第15讲 数学归纳法（知识清单+2题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（沪教版选择性必修第一册）

第15讲 数学归纳法 知识清单 知识点01：数学归纳法 题型讲解（举三反三） 题型1：数学归纳法 题型2：数学归纳法的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 题型1：数学归纳法 【例1-1】用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意代入即可得结果. 【详解】因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 【例1-2】（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取________验证． 【答案】2 【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出． 【详解】用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时， 第一步取验证． 故答案为：2. 【例1-3】（24-25高二·上海·课后作业）已知正项数列和中，，，当时，，． (1)用数学归纳法证明：对任何正整数n，都有． (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按照数学归纳法证明步骤推理论证即得. （2）利用（1）及已知构造等差数列，求出通项公式即得. 【详解】（1）（i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，等式成立，即， 则当时，，等式也成立， 综合（i）和（ii），得对任何正整数都成立. （2）当时，由，得，则， 即数列是以为首项，1为公差的等差数列，则， 所以. 【变式1-1】现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二·上海松江·期末）用数学归纳法证明等式时，从到时，左边需要增添的项是__________． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的定义判断即可． 【详解】用数学归纳法证明题干中的等式时，当左边所得的项是， 假设时，命题成立，左端为， 则当时，左端为， 从到时需增添的项是． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25高二·上海·单元测试）已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)，，， (2)答案见解析 【分析】（1）应用数列的前n项和结合二倍角公式及两角和差公式求解； （2）应用数学归纳法结合二倍角公式及两角和差公式证明即可. 【详解】（1）， ，． （2）当时，左边，右边，等式成立． 假设（k为正整数，），， 则当时， ， 此时等式成立． 综合（1）（2）知，对任何n为正整数，． 题型2：数学归纳法的应用 【例2-1】已知存在常数，使等式对都成立，则______． 【答案】5 【分析】用特殊值法，如取代入计算． 【详解】由题意时，，， 故答案为：5 【例2-2】（24-25高二·上海·课后作业）已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 【答案】（为正整数），证明见解析 【分析】先根据递推式求出数列的前几项，然后猜想出通项公式，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】解：计算得，，，，…，猜测数列的通项公式为，用数学归纳法证明： 证明：（i）当时，符合上述公式； （ii）假设当（为正整数）时，有， 则当时，，符合上述公式. 由（i）（ii）可知，（为正整数）. 【例2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【分析】由数学归纳法证明即可. 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【答案】（1）（2） 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 【变式2-2】（24-25高二·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 一、填空题 1．用数学归纳法证明(n＞1且n∈N*)，第一步要证明的不等式是________________． 【答案】 【分析】由已知结合数学归纳法即可求解. 【详解】∵n＞1， ∴第一步应证明当n＝2时不等式成立， 即． 故答案为：. 2．用数学归纳法证明“”时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的定义求解. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 所以可在左边乘以一个代数式， 故答案为：. 3．用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上______ 【答案】 【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案. 【详解】由题意，当时，所得等式左端为； 当时，所得等式左端为； 所以当时，左端应在时的左端上加上. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）数学归纳法证明“凸多边形内角和定理：”时，第一步应验证n=______时成立． 【答案】3 【分析】由于多边形的边数最少是3，即三角形，故用数学归纳法第一步应验证. 【详解】因为多边形的边数最少是3，即三角形，故用数学归纳法第一步应验证. 故答案为：3. 5．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________ 【答案】 【解析】根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边，对比即可求解. 【详解】当时，等式的左边为：， 当，等式的左边为：， 所以从到，等式左边需增加的代数式为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边是解答的关键，着重考查运算能力. 6．用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推理时，左边应增加的项数是_____________． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的性质，对比当，时，两个不等式的形式进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以增加的项数为：， 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·课后作业）利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数_______. 【答案】3 【解析】凸多边形至少是三角形，由此确定． 【详解】多边形中三角形的对角线条数可认为是0，四边形有两条对角线，因此第一个自然数可以是． 故答案为：3 【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的证明步骤是解题基础． 8．在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________． 【答案】 【分析】从式子，观察时的表达式及当从到的变化情况，从而解决问题. 【详解】解：当时，原式， 当时，原式， 当时，原式. 则从到增加的表达式是. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查数学归纳法，考查分析能力，属于基础题. 9．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______. 【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 【分析】证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案． 【详解】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 10．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 11．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 12．