第14讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

本讲义聚焦数列的概念与性质及递推公式表示这一核心内容，系统梳理数列的定义、分类、函数关系、单调性、通项公式及递推公式等知识点，从基础概念到性质分析再到表示方法，构建层层递进的学习支架。 资料通过“举三反三”题型设计，每个知识点配套例题与变式，融入“大衍数列”“兔子数列”等实例，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理性质。课中助力教师高效授课，课后通过分层训练帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

第14讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列 知识清单 知识点01：数列及其有关概念 知识点02：数列的分类 知识点03：函数与数列的关系 知识点04：数列的单调性 知识点05：通项公式 知识点06：数列的递推公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：数列的概念及简单表示法 题型2：由数列若干项归纳出通项公式 题型3：数列周期性的应用 题型4：数列的单调性 题型5：数列的最大项最小项 题型6：数列递推式 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点02 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点03　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点04　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点05　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点06　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 题型1：数列的概念及简单表示法 【例1-1】下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【例1-2】下列四个命题： ①任何数列都有通项公式； ②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式是项数n的函数 其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1-3】（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 【变式1-1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【变式1-2】（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法：①数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同数列；②数列1，3，5，7可表示为；③数列0，1，2，3，…的一个通项公式为；④数列0，1，0，1，…是常数列；⑤数列是严格增数列，其中正确的是________．（填编号） 【变式1-3】是数列的第______项. 题型2：由数列若干项归纳出通项公式 【例2-1】数列、的一个可能的通项公式是（     ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二·上海·课后作业）数列，，，，…的一个通项公式是______． 【例2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝．已知“大衍数列”的前10项分别为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为________． 【变式2-1】数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知数列，则该数列的通项公式可能为__________. 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第________项． 题型3：数列周期性的应用 【例3-1】（24-25高二·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为_____. 【例3-3】在数列中，，，()，求. 【变式3-1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （    ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A．1 B．2 C．4 D．5 【变式3-2】（24-25高二·上海·随堂练习）在数列中，若，（，n为正整数），则______． 【变式3-3】在数列中，已知，. （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 题型4：数列的单调性 【例4-1】（24-25高二·上海·月考）在数列中，已知，则“”是“是严格增数列”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【例4-2】（25-26高二·上海·期末）设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 【例4-3】已知数列的通项公式为，若数列是严格减数列，求实数m的取值范围． 【变式4-1】（25-26高二·上海·期末）已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【变式4-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列满足 ，若 恒成立，则的取值范围是_____. 【变式4-3】设数列的前项和为．已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式； (2)设，又对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值． 题型5： 数列的最大项最小项 【例5-1】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【例5-2】（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【例5-3】已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【变式5-1】已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【变式5-2】（24-25高二·上海·月考）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第______项. 【变式5-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 题型6：数列递推式 【例6-1】（24-25高二下·上海普陀·期末）在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【例6-2】（25-26高二·上海浦东新·期末）已知数列满足，且，则__________. 【例6-3】（24-25高二·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式6-1】（25-26高二·上海·期末）数列的各项为，其中.如果对任意整数，都有，那么中的各项一定（    ） A．均为0 B．没有负数项 C．没有正数项 D．以上选项都不正确 【变式6-2】（25-26高二·上海·期末）已知数列满足，则__________. 【变式6-3】（25-26高二·上海·期末）设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 一、填空题 1．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 2．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 3．（24-25高二·上海·期中）在数列中，，且，则______． 4．（24-25高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 6．（25-26高二·上海·期末）已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 7．（24-25高二·上海·月考）已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是_____ 8．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第__________项. 9．（25-26高二·上海·期中）已知数列满足，则__________． 10．（24-25高二·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和__________. 11．（25-26高二·上海·月考）已知数列，则___________（用数字作答） 12．（25-26高二·上海·月考）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 二、单选题 13．已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 14．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 15．已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·单元测试）设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确命题的个数是（    ） ①可能为等差数列； ②均能写成的两项之差； ③对任意，，总存在，，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（24-25高二·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 19．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 20．（25-26高二·上海·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 21．按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列 知识清单 知识点01：数列及其有关概念 知识点02：数列的分类 知识点03：函数与数列的关系 知识点04：数列的单调性 知识点05：通项公式 知识点06：数列的递推公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：数列的概念及简单表示法 题型2：由数列若干项归纳出通项公式 题型3：数列周期性的应用 题型4：数列的单调性 题型5：数列的最大项最小项 题型6：数列递推式 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点02 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点03　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点04　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点05　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点06　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 题型1：数列的概念及简单表示法 【例1-1】下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 【例1-2】下列四个命题： ①任何数列都有通项公式； ②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式是项数n的函数 其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据数列的表示方法以及数列的通项公式的定义即可判断各命题的真假． 【详解】对①，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：的近似值构成的数列，就没有通项公式，所以①错误； 对②，根据数列的表示方法可知，②正确； 对③，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：， 其通项公式既可以写成，也可以写成，③错误； 对④，根据数列通项公式的概念可知，④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查数列的表示方法以及数列的通项公式的定义的理解，属于基础题． 【例1-3】（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 【答案】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 【变式1-1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断. 【详解】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误； C中第项为，正确；D中，错误. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法：①数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同数列；②数列1，3，5，7可表示为；③数列0，1，2，3，…的一个通项公式为；④数列0，1，0，1，…是常数列；⑤数列是严格增数列，其中正确的是________．（填编号） 【答案】⑤ 【分析】利用数列的定义判断①，利用数列和集合的区别判断②，利用数列的通项公式是和项数的关系判断③，利用常数列的定义判断④，利用数列的严格单调性求解⑤. 【详解】数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1中相同的数的顺序不同，所以不是相同数列，①错； 数列不能用集合表示，②错； 数列0，1，2，3，…一个通项公式为，③错； 常数列各项均相等，④错． 为为一次函数的形式，对应的函数为严格单调的函数，故⑤对. 故答案为：⑤. 【变式1-3】是数列的第______项. 【答案】21 【分析】令，结合解得，即是数列的第21项. 【详解】令，即， 即， 所以或， 又因为，所以. 故答案为：21 题型2：由数列若干项归纳出通项公式 【例2-1】数列、的一个可能的通项公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的前几项，对四个选项的通项公式进行逐一验证即可选择. 【详解】设所求数列为. 对于A选项，，则合乎题意； 对于B选项，，，不合乎题意； 对于C选项，，，不合乎题意； 对于D选项，，，不合乎题意. 故选：. 【点睛】本题考查利用观察法求数列的通项公式，属简单题. 【例2-2】（24-25高二·上海·课后作业）数列，，，，…的一个通项公式是______． 【答案】（n为正整数） 【分析】利用观察法找出数列的规律即可得解. 【详解】把1写成的形式，观察分母发现是以3为开始的奇数列， 再观察分子中各数，可以发现：，且各项正负交替， 则，，，，…可以写成： 所以数列的通项公式为. 故答案为：（n为正整数）. 【例2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝．已知“大衍数列”的前10项分别为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为________． 【答案】1912 【分析】观察此数列，得到偶数项满足，奇数项满足，从而可求解. 【详解】观察此数列，偶数项为2，8，18，32，50，，可得此时满足， 奇数项为0，4，12，24，40，，可得， 所以，，则， 所以． 故答案为：1912． 【变式2-1】数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列中数据特征得到通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有， 满足， 所以数列的一个通项公式可以为，其余选项不适合， 故选：B. 【变式2-2】已知数列，则该数列的通项公式可能为__________. 【答案】，答案不唯一 【分析】通过观察数列的规律求得正确答案. 【详解】通过观察可知，该数列的绝对值是，即奇数列， 所以. 故答案为：，答案不唯一 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第________项． 【答案】12 【分析】结合题意找到数列的规律求解出通项公式从而求数列的第几项. 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 题型3：数列周期性的应用 【例3-1】（24-25高二·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 【例3-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为_____. 【答案】 【分析】由递推公式确定数列周期，即可求解. 【详解】由，可得：， 由题意，所以， 所以易知是周期为2的数列， 所以也是是周期为2的数列， 且，即， 所以， 故答案为： 【例3-3】在数列中，，，()，求. 【答案】2 【解析】根据递推式依次计算出数列的前几项，归纳出数列是周期数列，且周期为6，用6项的和为0．由此易计算出和． 【详解】由，，，可得，，， ，，，，，，…，则， 且，则 【点睛】本题考查数列的前项和，解题关键是通过归纳法得出数列是周期数列． 【变式3-1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （    ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据关系得出，找到数列的周期即可. 【详解】由题意可得，，， ，， 故数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故选：D 【变式3-2】（24-25高二·上海·随堂练习）在数列中，若，（，n为正整数），则______． 【答案】 【分析】求出数列的周期可得答案. 【详解】若，则，， ，， 所以数列是以3为周期的数列， 则. 故答案为：. 【变式3-3】在数列中，已知，. （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）1. 【分析】（1）利用递推关系得到； （2）由（1）得到数列以2为周期的周期数列； （3）由得，再由周期数列的特点，求得数列前7项的和. 【详解】（1）当时，因为， 所以等式成立. （2）由（1）知数列是以2为周期的周期数列， 所以. （3）因为，所以， 由于数列是以2为周期的， 所以. 【点睛】本题考查周期数列的证明及利用周期数列的特点，求数列的项和前项和，考查基本运算求解能力. 题型4：数列的单调性 【例4-1】（24-25高二·上海·月考）在数列中，已知，则“”是“是严格增数列”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据，分别求解，是严格增数列时的的取值范围，根据两种情况下的取值关系即可判断充分必要条件. 【详解】已知， 若，则，解得； 若是严格增数列，则，恒成立，所以恒成立， 整理得恒成立， 又数列为递减数列，所以，故； 综上可得：“”是“是严格增数列”的充要条件. 故选：A. 【例4-2】（25-26高二·上海·期末）设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，在时恒成立，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，若是严格减数列，且， 则在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即的取值范围为. 故答案为：． 【例4-3】已知数列的通项公式为，若数列是严格减数列，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意转化为在且时恒成立，即在且时恒成立；分、和，三种情况讨论，即可求解. 【详解】由数列的通项公式为，则， 可得， 若数列是严格减数列，可得在且时恒成立， 即在且时恒成立； 当时，可得恒成立，满足题意； 当时，变形为，不能恒成立，不满足题意； 当时，变形为，可得，可得， 综合可得：实数的取值范围为． 【变式4-1】（25-26高二·上海·期末）已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】先结合题意求出分段数列，再利用指数函数性质和二次函数性质求解参数范围，最后利用必要非充分条件的定义求解即可. 【详解】因为数列满足，所以， 当时，若数列为严格增数列，则， 当时，若数列为严格增数列， 则，可得，解得， 而数列为严格增数列，得到，解得， 综上可得，即， 则“数列为严格增数列”是“”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 【变式4-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列满足 ，若 恒成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】对和两种情况分类讨论，即可得到结果. 【详解】①若，则. 上式对任意正整数成立，所以也有，从而有恒成立，满足条件. ②若，则，而当时，又有 . 从而至少存在一个，但至多存在有限个正整数，使得. 取其中最大的正整数，那么，，从而，不满足条件. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】设数列的前项和为．已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式； (2)设，又对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值． 【答案】(1)证明见解析；； (2)； (3). 【分析】（1）根据与的关系，即可得到数列的通项公式； （2）根据（1）中结论，即可得到数列的通项公式，由其单调递增，即可得到结果； （3）根据条件可得是公差为的等差数列，从而去掉绝对值符号，列出不等式，解出即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减，得，即， 又，所以数列为首项为1，公差为6的等差数列， 所以； （2），显然单调递增， 且，则，所以，即 所以； （3）因为，所以是公差为的等差数列， 所以当时，，当时，， 所以 ， 因为， 所以，解得， 又为正整数且，所以， 所以的所有可取值为. 题型5： 数列的最大项最小项 【例5-1】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 【例5-2】（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【答案】 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 【例5-3】已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【答案】详见解析 【分析】由判断判断单调性后即可得最值. 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 所以数列的最大项为， 又，当，， 所以数列的最小项为. 【变式5-1】已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【答案】C 【分析】分奇偶分别作差，判断奇数项的单调性以及偶数项的单调性，从而得出结果. 【详解】当 ， ， 当时，，递增；当时，，递减，故最大， 当时， ， ， 当时，，递减；当时，，递增，故最小， 综上，既有最大项，又有最小项. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二·上海·月考）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第______项. 【答案】2和3 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 【变式5-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 【答案】(1)； (2)－6 【分析】（1）应用计算求解通项公式； （2）先计算作差得，计算单调性即可得最小值. 【详解】（1）当时，； 当时，； 经检验符合通项公式， 所以通项公式为． （2）令，则， 令得； 所以，所以最小项为. 题型6：数列递推式 【例6-1】（24-25高二下·上海普陀·期末）在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】计算数列的前几项，得到数列的周期，根据周期性即可求解. 【详解】由，得， ， 所以是以为周期的数列，所以. 故选：. 【例6-2】（25-26高二·上海浦东新·期末）已知数列满足，且，则__________. 【答案】2 【分析】根据递推公式逐项检验可知数列的一个周期为5，进而运算求解. 【详解】因为，且， 则，，，，， 可知数列的一个周期为5，所以. 故答案为：2. 【例6-3】（24-25高二·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 【变式6-1】（25-26高二·上海·期末）数列的各项为，其中.如果对任意整数，都有，那么中的各项一定（    ） A．均为0 B．没有负数项 C．没有正数项 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】由题意列不等式，求出，，，故可得答案. 【详解】由题意得，即①， ②， ，即③ 由①③可得，，又由②得， 所以， 则，， 则，， 则中的各项一定没有正数项. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二·上海·期末）已知数列满足，则__________. 【答案】 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】由，所以， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二·上海·期末）设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据题意，求得，由时，，两式相减，求得，得出数列的通项公式，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知：，因为数列满足①， 当时，可得，所以； 当时，②， ①-②可得，所以， 所以数列的通项公式为， 当时，可得； 当时， 当时，可得，所以上式成立， 所以数列的前项和. 一、填空题 1．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则， 解得. 故答案为：. 2．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高二·上海·期中）在数列中，，且，则______． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 【答案】/0.8 【分析】根据给定的递推公式，依次求出确定周期，进而求出. 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 6．（25-26高二·上海·期末）已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 【答案】 【分析】根据递推关系式求出，得数列为以4为周期的周期数列，进而求和. 【详解】数列满足：，， 则 所以数列为以4为周期的周期数列， 则前383项和为. 故答案为： 7．（24-25高二·上海·月考）已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】结合以及列出不等式,由此求得的取值范围. 【详解】由于数列是递增数列,所以, 即,解得. 则. 由于,即,即, 即, 所以,解得或. 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 8．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第__________项. 【答案】 【分析】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 当时，， 所以当时，， 所以数列的最大项为第项. 故答案为： 9．（25-26高二·上海·期中）已知数列满足，则__________． 【答案】 【分析】通过转化得数列为等差数列，进而可得所求项的值. 【详解】由，得，即. 所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以. 所以，得. 故答案为：. 10．（24-25高二·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和__________. 【答案】 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 11．（25-26高二·上海·月考）已知数列，则___________（用数字作答） 【答案】 【分析】用换，然后两式作差得到奇数项为等差数列，然后求出奇数项的通项，可得答案. 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 12．（25-26高二·上海·月考）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题设，讨论符合求其范围，进而得到的取值范围. 【详解】由题意， 当时，，可得或， 此时，时，恒有或，故或， 同时，由，而， 所以， 所以或，故或， 当时，在上单调递减，则，显然， 且在上单调递增，则，依次类推知时恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 所以或 当时，，可得，不合前提； 综上，. 故答案为： 二、单选题 13．已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 【答案】A 【分析】根据递增数列的定义即可判断出答案. 【详解】由题意可知， 即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列； 故选：A 14．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出是以为首项，公比为的等比数列，写出数列的通项公式即可求解． 【详解】由，得， 又，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：A． 15．已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可证得数列是以为周期的周期数列，得到；由递推关系求得即可. 【详解】，， ， 数列是以为周期的周期数列，， 又，，，，，. 故选：D. 16．（24-25高二下·上海·单元测试）设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确命题的个数是（    ） ①可能为等差数列； ②均能写成的两项之差； ③对任意，，总存在，，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，取，可知①正确；对于②，根据，可知②正确；对于③，取数列，显然不存在，使得，故③不正确. 【详解】对于①，取，则，显然存在，使，①正确. 对于②，取，则 ，所以， 当时，，故②正确. 对于③，取数列，若存在存在，，使得， 取，则有，解得，不合题意， 则不存在，使得，故③错误. 故选：C. 三、解答题 17．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】（1）证明：由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即； （2）数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是. 18．（24-25高二·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 19．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 20．（25-26高二·上海·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）利用取倒数法结合等差数列的定义及通项公式求法计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则； （2）由上可知的前n项和为 . 21．按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据数表所给数据相加以及递推关系，求解得. （2）根据，判断数列为首项为1，公差为1的等差数列求解； （3）将通项裂项相消，然后求解； 【详解】（1）根据数表所给数据相加求解 . （2）由题意得，第行共有项. 因为从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出， 可得，即 等式两边同时除以，得. 所以数列为首项为1，公差为1的等差数列， 可得，即 （3）， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据所给数表得到递推式，结合裂项相消法即可得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $