第01讲 导数的概念及其意义（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（沪教版选择性必修第二册）

第01讲 导数的概念及其意义 知识清单 知识点01：平均变化率 知识点02：瞬时速度与瞬时变化率 知识点03：导数的概念 知识点04：导数的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：平均变化率与瞬时变化率 题型2：导数定义中极限的简单计算 题型3：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 题型4：导数的几何意义及其应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平均变化率 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； 知识点02瞬时速度与瞬时变化率 1.瞬时速度：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数，就是时刻的瞬时速度； 2.瞬时变化率： 就是函数在处的瞬时变化率 知识点03 导数的概念 对于函数，比值的稳定值存在，在时有极限，并把这个极限记作；称为函数在处的导数； 记作；即有； 知识点04 导数的几何意义 （1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线； （2）的几何意义： 是曲线在处的切线的斜率； （3）曲线在处的切线的方程为： ； 题型1：平均变化率与瞬时变化率 【例1-1】（25-26高三上·上海·单元测试）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【例1-2】（24-25高二下·上海·月考）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则______． 【例1-3】（25-26高三上·上海·单元测试）求函数在下列区间上的平均变化率： (1)； (2)以1和为端点的闭区间． 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为_____. 【变式1-3】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动， (1)求其在时间段[1,2]内的平均速度； (2)求其在时的瞬时速度． 题型2：导数定义中极限的简单计算 【例2-1】（25-26高二上·上海·期末）设，则（   ）. A． B．0 C． D． 【例2-2】（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则__________． 【例2-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 【变式2-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则______. 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期末）设函数在处可导，且，则______. 题型3：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·上海松江·月考）若函数的导函数存在，且，则_________. 【例3-3】已知一物体的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求此物体在时的速度． 【变式3-1】（25-26高三上·上海·月考）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【变式3-2】（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知的导数存在，且，则函数在处的导数是__________. 【变式3-3】（2024高二下·全国·专题练习）如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为． (1)当，时，求和； (2)求函数在处的导数． 题型4：导数的几何意义及其应用 【例4-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【例4-2】（24-25高三上·上海·月考）函数在点处的切线方程为______． 【例4-3】（24-25高三·上海·课堂例题）设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【变式4-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则__________. 【变式4-2】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【变式4-3】（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·开学考试）若，则______． 2．（25-26高三上·上海·单元测试）若函数从到的平均变化率为，则实数__________． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是_____. (用含 的代数式表示) 5．（25-26高三上·上海·单元测试）设在定义域内存在导数，且满足，则为________． 6．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 7．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知的图象如图所示，则与的大小关系是________．    8．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为________. 9．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则________. 10．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为___________. 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 12．（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 14．（24-25高三·上海·随堂练习）若，则（    ）． A．2 B． C． D．1 15．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 16．（24-25高三上·上海·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 三、解答题 17．（24-25高三·上海·随堂练习）是否存在常数k，使得直线与曲线相切？若存在，求出常数k的值及切点坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 19．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中， (1)求曲线在，，，处的切线的斜率； (2)说明这些斜率值是如何变化的． 20．已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 21．已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的概念及其意义 知识清单 知识点01：平均变化率 知识点02：瞬时速度与瞬时变化率 知识点03：导数的概念 知识点04：导数的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：平均变化率与瞬时变化率 题型2：导数定义中极限的简单计算 题型3：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 题型4：导数的几何意义及其应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平均变化率 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； 知识点02瞬时速度与瞬时变化率 1.瞬时速度：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数，就是时刻的瞬时速度； 2.瞬时变化率： 就是函数在处的瞬时变化率 知识点03 导数的概念 对于函数，比值的稳定值存在，在时有极限，并把这个极限记作；称为函数在处的导数； 记作；即有； 知识点04 导数的几何意义 （1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线； （2）的几何意义： 是曲线在处的切线的斜率； （3）曲线在处的切线的方程为： ； 题型1：平均变化率与瞬时变化率 【例1-1】（25-26高三上·上海·单元测试）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】代入即可化简求解. 【详解】， 故选：B 【例1-2】（24-25高二下·上海·月考）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则______． 【答案】 【分析】根据平均速度和瞬时速度的知识求得正确答案. 【详解】由题意可知， ∵，∴，∴． 故答案为： 【例1-3】（25-26高三上·上海·单元测试）求函数在下列区间上的平均变化率： (1)； (2)以1和为端点的闭区间． 【答案】(1)4； (2)． 【分析】（1）（2）根据平均变化率的定义直接求解即可. 【详解】（1）由题意得， 即在上的平均变化率为4； （2）由题意得， 在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为． 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，求出函数在区间上的平均变化率，进而可得，解出方程可得的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数在区间上的平均变化率为： ， 所以 . 故选：B. 