某个命题与自然数n有关若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立，若时该命题不成立，则可推得当_____时，该命题不成立． 【答案】4 【分析】如果当n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立，利用原命题与其逆否命题的等价性可得答案. 【详解】如果当n=k (k∈N)时该命题成立，那么可推得当n=k+ 1时该命题也成立,其逆否命题为:当n=k+ 1时该命题不成立，则当n=k (k∈N)时该命题也不成立.所以，当n=5时该命题不成立，可推n=4时该命题也不成立,故答案为: 4. 【点睛】本题主要考查数学归纳法,熟练应用原命题与其逆否命题的等价性是关键，属于中档题. 二、单选题 13．已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】依题意，分别写出的表达式，在中去掉中的项，即得剩余项的项数. 【详解】由可得，， 故的表达式中共有项数为. 故选：D. 14．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法求解即可. 【详解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是. 故选：D 15．已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立． 【详解】解：若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 16．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 三、解答题 17．已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可； （2）根据（1）的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。 【详解】（1）证明：因为，，成等差数列，所以， 因为，所以上式可化简为， 将带入上式可得：， 当时，，符合， 假设当时，有成立， 则当时，， 因为，所以, 所以,符合， 故有成立； （2）由（1）可得，， 当时，， 因为，符合， 故。 18．观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明． 【答案】一般规律：；证明见解析． 【分析】总结规律后由数学归纳法证明 【详解】一般规律：， 证明：（1）时，左=右，等式成立； （2）假设时，等式成立，即， 则当时，， 等式也成立， 由（1）（2）得当时等式都成立． 19．已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】，，，，证明见解析 【分析】代入数值计算，，，的值；根据前4项的规律可猜出的表达式，再用数学归纳法证明. 【详解】，，， ， 猜想（为正整数），下面用数学归纳法证明： ①当时，，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 所以当时，， 所以当时猜想成立. 由①②得，得证. 20．（24-25高二·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）赋值法，结合奇偶性定义可解； （2）数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数. （2）①时，左边右边. ②假设当时，有， 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立. 21．（24-25高二·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 数学归纳法 知识清单 知识点01：数学归纳法 题型讲解（举三反三） 题型1：数学归纳法 题型2：数学归纳法的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 题型1：数学归纳法 【例1-1】用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【例1-2】（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取________验证． 【例1-3】（24-25高二·上海·课后作业）已知正项数列和中，，，当时，，． (1)用数学归纳法证明：对任何正整数n，都有． (2)求数列的通项公式． 【变式1-1】现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【变式1-2】（25-26高二·上海松江·期末）用数学归纳法证明等式时，从到时，左边需要增添的项是__________． 【变式1-3】（24-25高二·上海·单元测试）已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 题型2：数学归纳法的应用 【例2-1】已知存在常数，使等式对都成立，则______． 【例2-2】（24-25高二·上海·课后作业）已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 【例2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【变式2-2】（24-25高二·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 一、填空题 1．用数学归纳法证明(n＞1且n∈N*)，第一步要证明的不等式是________________． 2．用数学归纳法证明“”时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______． 3．用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上______ 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）数学归纳法证明“凸多边形内角和定理：”时，第一步应验证n=______时成立． 5．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________ 6．用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推理时，左边应增加的项数是_____________． 7．（24-25高二上·上海·课后作业）利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数_______. 8．在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________． 9．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______. 10．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为______． 11．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 12．某个命题与自然数n有关若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立，若时该命题不成立，则可推得当_____时，该命题不成立． 二、单选题 13．已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 14．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 15．已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 16．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 三、解答题 17．已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 18．观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明． 19．已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 20．（24-25高二·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 21．（24-25高二·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $