 11．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再求函数的极值，根据函数有3个零点，结合三次函数的单调性和极值，列式求解. 【详解】，得， ，得，，得或， 所以的增区间是，减区间是和， 函数的极小值是，极大值是， 由条件可知函数有3个零点，所以，得. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________． 【答案】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期末）在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在第一象限，表示出圆柱的底面圆半径和母线长，求得圆柱的体积表达式，利用导数分析得出时，圆柱体的体积最大，继而求得其侧面积. 【详解】 如图，设点在第一象限，则有，且. 由椭圆和矩形的对称性，把矩形绕着轴旋转180°得圆柱， 则圆柱的底面圆半径为，母线长为， 于是该圆柱体的体积为：， 将对求导，可得：，由可得， 当时，；当时，， 即在上单调递增；在上单调递减. 故当时，圆柱体的体积最大，此时，. 则圆柱的侧面积为：. 故选：A. 14．（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 15．（24-25高二下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】对于①，由题意，进一步即可判断；对于②，将题目转换为只需证明，即可. 【详解】设，易知， 单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，所以，故①正确； 设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 又，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 下面证明，只需证， 由于，在上单调递减， 即证，即证. 设，， 因为，， 所以在上单调递增，所以， 故，即成立.故②正确. 故选：A 16．（2026高三·上海·专题练习）已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解即可. 【详解】构造，则， 因为导函数满足对于恒成立， 所以，即函数在上单调递减， 即, , ， 故选：C 三、解答题 17．（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解. （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （2）函数的定义域为， 又， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 18．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 19．（24-25高二下·上海·期末）已知 (1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数e为自然对数的底）； (2)根据（1）的结论，判断与的大小关系： 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数的运算法则求出导数，再判断导数值的正负即可. （2）利用（1）的结论，结合对数函数单调性比较大小. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，，则， 所以函数在上是严格减函数. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 即，整理得，即， 又函数在上单调递增，所以. 20．（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3. (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 【答案】(1) (2),,最大值为 【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出的值； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可． 【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形， 所以，解得，即的值为； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为， 其底面积为， 所以三棱柱容器的容积为，； 求导数得，令，解得或（舍去）， 所以时，，单调递增，时，，单调递减； 所以时，取得最大值，为， 所以的最大值为． 21．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知函数. (1)求出函数所有的极值点. (2)设函数的图象上存在两点，满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上. ①证明：，两点在直线的两侧. ②求a的取值范围. 【答案】(1)极小值点为0和1，极大值点为 (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求的单调性，即可得出极值点； （2）①设，根据题意可得，，据此分析两点不能同在的左或右两侧，从而得证； ②由①可得，据此分离参数后知方程在上有解，利用导数，求出方程右边的取值范围即可得解. 【详解】（1），定义域为R， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值点为0和1，极大值点为； （2）①证明：设， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 又以为直径的圆的圆心在轴上，所以 显然两点不能同在直线的右侧，且均不能为1， 假设两点同在直线的左侧，即， 不妨设，易知， 因为，所以， 所以，故， 则， 这与矛盾，所以假设不成立， 故两点在直线的两侧. ②由①可知，两点在直线的两侧， 不妨设，，则，， 由得 则关于的方程在上有解. 令，则， 所以在上单调递增，所以 则解得 故的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $