专题01：导数的切线问题 （重难点篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题01 导数的切线问题 1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2、曲线的切线问题（基础题） （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 4、已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 题型1：求切线的斜率 【例1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）曲线在点处的切线斜率为 . 【例2】（2024上海复旦附中高二月考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2023上海课时练习）若曲线在点处切线的斜率为___________. 2．（2023上海课时练习）函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2023上海课时练习）函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型2：在点型切线方程 求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简． 【例3】（2023下·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考开学考试）曲线在点处的切线方程． 【例4】（23-24高二下·上海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 【例5】（2023上海课时练习）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 2．（24-25七宝中学高二练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为___ 3.（2023春•金山区校级期末）已知函数的图象过点，且（2）． （1）求，的值； （2）求曲线在点，（1）处的切线方程． 题型3：过点型切线方程 求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程． 【例6】（2023下·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【例7】（2024上海课时练习）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】 1．（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 2.（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 3.（2024上海课时练习）已知曲线，曲线过点的切线方程. 4．（2024上海课时练习）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 题型4：已知切线方程（斜率）求参数 已知切线或切点求参数问题，核心是切点，根据切点可以把曲线、切线、切点的三个关系联系起来，列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 【例8】（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【例9】（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 . 【跟踪训练】 1．（2023下·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为 ． 2.（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 3．（2024上海课时练习）已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 3．（2024上师大附中校考阶段练习）已知曲线在点处的切线方程为，则_____ 题型5：过点切线条数 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 【例10】（2024上海课时练习）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为(   ) A．3 B．0 C．1 D．2 【例11】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【例12】（2024徐汇中学高二期末）若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例13】（2024上师大附中开学考试）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.经过点作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024上海课时练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024上海课时练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D．且 题型6：两条切线垂直平行问题 【例14】（2023·上海·高二专题练习）函数在点处的切线与直线平行，则实数 ． 【例15】若曲线存在垂直于轴的切线， 则实数的取值范围是 . 【例16】函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 2.函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型7：公切线问题 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. 公切线问题基本步骤： 1.设两切点，求出两切点对应的斜率,且=。 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 【例17】（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【例18】（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【例19】（2024上海课时练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例20】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时练习）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 2.已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数 若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围. 4．（2024上海课时练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当时，可作两条切线，则b的值为 B．当，时，可作两条切线 C．当，时，有且仅有一条切线 D．当时，可作三条切线，则 题型8：切线斜率或倾斜角范围问题 【例21】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【例22】（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 【跟踪训练】 1.（2022·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围． 2.（2024上海课时练习）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______. 题型9：奇偶函数切线问题 求奇偶函数在某点的切线方程，有两种常见的方法： 1.根据奇偶性求出对称区间的解析式，然后再利用该解析式求导求斜率。 2.根据奇偶函数的性质，奇函数在对称点处的切线斜率相同，偶函数在对称点的切线斜率相反，求出斜率后利用点斜式方程求切线方程 【例23】（2024·上海金山·二模）设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【例24】（2022秋·福建·高二福建师大附中校考阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___． 【跟踪训练】 1．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春•黄浦区期末）设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点，（2）处的切线方程为　　． 题型10：与切线方程有关的距离问题 【例25】（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【例26】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 2．（23-24高二下·天津·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是 ． 题型11：与切线有关的新定义问题 【例27】若以曲线上任意一点为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y＝x3－x ②y＝x+ ③ ④y＝(x－2)2＋ln x 【例28】若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（ ） A． B． C． D． 【例29】已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由. （3）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值. 【例30】若对任意的实数、，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． （1）判断函数是否为“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，求实数、满足的关系式； （3）若函数是“恒切函数”，求证：. 【例31】（2023春•浦东新区校级期末）定义：若曲线和曲线有公共点，且在处的切线相同，则称与在点处相切． （1）设，．若曲线与曲线在点处相切，求的值； （2）设．若圆与曲线在点在第一象限）处相切，求的最小值； （3）若函数是定义在上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立．是否存在点，使得曲线和曲线在点处相切？证明你的结论． 【例32】（2023春•浦东新区校级期末）给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”．记函数所有“正交点”所组成的集合为． （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 一、填空题 1.函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式） 2.已知曲线在点处的切线方程为，则___________. 3.已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 4.函数在点处的切线方程为___________. 5.已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为___． 6.已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________. 7.知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 8.过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________． 9.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 10.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 11.过点作曲线的切线，则切线方程是__________． 12．直线与曲线相切，则 ． 13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 14.已知直线与曲线相切，则的最小值为 15.已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 16．直线与曲线相切于点，则 ． 17.已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 18.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　． 19.若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ． 20.若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为　 ． 21.若曲线与存在公共切线，则实数的取值范围是　 　． 22．已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 23.函数与有公切线，则实数的值为__________． 24.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是_________. 25.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 27.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 28.若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 . 29.已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 30.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__ 31.已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 32.已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________ 33.已知实数，且函数，则函数的最小值为 ． 34.已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为_____ 35.已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若,求a； （2）求a的取值范围． 36.已知，． （1）若1为函数的驻点，求实数的值； （2）若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由； （3）若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点，处的切线与过两点，、，的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题01 导数的切线问题 1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2、曲线的切线问题（基础题） （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 4、已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 题型1：求切线的斜率 【例1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）曲线在点处的切线斜率为 . 【答案】 【详解】因为，则， 可知曲线在点处的切线斜率. 故答案为：. 【例2】（2024上海复旦附中高二月考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将代入可求出，然后将代入导函数中可求得结果. 【详解】设切点为，由，得 所以切线方程为，即， 将代入得，解得， 所以切线的斜率为.故选：C 【跟踪训练】 1.（2023上海课时练习）若曲线在点处切线的斜率为___________. 【答案】-9 【分析】令，利用导数的几何意义得出的值. 【详解】令， 则 所以， ，当时， 2．（2023上海课时练习）函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解. 【详解】因为函数， 则， 所以，也即函数在处切线的斜率， 故选：. 3.（2023上海课时练习）函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为R，， 又在点处的切线斜率为，∴， ∴， 当且仅当，即，时，“”成立， ∴的最小值为. 故选：C． 题型2：在点型切线方程 求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简． 【例3】（2023下·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考开学考试）曲线在点处的切线方程． 【详解】因为，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即； 【例4】（23-24高二下·上海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】直接计算得到，，然后使用切线的定义即可. 【详解】由，知. 所以，，故所求切线是经过点且斜率为的直线，即. 故答案为：. 【例5】（2023上海课时练习）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2023春•金山区校级期末）已知函数的图象过点，且（2）． （1）求，的值； （2）求曲线在点，（1）处的切线方程． 【分析】（1）根据方程思想，即可求解； （2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解． 【解答】解：（1）， ， 又函数的图象过点，且（2）， ， 解得； （2）由（1）知，， （1），（1）， 曲线在点处的切线方程为： ，即． 【点评】本题考查导数的几何意义，方程思想，利用导数求切线，属基础题． 2．（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】直接求导得，代入求得斜率即可. 【详解】由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 3．（24-25七宝中学高二练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C. 题型3：过点型切线方程 求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程． 【例6】（2023下·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【答案】 【详解】设切点坐标为， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为. 故答案为:. 【例7】（2024上海课时练习）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【解答过程】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，. ②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为. ∵A在曲线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或 (舍去)， ∴，k=3， 此时切线方程为y+1=3(x+1)， 即. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到， 解得，所以切线方程为． 故答案为: . 2.（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程. 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到， 解得，所以切线方程为．故答案为: . 3.（2024上海课时练习）已知曲线，曲线过点的切线方程. 【解析】 设切点为，则切线斜率， 切线方程为 切线过点 解得或， 则切线方程为或. 【点拨】 ① 本题点不一定是切点，故可先设切点，利用“在某点处的切线”方法求出含参数的切线方程，再把点代入求出，进而容易得到切线方程; ② 如何求解方程？ 方法一 拆项分组因式分解 或 方法二 待定系数法 先由方程特点猜出有一个解是,则可知是的因式， 设，把右式展开易得， 则 或 4．（2024上海课时练习）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【答案】或或(写出其中一条即可) 【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 题型4：已知切线方程（斜率）求参数 已知切线或切点求参数问题，核心是切点，根据切点可以把曲线、切线、切点的三个关系联系起来，列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 【例8】（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 【例9】（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，列式即可求解. 【详解】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2023下·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 则，由处的切线方程为， 得切线的斜率为，所以，得， 所以，当时，，所以切点为， 将代入切线方程得：， 解得，所以. 故答案为： 2.（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】设切点为，则由题意得，解方程组可求得的值. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得， 所以，， 所以，所以. 故答案为： 3．（2024上海课时练习）已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 【答案】2 【分析】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】设切点为，由求导得， 因直线与曲线相切, 则， 解得，则， 而切点在直线上，即，于是得， 因此，，当且仅当时取“”， 所以当时，取最小值2 . 故答案为：2. 3．（2024上师大附中校考阶段练习）已知曲线在点处的切线方程为，则_____ 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出，再由切点坐标，即可求出结果. 【详解】因为的导数为， 又函数在点处的切线方程为， 可得，解得， 又切点为，可得，即. 故答案为：. 题型5：过点切线条数 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 【例10】（2024上海课时练习）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为(   ) A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案. 【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（）， 由，可得，则切线的斜率， ∴，解得或，故切线有2条.故选:D． 【例11】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 【例12】（2024徐汇中学高二期末）若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C ，设切点， 所以在点处的切线方程为，因为切线过点， 所以，整理为， 即，设， ， 当时，，当或时，， 所以函数在区间单调递减，在区间和单调递增， 所以函数的极大值是，函数的极小值是，若函数与有3个交点，则，即. 故选：C 【例13】（2024上师大附中开学考试）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为， ，切线斜率，在点处的切线方程为：； 切线过点，， 过点可以作曲线的两条切线， 令，则与有两个不同交点， ， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增， ，，即， 又，. 故选：C. 【跟踪训练】 1.经过点作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】因为， 设切点为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得即：或， 所以，此时，切点为； 或 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条. 故选：C. 2．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解法一  由，得．设切点坐标为， 则切线方程为， 把代入可得，即， 因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条． 解法二  由，得，令，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，且，则点在曲线的下方， 数形结合可知，过点可作曲线的2条切线． 故选：B 3．（2024上海课时练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性求得函数的极值，即可得到的取值范围. 【详解】由已知：，故，设切点为 根据导数的几何意义，知切线斜率为，切线方程为, 将点坐标代入切线方程可得 化简可得 即函数与函数有三个不同的交点. 故， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 则当时，有极小值， 当时，有极大值. 所以的取值范围为. 故选：D. 4．（2024上海课时练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D．且 【答案】D 作出的图象，由图可知， 若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外， 设切点为，所以，， 所以切线斜率为， 整理得，即方程在上有两个不同的解， 所以，， 所以且. 故选：D． 题型6：两条切线垂直平行问题 【例14】（2023·上海·高二专题练习）函数在点处的切线与直线平行，则实数 ． 【答案】5 【详解】∵，则， ∴， 若切线与直线平行，则，解得. 故答案为：5. 【例15】若曲线存在垂直于轴的切线， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导后，将问题转换为函数方程有解问题、参变分离即可得解. 【解析】， 由题意曲线存在垂直于轴的切线， 所以在上有解，即在上有解， 而在上的值域为， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【例16】函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可. 【解答过程】由， 不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且 若，则恒成立，不符合题意，可排除A项； 所以，此时易知单调递增， 要满足题意则需. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、已知直线垂直求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【详解】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 2.函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 或 设切点横坐标为，所作切线斜率为，则， 当时，，故不存在； 当时，满足：. 所以：. 故选：C. 题型7：公切线问题 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. 公切线问题基本步骤： 1.设两切点，求出两切点对应的斜率,且=。 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 【例17】（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【分析】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点． 对于函数，则， 解得或（舍去）． 所以，即． 对于函数， 则， 整理得，所以，故． 故选：C. 【例18】（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 【例19】（2024上海课时练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数a的最大值为， 故选：A． 【例20】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________． 【答案】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，有，整理得，构造函数，利用导数研究的单调性，结合图像即可得出结果. 【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为， 则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，， 对应的切线方程分别为、， 即、，所以，得，有， 则，整理，得， 设，则，， 令，令或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点， 又，且，如图，所以，解得.故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2024上海课时练习）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，上的切点分别为，， 由，，可得， 故在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 由已知, 所以， 故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为. 故答案为：. 2.已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 3.已知函数 若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围. 【答案】. 【详解】设曲线上切点，则切线斜率为，方程为， 依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根， 而，则，且，即有， 由公切线有两条，得关于的方程:有两个不同的实数解， 令，则与的图象有两个交点， 由，求导得，由，得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 因此，函数的图象如图， 观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以a的取值范围是. 4．（2024上海课时练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当时，可作两条切线，则b的值为 B．当，时，可作两条切线 C．当，时，有且仅有一条切线 D．当时，可作三条切线，则 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择. 【详解】设过点的切线与曲线的切点为，又，故过点的切线方程为： ，则，整理得：； 令，则，且当时，，当时，； 对A：当时，显然在单调递减，在单调递增，在单调递减，又， 若过点可作两条切线，则或，故错误； 对：当， 恒成立且不恒为零，故在上单调递减， 则当时，有且仅有一条切线，故错误； 对：时，，在单调递减，在单调递增，在单调递减，且， 故当时，有两个根，可做两条切线，故错误； 对：当时，由可知，若要做三条切线，则有三个根，则， 即，故D正确. 故选：D. 题型8：切线斜率或倾斜角范围问题 【例21】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数，可得， 因为，所以，即切线的斜率， 设切线的倾斜角为，则 又因为，所以或， 即切线的倾斜角的范围为. 故选：B. 【例22】（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 【答案】 【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解． 【详解】由已知得， 由得． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.（2022·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围． 【答案】 【分析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围 【详解】函数的导数为． 因为，所以， 所以，即；因为，所以，即． 2.（2024上海课时练习）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出函数的导数，根据函数导数的几何意义，可求得斜率，进而求得倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为 故答案为： 题型9：奇偶函数切线问题 求奇偶函数在某点的切线方程，有两种常见的方法： 1.根据奇偶性求出对称区间的解析式，然后再利用该解析式求导求斜率。 2.根据奇偶函数的性质，奇函数在对称点处的切线斜率相同，偶函数在对称点的切线斜率相反，求出斜率后利用点斜式方程求切线方程 【例23】（2024·上海金山·二模）设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由奇函数定义求出，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. 【详解】函数是奇函数，则恒成立， 而不恒为0，因此，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 【例24】（2022秋·福建·高二福建师大附中校考阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___． 【答案】 【分析】由偶函数求时的解析式，并写出导函数，进而求、，写出切线方程即可. 【详解】若，则，由是偶函数，得， ∴时，，而此时的，即， ∴曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程 【详解】，函数为奇函数，有，即， 故，即， 所以，所以，，， 所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：. 故选：A. 2．（2023春•黄浦区期末）设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点，（2）处的切线方程为　　． 【分析】先由求导公式求出，根据偶函数的性质，可得，从而求出的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程． 【解答】解：， ， 是偶函数， ， 解得， ，，则（2），（2）， 即切点为，切线的斜率为9， 切线方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题． 题型10：与切线方程有关的距离问题 【例25】（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据、图象分析最小时P的位置，利用导数几何意义求上斜率为1的切线，应用平行线距离公式求的最小值. 【详解】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点， 令，可得，故切点为， 以为切点平行于的切线为，此时有. 故选：A 【例26】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解. 【详解】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：    则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题. 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 2．（23-24高二下·天津·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】导数的加减法、求点到直线的距离、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】首先分析函数的图象，再利用导数的几何意义，转化为点到直线的距离. 【详解】，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取值最小值， 如图画出函数和直线的图象，    如图，平移直线至与的图象相切时，此时切点到直线的距离为的最小值， 此时，得，，即， 所以点到直线的距离. 故答案为： 题型11：与切线有关的新定义问题 【例27】若以曲线上任意一点为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y＝x3－x ②y＝x+ ③ ④y＝(x－2)2＋ln x 【解析】本题的本质是，当时总能成立时，则称曲线具有“可平行性”.对于①，由可得，因，所以，但是当时，得，此方程无解，所以①不具有“可平行性”；对于②，由，当时可得，只需互为倒数即可，所以②具有“可平行性”；对于③，由，即，当时可得，任给一个的值，总可得到一个不同于的值，所以③具有“可平行性”； 对于④，由，当时可得，但是如果，则，此与矛盾，所以④不具有“可平行性”，综上故答案填②③. 【例28】若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等. 对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合； 对于B选项，函数为偶函数，， 令，可得或，如下图所示： 由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合； 对于C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合； 对于D选项，，设两切点得横坐标分别为和， 则，所以，取，，则，， 两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为， 所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合. 故选：BD. 【例29】已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由. （3）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）函数的定义域为， . 令可得或，，则. 由，可得或.则的单调递增区间为和； （2）假设函数存在“中值相依切线”，， ， 由题设条件，有，即，即， 不妨设，设，可得， 构造函数，其中，则， 所以，函数在区间上为增函数，则， 即方程在上无解，因此，函数不存在“中值相依切线”； （3）当时，，即恒成立， 时显然恒成立，只需考虑， 即恒成立，即， 令，则，，则，， 当时，，所以，函数在上为增函数， 所以，，即，则恒成立. 令，其中，则，单调递减， 则，则. 综上所述，的最大值为. 【例30】若对任意的实数、，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． （1）判断函数是否为“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，求实数、满足的关系式； （3）若函数是“恒切函数”，求证：. 【解析】（1）根据题意，若函数为“恒切函数”，切点为， 则，即， 对于函数，，，解得.因此，函数是“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，设切点坐标为， 则，则有，可得，解得， 故实数、满足的关系式为； （3）根据题意，函数是“恒切函数”，设切点为， 又由，可得， 则有，即，考查方程的解， 设，，令，得. 当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. . （i）当时，，， 所以，函数在区间上存在唯一零点. 又； （ii）当时，，函数在区间上有唯一零点，则 综上所述，. 【例31】（2023春•浦东新区校级期末）定义：若曲线和曲线有公共点，且在处的切线相同，则称与在点处相切． （1）设，．若曲线与曲线在点处相切，求的值； （2）设．若圆与曲线在点在第一象限）处相切，求的最小值； （3）若函数是定义在上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立．是否存在点，使得曲线和曲线在点处相切？证明你的结论． 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义进行求解即可； （2）设出切点坐标，利用导数和几何意义结合圆的切线性质，建立函数关系，再利用导数求函数最小值进而可解； （3）假定存在点，满足题意，利用导数的几何意义结合同角公式导出矛盾作答． 【解答】解：（1）已知，， 因为曲线与曲线在点处相切， 不妨设，， 易得，， 所以， 解得， 又， 所以， 解得； （2）因为圆与曲线在点在第一象限）处相切， 不妨设切点，， 因为，函数定义域为， 易得， 此时切线的斜率为， 因为圆心，直线的斜率为， 其满足， 整理得， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 则当时，的最小值为； （3）假设存在点，满足条件， 此时， 对函数求导， 可得， 所以， 即， 对方程两边同时平方得 ， 整理得， 即， 整理得， 其恒有成立， 则， 可得， 易知， 所以， 即 与 恒成立矛盾， 所以假设不成立， 即不存在点满足条件． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及导数的几何意义；考查了逻辑推理、数学运算等能力． 【例32】（2023春•浦东新区校级期末）给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”．