专题01：导数的概念及其意义（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题01 导数的概念及其意义 知识点01 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的概念 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则 (1)自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)因变量的改变量Δy＝y2－y1； (3)f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为＝. 2．平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位． 3．平均变化率的几何意义 ＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率． 4．平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段时间内的平均速度为(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 知识点02 　函数在某点处的导数 1．瞬时变化率 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. (2)“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，→k，或者写成 ＝k，即f′(x0)＝ . 知识点03 导数的几何意义 1．导数的几何意义 如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x))，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一点，割线AB的斜率是＝，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率． 这就是说，f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 1.切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 2.函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 题型01 平均变化率 【例1】（2024浦东模范中学月考）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由平均变化率定义可得. 【详解】平均变化率为. 故选：C. 【例2】（2023上海中学月考）如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【解题思路】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢，可判断出结果. 【解答过程】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小， 所以在区间上的平均变化率由大变小，即． 故选：A. 【跟踪训练】 1.（2024延安中学期中考试）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案. 【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，， 则，，， 由题中图象知，即． 故选：B. 题型02：瞬时变化率与瞬时速度 【例3】（2024-2025上海高二期中）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题可知时该质点的瞬时速度为 ． 故选：A. 【例4】（2024闵行区期末）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为　　． 【分析】求导函数，令其值为，即可求得结论． 【解答】解：，， 令，则，， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1．（2022·23高二下·上海静安·期末）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系， 所以，令，得. 故选：A 2. （2023春•金山区期末）一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由导数的物理意义得，将代入得，解得. 故选：C. 3．（2023春•静安区期末）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 【分析】可求出导函数，然后求出时的导数即可． 【解答】解：， 时，． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题． 4．（2023春•杨浦区校级月考）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可． 【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△， 所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△． 故选：． 【点评】本题考查了瞬时变化率，属于基础题． 题型03：导数的概念 【例5】（23-24高二下位育中学期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 【例6】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D． 【跟踪训练】 1.（2023春•普陀区期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 故 故选：B 2．（2023春•浦东新区校级期末）若函数在处导数为，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 题型04：导数的几何意义 【例7】（2023春•黄浦区期末）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．165° 【答案】B 【解析】， ， 所以在点处切线的斜率为， 故切线的倾斜角为45°. 故选：B 【例8】（2024春•静安区期末）已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 解析：选C　∵点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1， ∴在点P处的切线的倾斜角为135°. 【例9】（22-23高三七宝中学开学考试）写出曲线过点的一条切线方程 ． 【答案】或（写出其中的一个答案即可） 【知识点】求过一点的切线方程、求已知函数的极值 【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程. 【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 因为当或时，；当时，， 所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意． 故答案为：或（写出其中的一个答案即可） 【例10】（2023春•徐汇区期末）为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量与时间的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图像的编号） 【答案】② 【详解】曲线在每一时刻的斜率代表在该时刻运煤效率，运煤效率逐步提高说明斜率越来越大， 即增加的越来越快，符合条件的只有②， 故答案为：②. 【跟踪训练】 1.（2024春•宝山区校级期中）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C 2．（2024春•宝山区校级期中）函数的图像在点处的切线的倾斜角为 　　． 【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可． 【解答】解：因为，所以， 则， 设直线的倾斜角为，则，， 又， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 3.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 题型05：利用图象理解导数的几何意义 【例11】（23-24高二下·格致中学期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【详解】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B 【跟踪训练】 1.（2024春•宝山区校级期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解. 【解答过程】依次作出函数在处的切线，如图所示 根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，． 故选：B. 2．（2023松江区期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知函数在点处的切线斜率小于0，即； 在点处的切线斜率等于0，即， 在点处的切线斜率大于0，即， 所以. 故选：B. 一、填空题 1．（2023-2024大同中学高三单元测试）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【解析】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 2.（25-26高三上·上海·单元测试）一物体的运动方程是，则在内的平均速度为 ． 【答案】4.1 【知识点】平均变化率 【分析】根据题意结合平均速度的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：在内的平均速度为. 故答案为：4.1. 3.（25-26高三上·上海·单元测试）函数在区间上的平均变化率等于____ 【知识点】平均变化率 【分析】代入即可化简求解. 【详解】， 4．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可． 【解析】解：函数的导数， 当时，， 即质点在时的速度为， 故答案为：． 5.（22-24七宝中学高三期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为______ 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值 【分析】对运动方程求导，根据导数的意义，将代入导函数即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 所以该机器人在时刻时的瞬时速度为， 6.（23-24高二下·上海·阶段练习）极限 【答案】/ 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可. 【详解】 . 故答案为： 7.（23-24高二下·上海·期中）若则 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 8．(2024川沙中学月考）若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ． 【答案】 【分析】由条件，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角. 【解析】 因为函数在处的导数， 所以函数在点处的切线斜率， 所以，又， 所以倾斜角． 故答案为：. 9.（2024徐汇中学期中考试）若是可导函数，且，则________ 【详解】. 10.（24-25奉贤中学月考）已知函数，且，则m的值为______ 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 11.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）曲线在处的切线方程为________ 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以曲线在处的切线斜率为， 当时，，所以切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为：. 故答案为：. 12.（24-25上海高三课时作业）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，且， 所以在处的切线方程为，即． 故答案为：. 二、选择题 13.如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数平均变化率的计算公式，结合函数的图象，即可求解. 【解答过程】由函数平均变化率的计算公式，可得 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 结合函数的图象，可得. 故选：D. 14. （2023·上海高三课时练习）若在处可导，则可以等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由导数定义， 对于A， ，A满足； 对于B，， ，B不满足； 对于C，， ，C不满足； 对于D，， ，D不满足. 故选：A. 15．定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系得到，可看作过和的割线的斜率，根据图像得到答案. 【解析】图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正， 故， ， 可看作过和的割线的斜率， 由图象可知，故， 故选：B． 16 .如图，设有圆和定点O，当l从开始在平面内绕O匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过），直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快，再依次判断图象即可. 【解答过程】由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快. 对A，图象表示面积的增速是常数，与实际不符； 对B，图象表示最后时段增速较快，与实际不符； 对C，图象表示开始和最后时段的增速比中间时段的增速快，与实际不符； 对D，图象表示开始和最后时段增速缓慢，中间时段增速较快，与实际相符. 故选：D. 三、解答题 17．已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【详解】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 18.已知函数，已知. (1)求函数的解析式； (2)设，求曲线的斜率为的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求某点处的导数值 【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）求出函数的解析式，求出，由，求出切点的坐标，利用导数的几何意义可求出切线的方程. 【详解】（1）对，求导可得， 所以，．解得，则. （2）因为，对求导可得． 因为曲线切线斜率为，由， 整理可得，解得或． 当时，， 此时，切线方程为，即； 当时，． 此时，切线方程为，整理得． 综上所得，的斜率为的切线方程为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题01 导数的概念及其意义 知识点01 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的概念 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则 (1)自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)因变量的改变量Δy＝y2－y1； (3)f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为＝. 2．平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位． 3．平均变化率的几何意义 ＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率． 4．平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段时间内的平均速度为(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 知识点02 　函数在某点处的导数 1．瞬时变化率 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. (2)“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，→k，或者写成 ＝k，即f′(x0)＝ . 知识点03 导数的几何意义 1．导数的几何意义 如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x))，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一点，割线AB的斜率是＝，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率． 这就是说，f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 1.切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 2.函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 题型01 平均变化率 【例1】（2024浦东模范中学月考）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【例2】（2023上海中学月考）如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪训练】 1.（2024延安中学期中考试）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型02：瞬时变化率与瞬时速度 【例3】（2024-2025上海高二期中）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【例4】（2024闵行区期末）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为　　． 【跟踪训练】 1．（2022·23高二下·上海静安·期末）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 2. （2023春•金山区期末）一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2023春•静安区期末）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 4．（2023春•杨浦区校级月考）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 题型03：导数的概念 【例5】（23-24高二下位育中学期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【例6】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2023春•普陀区期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 2．（2023春•浦东新区校级期末）若函数在处导数为，则等于　　 A． B． C． D． 题型04：导数的几何意义 【例7】（2023春•黄浦区期末）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．165° 【例8】（2024春•静安区期末）已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 【例9】（22-23高三七宝中学开学考试）写出曲线过点的一条切线方程 ． 【例10】（2023春•徐汇区期末）为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量与时间的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图像的编号） 【跟踪训练】 1.（2024春•宝山区校级期中）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•宝山区校级期中）函数的图像在点处的切线的倾斜角为 　　． 3.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 题型05：利用图象理解导数的几何意义 【例11】（23-24高二下·格致中学期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2024春•宝山区校级期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023松江区期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）  A． B． C． D． 一、填空题 1．（2023-2024大同中学高三单元测试）函数在区间上的平均变化率为 . 2.（25-26高三上·上海·单元测试）一物体的运动方程是，则在内的平均速度为 ． 3.（25-26高三上·上海·单元测试）函数在区间上的平均变化率等于____ 4．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 5.（22-24七宝中学高三期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为______ 6.（23-24高二下·上海·阶段练习）极限 7.（23-24高二下·上海·期中）若则 8． (2024川沙中学月考）若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ． 9.（2024徐汇中学期中考试）若是可导函数，且，则________ 10.（24-25奉贤中学月考）已知函数，且，则m的值为______ 11.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）曲线在处的切线方程为________ 12.（24-25上海高三课时作业）曲线在处的切线方程为 ． 二、选择题 13.如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D． 14. （2023·上海高三课时练习）若在处可导，则可以等于（    ）． A． B． C． D． 15．定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． 16 .如图，设有圆和定点O，当l从开始在平面内绕O匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过），直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 三、解答题 17．已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 18.已知函数，已知. (1)求函数的解析式； (2)设，求曲线的斜率为的切线方程． . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$