【变式1-2】（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为_____. 【答案】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动， (1)求其在时间段[1,2]内的平均速度； (2)求其在时的瞬时速度． 【答案】(1)14 (2)6 【分析】（1）由平均速度公式求解； （2）由瞬时速度公式求解． 【详解】（1）在时间段内的平均速度为； （2），把代入可得时的瞬时速度为. 题型2：导数定义中极限的简单计算 【例2-1】（25-26高二上·上海·期末）设，则（   ）. A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. 【例2-2】（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则__________． 【答案】2 【分析】由导数得定义计算即可. 【详解】因为，所以， 即. 故答案为：2. 【例2-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 【答案】 【分析】利用导数的定义直接求解即可. 【详解】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 【变式2-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则______. 【答案】3 【分析】首先代入公式，根据极限的计算法则，即可求解. 【详解】， . 故答案为：3 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期末）设函数在处可导，且，则______. 【答案】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据导数的定义可知：. 故答案为：3. 题型3：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可得： ． 故选：D. 【例3-2】（24-25高二下·上海松江·月考）若函数的导函数存在，且，则_________. 【答案】4 【分析】根据导数的概念可得答案. 【详解】函数的导函数存在，且. 即. 故答案为：4 【例3-3】已知一物体的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求此物体在时的速度． 【答案】. 【分析】根据导数的定义，可求出. 【详解】因为，， 根据导数的概念可得，，即. 所以，， 所以此物体在时的速度是． 【变式3-1】（25-26高三上·上海·月考）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【答案】1 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 【变式3-2】（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知的导数存在，且，则函数在处的导数是__________. 【答案】 【分析】根据题意，由极限的性质可得，结合导数的定义可得答案. 【详解】因为的导数存在，且， 所以函数在处的导数是， 故答案为： 【变式3-3】（2024高二下·全国·专题练习）如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为． (1)当，时，求和； (2)求函数在处的导数． 【答案】(1)， (2)48 【分析】（1）由平均变化率公式计算即可; （2）由导数的定义计算即可. 【详解】（1）， 故当，时，，． （2）由（1）得， 故函数在处的导数是48． 题型4：导数的几何意义及其应用 【例4-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 【例4-2】（24-25高三上·上海·月考）函数在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 【例4-3】（24-25高三·上海·课堂例题）设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】2 【分析】求出曲线在点处的切线斜率，可得切线方程，求出A，B坐标，即可求得答案. 【详解】点处的切线的斜率， 故切线方程为，即， 令，，则, 令，，则，则. 【变式4-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则__________. 【答案】 【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得. 【详解】由图象可知直线过， 所以直线的斜率为， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案. 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【答案】或 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可列方程，即可求得答案. 【详解】设切点坐标为，则， 曲线在点P的切线与直线平行， 则切线斜率为 ， 则；当时，；当时，， 所以切点坐标为或. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·开学考试）若，则______． 【答案】 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】由于， 所以. 故答案为： 2．（25-26高三上·上海·单元测试）若函数从到的平均变化率为，则实数__________． 【答案】 【分析】根据平均变化率的定义直接列方程求解即可. 【详解】因为函数从到的平均变化率为， 所以，解得. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是_____. (用含 的代数式表示) 【答案】 【分析】由平均变化率的概念即可求解. 【详解】函数 在 到 之间的平均变化率是 . 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·单元测试）设在定义域内存在导数，且满足，则为________． 【答案】－1 【分析】由导数的定义求解． 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为： 6．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 【答案】 【分析】根据导数的定义和几何意义即可求解. 【详解】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知的图象如图所示，则与的大小关系是________．    【答案】 【分析】利用导数的几何意义,根据图形中函数图象在点处的切线下降和陡峭程度判断即可. 【详解】和分别表示函数图象在点处的切线斜率，    由图知: 函数图象在点处的切线斜率均为负，且处切线更陡， 所以， 所以． 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为________. 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 9．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则________. 【答案】 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为___________. 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增. 当时，函数在处的切线与轴垂直. 所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需. 由，又，所以. 所以. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 14．（24-25高三·上海·随堂练习）若，则（    ）． A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 15．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由题意可知， . 故选：D. 16．（24-25高三上·上海·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 三、解答题 17．（24-25高三·上海·随堂练习）是否存在常数k，使得直线与曲线相切？若存在，求出常数k的值及切点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，， 【分析】设切点的横坐标为，利用导数的定义求解. 【详解】解：假设存在，设切点的横坐标为，， 所以，所以切点坐标为， 所以，解得． 18．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 19．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中， (1)求曲线在，，，处的切线的斜率； (2)说明这些斜率值是如何变化的． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的定义求解； （2）利用一次函数的性质求解. 【详解】（1）解：因为， 所以，，，； （2）因为在上单调递增，所以随着x的增大，斜率也增大． 20．已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据体积公式，求解出. （2）根据平均变化率的定义代入求解即可； 【详解】（1）∵ ∴， ∴，即. （2）函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为≈0.62(dm/L)， 函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为≈0.16(dm/L). 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢. 21．已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $