7.4 平移（讲练）-2025-2026学年人教版七年级下册数学同步讲练+课时分层检测

7.4 平移 内容导航 知识点一 平移的概念及性质 1 知识点二 平移作图 2 题型1 图形的平移 3 题型2 生活中的平移现象 4 题型3 利用平移求解 4 题型4 利用平移解决实际问题 5 题型5 平移作图与计算 6 题型6 平移与平行线的综合运用 7 题型7 平移的探究问题 8 综合练习 11 知识点一 平移的概念及性质 平移的概念及性质 概念 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移 要素 一是平移的方向,二是平移的距离 特点 (1)图形是整体移动的；(2)沿某一直线方向移动；(3)移动前后图形的形状、大小完全相同. 平移中的元素对应 对应点 点A与点A'，点B与 点B'，点C与点C' 如图，把三角形ABC沿直线PQ平移，得到三角形A'B'C' 对应边 AB与AB'，AC与A'C'，BC与B'C' 对应角 ∠ABC 与∠A'B'C'， ∠ACB 与 ∠A'C'B'， ∠BAC与∠B'A'C' 性质 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同 对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等 特别提醒：(1)图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 (2)图形平移的方向不一定是水平的，也可以竖直平移或斜向平移，但必须是沿某一直线方向移动. (3) “将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着图形上的每一个点都沿这一方向移动了相同的距离。 (4)图形平移前后的对应边相互平行（或在同一条直线上） 【基础练习1】下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【基础练习2】如图，将沿着方向平移后得到，连接，若，，．求线段、、的长． 知识点二 平移作图 平移作图的一般步骤 定 确定平移的方向和距离 找 找出图形的关键点 作 过这些关键点作与平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的距离 连 按原图形顺序连接关键点的对应点 特别提醒：(1)通过确定几个关键点作平移图形的方法，体现了“以局部带动整体”的思想，作图时要细心、认真，使图形准确、美观，纸面整洁，位置恰当.如果使用方格纸进行平移作图，那么效果会更好. (2)如果作比较复杂的图形的连续平移，那么要在作图前仔细观察，根据图形的特点，确定平移方法. 【基础练习1】如图，经过平移，四边形的顶点移到点．画出平移后的四边形． 【基础练习2】如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 题型1 图形的平移 【典例】如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】【跨语文·古诗】 “一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花．”这首仅20个字的小诗中，数字占了一半．如图所示的关于“数”的图片，可以由选项（  ）中的图片通过平移得到 A． B． C． D． 方法技巧：两法定平移 判断是不是平移，可根据平移的定义，看图形的形状、大小是否发生了变化，是不是沿某一直线方向移动的。 除此之外，还有一个方法，根据平移的性质，即看连接各组对应点的线段是否平行（或在同一条直线上）且相等. 题型2 生活中的平移现象 【典例】下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【变式练习1】下列现象属于平移的是（   ） A．风筝在空中随风飘动 B．汽车在一条笔直的公路上行驶 C．钟摆的摆动 D．转动的门 【变式练习2】下列现象是数学中的平移的是（   ） A．树叶从树上落下 B．碟片在光驱中运行 C．卫星绕地球运动 D．电梯由一楼升到顶楼 总结：抓住定义，辨“平移” 平移的定义是辨别图形的移动和生活中的某些现象是不是平移的依据，也是理解平移性质的基础，其中“沿直线方向移动”是平移最突出的特点，是辨别平移的关键所在. 题型3 利用平移求解 【典例】如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式练习1】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式练习2】如图，在中，，将沿着的方向平移到的位置，则_____ cm， _____ cm，的度数为_______． 【变式练习3】如图，将周长为的三角形沿边向右平移得到三角形，则四边形的周长为___________． 题型4 利用平移解决实际问题 【典例】如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 【变式练习1】某大厅重新装修后，准备在主楼梯上铺设一种红地毯．已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，买地毯至少需要________元． 【变式练习2】白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 方法技巧：转化法 通过平移，将不容易求出面积的图形转化为容易求出面积的图形，而图形的平移在其中起着重要的过渡作用。 题型5 平移作图与计算 【典例】如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 【变式练习1】如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 【变式练习2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 方法技巧： 1、(1)图形的平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小; (2)确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其上一个点平移的方向和距离即可. 2、以“点”概“全”定平移法 解决图形的平移问题时，先找到一组对应点，根据这组对应点分析移的方向和距离，由此确定图形平移的方向和距离。 3、网格中平移作图的关键是借助网格,根据已知的平移要求找到对应点的位置，然后顺次连接其对应点，得到平移后的几何图形。 规律总结：平移作图两依据 (1)平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动； (2)平移的性质：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 解题模板：第一步：确定图形关键点，找出平移的方向和平移的距离； 第二步：按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点；第三步：按原图顺序连接各个对应点；第四步：写出结论 题型6 平移与平行线的综合运用 【典例】如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 【变式练习1】如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)直线与平行吗？为什么？ (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，如图2，当时，求的度数； 【变式练习2】如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的关系，填空：____________； (2)如图②，将三角形平移到三角形，问平分吗？为什么？ 题型7 平移的探究问题 【典例】如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 【变式练习1】综合与实践 如图，已知，点在直线，之间，连接，． 【感知模型】 （1）如图1，若，，则的度数为 ； 【数学思考】 （2）如图2，猜想，和之间有什么样的数量关系，并证明你的结论； 【深入探究】 （3）如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若的度数为，平分，则的度数为 （用含的式子表示）． 【变式练习2】根据以下素材，探索完成任务 运用三角尺探究两条直线的位置关系 素材背景 一副三角尺可以拼出丰富多彩的平面几何图形，根据拼出图形的不同位置，可以探究两条直线的位置关系——平行、垂直． 素材 如图是一副三角尺，，，，． 问题解决 任务图 任务1 如图1，将三角尺ABC沿BC方向移动，得到三角形，，如果，，那么________． 任务2 将这副三角尺按如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数； 任务3 如图3，在任务2的条件下，固定三角尺，固定点C，在平面内摆放三角尺，当时，请你探究直线和直线b的位置关系． 综合练习 一、单选题 1．下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 3．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 5．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 6．如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 7．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 8．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 9．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 11．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．平移变换不仅与几何图形紧密联系，在汉字中也存在着平移变换现象，如“晶”“田”等，请你开动脑筋，写出两个可由平移变换得到的汉字：______、______． 14．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 15．如图，将周长为7的三角形沿边向右平移1个单位，得到三角形． （1）线段线段________．四边形的周长为________． （2）若，则______ 16．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要______元． 17．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____． 18．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是______；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2）______． 三、解答题 19．将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 20．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 21．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 22．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（从→→→），升旗台的台阶和地毯的宽都为米，台阶侧面如图所示． (1)至少需要多少米的地毯？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米元，则买地毯至少需要多少元？ 23．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为，正方形的面积为4． (1)数轴上点B表示的数为 ； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段的中点，点F在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，求出t的值． 24．如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 平移 内容导航 知识点一 平移的概念及性质 1 知识点二 平移作图 2 题型1 图形的平移 4 题型2 生活中的平移现象 6 题型3 利用平移求解 7 题型4 利用平移解决实际问题 10 题型5 平移作图与计算 13 题型6 平移与平行线的综合运用 16 题型7 平移的探究问题 19 综合练习 29 知识点一 平移的概念及性质 平移的概念及性质 概念 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移 要素 一是平移的方向,二是平移的距离 特点 (1)图形是整体移动的；(2)沿某一直线方向移动；(3)移动前后图形的形状、大小完全相同. 平移中的元素对应 对应点 点A与点A'，点B与 点B'，点C与点C' 如图，把三角形ABC沿直线PQ平移，得到三角形A'B'C' 对应边 AB与AB'，AC与A'C'，BC与B'C' 对应角 ∠ABC 与∠A'B'C'， ∠ACB 与 ∠A'C'B'， ∠BAC与∠B'A'C' 性质 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同 对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等 特别提醒：(1)图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 (2)图形平移的方向不一定是水平的，也可以竖直平移或斜向平移，但必须是沿某一直线方向移动. (3) “将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着图形上的每一个点都沿这一方向移动了相同的距离。 (4)图形平移前后的对应边相互平行（或在同一条直线上） 【基础练习1】下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 【基础练习2】如图，将沿着方向平移后得到，连接，若，，．求线段、、的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移后的图形形状和大小不变，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 利用平移的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：沿着方向平移后得到， ，，． 知识点二 平移作图 平移作图的一般步骤 定 确定平移的方向和距离 找 找出图形的关键点 作 过这些关键点作与平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的距离 连 按原图形顺序连接关键点的对应点 特别提醒：(1)通过确定几个关键点作平移图形的方法，体现了“以局部带动整体”的思想，作图时要细心、认真，使图形准确、美观，纸面整洁，位置恰当.如果使用方格纸进行平移作图，那么效果会更好. (2)如果作比较复杂的图形的连续平移，那么要在作图前仔细观察，根据图形的特点，确定平移方法. 【基础练习1】如图，经过平移，四边形的顶点移到点．画出平移后的四边形． 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移的性质是关键，根据图形平移的定义及性质“在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状、大小”，由此作图即可． 【详解】解：根据平移作图如下， 【基础练习2】如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟练掌握平移的定义是解题关键．根据平移的定义作图即可得． 【详解】解：画出每次平移后的图形如下： 题型1 图形的平移 【典例】如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是平行四边形，如图所示： 故选：B． 【变式练习1】下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、通过旋转得到，故本选项不符合题意； B、通过平移得到，故本选项符合题意； C、通过轴对称得到，故本选项不符合题意； D、通过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式练习2】【跨语文·古诗】 “一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花．”这首仅20个字的小诗中，数字占了一半．如图所示的关于“数”的图片，可以由选项（  ）中的图片通过平移得到 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，根据平移前后大小和形状不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：∵平移前后大小和形状不变，只是位置发生改变， ∴可以通过平移图案A得到． 故选A． 方法技巧：两法定平移 判断是不是平移，可根据平移的定义，看图形的形状、大小是否发生了变化，是不是沿某一直线方向移动的。 除此之外，还有一个方法，根据平移的性质，即看连接各组对应点的线段是否平行（或在同一条直线上）且相等. 题型2 生活中的平移现象 【典例】下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 【变式练习1】下列现象属于平移的是（   ） A．风筝在空中随风飘动 B．汽车在一条笔直的公路上行驶 C．钟摆的摆动 D．转动的门 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、风筝在空中随风飘动，不符合平移定义，不属于平移，故本选项不符合题意； B、汽车在笔直公路上运动沿直线运动，符合平移定义，属于平移，故本选项符合题意； C、钟摆的摆动，不符合平移定义，不属于平移，故本选项不符合题意； D、转动的门，不符合平移定义，不属于平移，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式练习2】下列现象是数学中的平移的是（   ） A．树叶从树上落下 B．碟片在光驱中运行 C．卫星绕地球运动 D．电梯由一楼升到顶楼 【答案】D 【分析】本题考查了平移的概念，根据平移是图形沿某一直线方向移动一定的距离，可得答案． 【详解】解；A、树叶从树上落下不沿直线运动，不符合平移定义，故此选项错误； B、碟片在光驱中运行，不符合平移定义，故此选项错误； C、卫星绕地球运动不沿直线运动，不符合平移定义，故此选项错误． D、电梯由一楼升到顶楼是平移，故选项正确． 故选：D． 总结：抓住定义，辨“平移” 平移的定义是辨别图形的移动和生活中的某些现象是不是平移的依据，也是理解平移性质的基础，其中“沿直线方向移动”是平移最突出的特点，是辨别平移的关键所在. 题型3 利用平移求解 【典例】如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得． 【详解】解：， ， 即平移的距离为2， 故选：A． 【变式练习1】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由平移可得：，，，推出，，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ，即， ， 故选：A． 【变式练习2】如图，在中，，将沿着的方向平移到的位置，则_____ cm， _____ cm，的度数为_______． 【答案】 2 4 /20度 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：∵，将沿着的方向平移到的位置， ∴． 故答案为：2，4，． 【变式练习3】如图，将周长为的三角形沿边向右平移得到三角形，则四边形的周长为___________． 【答案】26 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的性质得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：已知的周长为， ∵三角形沿边向右平移得到三角形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：26 ． 题型4 利用平移解决实际问题 【典例】如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键． 将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半． 【详解】解：如图所示： 三条路线的长度都等于大长方形周长的一半． 故选：D． 【变式练习1】某大厅重新装修后，准备在主楼梯上铺设一种红地毯．已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，买地毯至少需要________元． 【答案】1000 【分析】本题考查了图形平移的性质，根据题意，将阶梯水平方向的面向下平移，竖直方向的面向右平移得到地毯的长为米，由此可得地毯的面积，即可求解． 【详解】解：将阶梯水平方向的面向下平移，竖直方向的面向右平移得到地毯的长为米， ∵主楼梯道宽2米， ∴地毯的面积为（平方米）， ∴买地毯至少需要元， 故答案为：1000 ． 【变式练习2】白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 方法技巧：转化法 通过平移，将不容易求出面积的图形转化为容易求出面积的图形，而图形的平移在其中起着重要的过渡作用。 题型5 平移作图与计算 【典例】如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据点确定平移方式，再画出平移后的点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如答图，四边形即为所求． （2）解：与相等的线段有，，． 【变式练习1】如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移的性质与作图，掌握平移的方向和距离由对应点确定，按此平移所有顶点并连接成图是解题的关键． 确定点到的平移方向和距离，再按此方向和距离平移三点得到对应点，最后连接各对应点． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 【变式练习2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 方法技巧： 1、(1)图形的平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小; (2)确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其上一个点平移的方向和距离即可. 2、以“点”概“全”定平移法 解决图形的平移问题时，先找到一组对应点，根据这组对应点分析移的方向和距离，由此确定图形平移的方向和距离。 3、网格中平移作图的关键是借助网格,根据已知的平移要求找到对应点的位置，然后顺次连接其对应点，得到平移后的几何图形。 规律总结：平移作图两依据 (1)平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动； (2)平移的性质：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 解题模板：第一步：确定图形关键点，找出平移的方向和平移的距离； 第二步：按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点；第三步：按原图顺序连接各个对应点；第四步：写出结论 题型6 平移与平行线的综合运用 【典例】如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的外角的性质求解； （2）利用平移的性质，证明与周长的和． 【详解】（1）解：边沿着方向平移到， ， ， ， ； （2）由平移可得，， 与周长的和 ． 【变式练习1】如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)直线与平行吗？为什么？ (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，如图2，当时，求的度数； 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论； （2）如图2，过点作，根据平行线的性质与周角的性质求出，再根据平行的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由平移的性质可知， ∴， ∴； 【变式练习2】如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的关系，填空：____________； (2)如图②，将三角形平移到三角形，问平分吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ∴， 由平移的性质，得，， ∴， 故答案为：． （2）解：平分，理由如下： 由平移的性质，得，， ∴， 平分， ， ∴，即平分． 题型7 平移的探究问题 【典例】如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 【答案】(1)见解析； (2)；或；或或． 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定与性质及正确作出辅助线是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，等量代换得到，然后通过平行线的判定即可得到结论； （）如图，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 结合即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 同理，当在下方时， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，或或． 【变式练习1】综合与实践 如图，已知，点在直线，之间，连接，． 【感知模型】 （1）如图1，若，，则的度数为 ； 【数学思考】 （2）如图2，猜想，和之间有什么样的数量关系，并证明你的结论； 【深入探究】 （3）如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若的度数为，平分，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，理解题意、作出合适的辅助线，灵活运用所学知识是解题关键． （1）过点作，则得，根据平行线的性质求得、，通过即可求解； （2）过点作，则得，根据平行线的性质求得、，通过即可求解； （3）过点作，通过题意可得、、，利用平移推得，将由（2）所得代入即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ，， ． （2）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ． （3）如图，过点作， 平分，平分， ，， 线段沿方向平移至， ， ， ，， ， ，， ， 由（2）得：，且的度数为， ． 【变式练习2】根据以下素材，探索完成任务 运用三角尺探究两条直线的位置关系 素材背景 一副三角尺可以拼出丰富多彩的平面几何图形，根据拼出图形的不同位置，可以探究两条直线的位置关系——平行、垂直． 素材 如图是一副三角尺，，，，． 问题解决 任务图 任务1 如图1，将三角尺ABC沿BC方向移动，得到三角形，，如果，，那么________． 任务2 将这副三角尺按如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数； 任务3 如图3，在任务2的条件下，固定三角尺，固定点C，在平面内摆放三角尺，当时，请你探究直线和直线b的位置关系． 【答案】任务1：3；任务2：；任务3：直线和直线b垂直，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 任务1：根据平移的性质及线段的和差即可求出； 任务2：作，可得，由平行线的性质及角的和差即可求出； 任务3：依题意画出图形，由平行线的性质及角的和差即可求出直线和直线b的位置关系． 【详解】解：任务1： 将三角尺沿方向移动，得到三角形， ， ，， ， 故答案为：3； 任务2： 作， ， ， ， ， ， ， ， ； 任务3： 如图所示，、分别与直线a交于点P、Q， ， ， 由任务2得，， ， ， ，即直线和直线b垂直． 综合练习 一、单选题 1．下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项符合题意； B、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； D、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【答案】B 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移． 3．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 4．如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的不变性． 由平移得，，，则，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移得，，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3厘米， 故选：B． 5．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 6．如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 7．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 8．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 9．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 10．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质即可求解，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点， 故选：． 11．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 12．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 二、填空题 13．平移变换不仅与几何图形紧密联系，在汉字中也存在着平移变换现象，如“晶”“田”等，请你开动脑筋，写出两个可由平移变换得到的汉字：______、______． 【答案】 炎（答案不唯一） 品（答案不唯一） 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的概念与性质是解决本题的关键． 根据平移的概念，即在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动，再结合平移的性质，即平移不改变图形的性质和大小，只改变图形的位置求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，由平移变换得到的汉字：炎、品． 故答案为：①炎、②品（答案不唯一） ． 14．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 15．如图，将周长为7的三角形沿边向右平移1个单位，得到三角形． （1）线段线段________．四边形的周长为________． （2）若，则______ 【答案】 / 9 70 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得线段线段，，再根据四边形的周长公式求解即可． （2）由平移的性质得线段线段，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：（1）由平移性质可知线段线段， 将周长为7的三角形沿边向右平移1个单位， ， 四边形的周长为； 故答案为：，9． （2）由平移性质可知线段线段， 若，则； 故答案为：． 16．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要______元． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图象的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米， 即可得地毯的长度为米，地毯的面积为（平方米）， 故买地毯至少需要（元）． 故答案为：． 17．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点E在线段上，或当点E在外时，过点C作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：E在线段上，过点C作，如下图： ， ， ， ，， ，， ∴， ； ， ，， 即 ； （2）点E在外时，过点C作，如下图： ， ， ，， ，， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 18．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是______；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2）______． 【答案】 平行 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键． （1）由平移的性质可得出， （2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴ （2）过A点作于，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵三角形的面积比三角形的面积大，即， ∴， 解得． 故答案为：平行，． 三、解答题 19．将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握平移不变性是解题的关键． （1）分别作出点向右平移8格，再向上平移2格的点，再顺次连接即可； （2）利用的平移的性质求解； （3）利用的平移的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：由平移的性质可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 由平移的性质可得，， 故答案为：． 20．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 21．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 22．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（从→→→），升旗台的台阶和地毯的宽都为米，台阶侧面如图所示． (1)至少需要多少米的地毯？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米元，则买地毯至少需要多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题考查了平移的性质以及有理数的四则运算的实际应用： （1）利用平移构成一个矩形即可求解； （2）先计算地毯面积，再算价格即可． 【详解】（1）解：如图，通过平移线段，把楼梯的横竖 向上、向左平移，构成一个长、宽分别为的长方形， 地毯至少需要 （2）地毯的面积为， 购买地毯至少需要花费（元） 23．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为，正方形的面积为4． (1)数轴上点B表示的数为 ； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段的中点，点F在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，求出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或0；② 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，平移的性质，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． （1）利用正方形的面积为4，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为4，可得边长为2，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为4， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为． （2）解：①若正方形向左平移，如图1，若正方形向右平移，如图2， 正方形的面积为4， 边长为2， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或0； ②的值为．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 24．如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 学科网（北京）股份有限公司 $