记函数所有“正交点”所组成的集合为． （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）假设存在“正交点”，可得存在两条相互垂直的切线，对函数进行求导，根据，即可判断集合是否为空集； （2）设“正交点” ，是在和处的切线的交点，对函数进行求导，得到在和处的切线方程，将两切线方程联立，根据两条切线互相垂直，列出等式即可求证； （3）根据，得到不存在图像上的点，使得该点是“正交点”，先证对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点，再利用反证法可得存在切线，切线与函数图像交于点，其相互矛盾，则该点本身一定是切点．设，，，处切线互相垂直，是两条切线的交点，结合（2）中所得信息以及两条相互垂直的直线的斜率之积为得到，利用换元法，令，得到方程对无解，构造函数，结合二次函数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）假设存在“正交点”， 此时存在两条相互垂直的切线， 不妨设为和处的切线， 因为，函数定义域为， 可得， 所以， 则不存在“正交点”，所以． （2）证明：设“正交点” ，是在和处的切线的交点， 因为，函数定义域为，、 可得， 所以在和处的切线方程为：，， 联立， 解得， 因为两条切线互相垂直， 所以， 则， 故的所有“正交点”在一定直线上． （3）因为， 所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”， 对任意的实数，若图像上的点是“正交点”， 则该点本身一定是切点， 假设该点，不是切点， 则存在切线， 该切线与函数图像交于点， 所以， 整理得， 因为， 所以， 同理可得， 则， 所以两条切线重合，矛盾， 则该点本身一定是切点． 设，，，处切线互相垂直， 不妨令是两条切线的交点， 因为， 所以， ， 又， 所以， 即， 令， 此时， 因为图像上的点都不是“正交点”，也即不存在这样的点， 所以方程对无解， 不妨设， 该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以当时，取得最小值， 要使得无解， 此时， 解得． 故实数的取值范围为． 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 一、填空题 1.函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式） 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以在处的切线方程为，整理得， 故答案为：. 2.已知曲线在点处的切线方程为，则___________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可得，根据切点坐标可得，列方程求解． 【详解】，则 ∵在点处的切线方程为 ∴可得，解得则故答案为：． 3.已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而可求出切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解析】由，得， 切线的斜率为， 因为， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . 故答案为： 4.函数在点处的切线方程为___________. 【答案】 易知，又，所以切线的斜率， 所以函数在点处的切线方程为， 化简得. 故答案为： 5.已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为___． 【答案】 因为， 所以，， 所以切线方程为：，即， 故答案为： 6.已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________. 【答案】 解：设切点坐标为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为 又直线l过点， 所以， 整理得，解得， 所以， 直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 故答案为：. 7.知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程. 【详解】设切点坐标为，由，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为.故答案为:. 8.过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________． 【答案】 【分析】可设切点的坐标为 , 求出函数的导数, 由导数的几何意义可得切线的斜率，又由切线经过原点，从而可得切线方程，将切点代入即可解可得的值，从而得出答案. 【详解】由题意得，设切点的坐标为，的导数， 则有，即切线的斜率， 又因为切线经过原点，设切线方程为， 将切点代入得，化简得，所以. 故答案为：. 9.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【答案】 【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案. 【详解】时，，设切点， 则， 切线过， ， ， 时，，切点， ， 切线过， ， ， 故. 故答案为：. 10.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【答案】【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案. 【详解】时，，设切点，则，切线过， ，，时，，切点， ，切线过，，， 故.故答案为：. 11.过点作曲线的切线，则切线方程是__________． 【答案】 【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案. 【详解】函数定义域为，， 设切点为，， 所以切线方程为， 代入，得， 解得：，所以切线方程为， 整理得：．故答案为： 12．直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【解析】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 【答案】/ 【详解】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 14.已知直线与曲线相切，则的最小值为 【答案】1 或 由，知定义域为， 设切点为，，， 所以，故切点为，代入直线方程， 则， ， 令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 故的最小值为1. 15.已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 【答案】2 【分析】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】设切点为，由求导得， 因直线与曲线相切, 则， 解得，则， 而切点在直线上，即，于是得， 因此，，当且仅当时取“”， 所以当时，取最小值2 . 故答案为：2. 16．直线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【解析】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 17.已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 18.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　． 【解析】设直线与和的切点分别为()和()， 则切线分别为，， 化简得：，， 依题意有：， 由方程①得，代入方程②解得， 则． 故答案为：． 【点拨】先分别求出两条切线，由于是公切线，所以它们是同一直线，两切线的斜率和轴上的截距相等. 19.若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知，，， 设与曲线相切的切点为，与相切的切点为， 则有公共切线斜率为，则，， 又，，可得， 即有，即， 可得，， 设，，， 可得时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，, 可得处取得极大值，且为最大值， 则正实数a的取值范围， 故答案为： 20.若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为　 ． 【答案】 【解析】f(x)=x2+1的导数为f′(x)=2x，g(x)=aex+1的导数为g′(x)=aex， 设公切线与f(x)=x2+1的图象切于点(x1，x12+1)， 与曲线C：g(x)=aex+1切于点(x2，aex2+1)， ∴2x1=aex2， 化简可得，2x1，得x1=0或2x2=x1+2， ∵2x1=aex2，且a>0，∴x1>0，则2x2=x1+2>2，即x2>1， 由2x1=aex2，得a， 设h(x)(x>1)，则h′(x)， ∴h(x)在(1，2)上递增，在(2，+∞)上递减， ∴h(x)max=h(2)， ∴实数a的取值范围为(0，]， 故答案为：． 21.若曲线与存在公共切线，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 (－∞，0)∪(0，2e] 【解析】y=alnx在点(n，alnn)(n>0)的切线斜率为，切线方程为：y－alnn(x－n)， 因为切线方程也是曲线y=x2的切线方程， 所以x2－alnn(x－n)，可得△0，可得a=4(1－lnn)n2， 令f(n)=4(1－lnn)n2，(n>0)， 可得f′(n)=4n(1－2lnn)，当n∈(0，)时，f′(n)>0，函数是增函数， 当n∈(，+∞)时，f′(n)＜0，函数是减函数，所以f()=2e是函数的最大值， 所以a∈(－∞，0)∪(0，2e]． 22．已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【解析】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 23.函数与有公切线，则实数的值为__________． 【答案】4 根据题意，函数与有公切线， 设切点分别为，，，， ； 所以且， 所以公切线为， 则有， 设， 则在 上递增， 又，故，， 故答案为：4 24.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是_________. 【答案】 设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即. ∴正实数的取值范围是. 故答案为：. 25.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出. 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 27.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】由题可得曲线在处的切线，然后设切线与曲线相切的切点为，利用两条切线相同可得答案. 【详解】设，则，， 所以曲线在点处的切线方程为, 化为． 设，则， 又设切线与曲线相切的切点为， 由题，得，解得，则切点为． 因为切点在切线上，则． 故答案为： 28.若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，上的切点分别为，， 由，，可得， 故在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 由已知, 所以， 故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为. 故答案为：. 29.已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 【答案】9 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由，得. 又∵直线l的斜率为，∴. 又点在直线和曲线上，∴. 联立①②可得，故直线l的方程为. 设直线与曲线相切于点.由，得. 又∵直线l的斜率为3，. 又点在直线和曲线上，∴ 联立，解得，. 故答案：9. 30.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__ [解析]　当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时， f ′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 31.已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求平面两点间的距离、求点到直线的距离、距离新定义 【分析】依题意求出的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为. 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以当与垂直时，取得最小值为4， 因此两点到的距离都为2. 过点作切线平行于直线，斜率为1，由，得， 可得，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 32.已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________ 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】函数上任意一点的坐标为，过该点的切线为， 当直线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由， 所以直线的方程为， 因此函数上的任意一点到直线的距离的最小值为， 故答案为： 33.已知实数，且函数，则函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用两点间的距离公式求函数最值、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意可得的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和，其中点在曲线上，点在抛物线上，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由题意得， 设，， 则点在曲线上，点在抛物线上， 的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和． 设抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义知， 所以， 所以， 问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值， 设曲线上的点，到点的距离最小， 则与曲线在点处的切线垂直， 即， 所以， 作出函数与函数的图象，如图所示： 由图象知，两函数图象只有一个交点， 所以方程的解为，则． 所以， 所以函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：将看作是，两点间距离与点到轴的距离之和，利用抛物线的性质求解. 34.已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，∴． 又∵切点在直线上， ∴，解得．∴． 令，则，， 令，解得：；令，解得：； 可得在上单调递增，在上单调递减， 时，，时，， 当趋近负无穷时，趋近，；， 故的取值范围为． 故选：B． 35.已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若,求a； （2）求a的取值范围． 【解析】（1）由题意知,,,, 则在点处的切线方程为,即, 设该切线与切于点,,则,解得,则,解得. （2）因为,所以在点处的切线方程为,整理得, 设该切线与切于点,,则, 则切线方程为,整理得, 则,整理得, （另法：求出在点处的切线方程后代入解析式,用求解） 令,则,令,解得或, 令,解得或,则变化时,的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为,故的取值范围为. 36.已知，． （1）若1为函数的驻点，求实数的值； （2）若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由； （3）若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点，处的切线与过两点，、，的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由已知可得出（1），可求得的值； （2）由变形可得，利用零点存在定理判断出函数在区间上存在零点，即可得出结论； （3）假设存在满足条件的等差数列、、符合题意，根据导数的几何意义可得出，整理可得即，令，设，利用导数分析函数的单调性，由此分析函数在上函数值的符号，即可得出结论． 【解答】解：（1）因为，其中， 则， 因为1为函数的驻点，则（1），可得， 所以1为函数的驻点时． （2）当时，，则， 令，整理可得， 令，因为，（1）， 且函数在上连续，由零点存在定理可知，存在，使得， 即方程在时有实根， 故当时，曲线上存在切线与直线互相垂直． （3）当时，，则， 假设存在等差数列、、， 使得曲线在点，处的切线与过两点，、，的直线互相平行， 则， 过两点，、，的直线的斜率为 ， 令，即， 可得，即， 令，设，则， 所以，函数在上为增函数，则（1）， 故等式不成立， 因此，不存在等差数列、、， 使得曲线在点，处的切线与过两点，、，的直线互相平行． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$