第13讲 等比数列（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第13讲 等比数列 知识清单 知识点01：等比数列的概念 知识点02：等比中项 知识点03：等比数列的通项公式 知识点04：等比数列通项公式的推广和变形 知识点05：等比数列的常用性质 知识点06：等比数列的前n项和公式 知识点07：等比数列前n项和的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：等比数列的性质 题型2：等比数列的通项公式 题型3：等比数列的前n项和 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点02 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点03　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识点04　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝·qn.③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点05　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 知识点06　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 无穷等比数列前n项和 知识点07　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 题型1：等比数列的性质 【例1-1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 【例1-2】（24-25高二下·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 【例1-3】（25-26高二下·上海·期末）已知等比数列满足：，，则公比______． 【答案】 【分析】利用等比数列的性质得到，进而确定，再代入得到，最后求解公比即可. 【详解】因为，所以由等比数列性质得， 因为，所以，即， 因为，所以，可得，代入可得，解得. 故答案为： 【变式1-1】若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质可得，再利用对数法则进行运算化简即可. 【详解】数列是等比数列，则， 则. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）在等比数列中，，则________． 【答案】 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 题型2：等比数列的通项公式 【例2-1】（24-25高二下·上海奉贤·月考）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】根据“线性数列”的定义进行判断 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故①正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故②正确； 故选：A 【例2-2】（25-26高二下·上海·期末）在等比数列中，，，则公比______. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式可求公比. 【详解】在等比数列中，，，公比为， 由题意可得，解得. 故答案为： 【例2-3】（25-26高二下·上海·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得：， . 【变式2-1】已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的韦达定理，根据等比数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为， 则，，. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二下·上海·期末）数列为等比数列，，公比，则______． 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式可求答案. 【详解】因为等比数列中，，公比，所以. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二下·上海·随堂练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式． 【答案】答案见解析 【分析】由已知得是公比为的等比数列，继而得是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比， 因为，所以，所以． 由题易知是公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列． 因为，所以， 所以，所以，所以． 所以当时，； 当时，． 题型3：等比数列的前n项和 【例3-1】（24-25高二下·上海宝山·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取，则，满足题设，即可判断①；对是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②. 【详解】对于①，取，则，满足题设，①成立； 对于②；假设存在，，公比为， 当时，，，则，当时，对任意正整数，不存在正整数m，使得， 当时，，要使，则需， 即，由为常数，为确定的正整数，得是确定的数， 而为任意正整数，是变量，且当趋近于无穷大的正整数时， 趋近于）或趋近于无穷大（），因此②不成立. 故选：C 【例3-2】（24-25高二下·上海·期中）已知等比数列的首项为1，公比为，则__________. 【答案】2 【分析】应用等比数列求和公式结合极限计算求解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，则. 故答案为：2. 【例3-3】（24-25高二下·上海·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求数列的公差即可得到通项公式. （2）由（1）可得数列是以4为首项，4为公比的等比数列，利用公式即可求出. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴ ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴. 【变式3-1】若数列的前n项和满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出，由可得，两式相减可证得数列是从第二项开始，为公比的等比数列，再由等比数列的前项和求解即可. 【详解】令可得，又因为，所以， 由可得， 两式相减可得：，则， 所以，又因为， 所以数列是从第二项开始，为公比的等比数列， 所以， . 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等比数列的前 项和 满足 ，则 _____. 【答案】273 【分析】由等比数列片段和的性质可解. 【详解】等比数列的前 项和 满足成等比数列， 所以，即. 故答案为：273 【变式3-3】（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知数列的前n项和为 (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，，求满足时，正整数n的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据、，利用等差数列的前n项和公式算出公差d，进而可得的通项公式； （2）求出等比数列的公比，求出和的关表达式，将化简为关于n的不等式，进而求得n的最小值． 【详解】（1）（1）根据题意，设等差数列的公差为d， 又由，则， 又，则，解得， 所以； （2）根据题意，设的公比为q， ，则，解可得， 则，而， 若，则有， 化简得，又由且，则有， 所以n的最小值为 一、填空题 1．（24-25高二下·上海青浦·月考）若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______． 【答案】189 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得. 【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得. 故答案为：189 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知等比数列中，，，则这个数列的公比_____. 【答案】3 【分析】根据等比数列任意两项之间的关系式，由数列的项，求数列公比. 【详解】由题知，得，解得. 故答案为：3. 3．（24-25高二下·上海·月考）已知在等比数列 中， ，则 _____. 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：9. 4．（25-26高二下·上海普陀·期末）设是等比数列，，，则的通项公式______． 【答案】 【分析】利用已知条件求出公比，再写出数列的通项公式. 【详解】，且，，又. ，. 故答案为： 5．（25-26高二下·上海·期末）已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，得到，列出方程，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，所以， 又因为，可得无穷等比数列的和， 整理得，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则______ 【答案】 【分析】根据等比数列性质，，求出，进而得到答案. 【详解】因为数列为等比数列，、， 所以，所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 7．（25-26高二下·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则___________． 【答案】 【分析】先通过等比数列的通项公式求出首项和公比，再用前项和公式计算即可. 【详解】因为，，代入通项公式， 得： 除以，消去得：， 因此，公比， 将代入： 即：，解得：， 把，，， 代入（）得： . 故答案为：. 8．（25-26高二下·上海嘉定·期末）等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________． 【答案】/ 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知等比数列满足，，若的前n项和，则______． 【答案】5 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比与，再根据等比数列的求和公式列式求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以. 因为，所以， 所以，解得， 故答案为：5. 10．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据等比数列的前n项和公式及已知得到 的取值范围. 【详解】数列 为公比为 的无穷项等比数列， 又，易知， 若，， 故， 当，则，此时，显然无解； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，显然无解； 若，则，显然不成立； 综上，. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·月考）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为、、、…、、…，则________. 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为正方体棱长组成以1为首项，为公比的等比数列， 所以该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列， 则， 当时，， 所以. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·月考）记等比数列的前项和为，若，下列四个命题：①是递减数列；②有最大项；③是递增数列；④有最小项．其中真命题的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】由已知条件可得首项和公比的范围，结合等比数列的通项公式和求和公式对选项分析即可. 【详解】设等比数列的公比为,因为， 所以，且， 对于①，当时，是递减数列，，是摆动数列，故①错误； 对于②，当时，是递减数列，最大项为， 当，是摆动数列，， 所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故②正确； 对于③，，且，则，所以， 因为单调递减，所以单调递增， 所以单调递增，故③正确； 对于④，当时，是递减数列，有最小项，没有最大项， 当，是摆动数列，因为，所以数列奇数项为正，偶数项为负，且单调递减， 所以数列有最小项为最大项为，故④正确. 故答案为：②③④. 二、单选题 13．已知和均为等差数列，而为等比数列，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差和等比数列定义直接化简所求式子即可. 【详解】由题意知：，，， . 故选：B. 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【分析】先由前项和公式求出数列的通项公式，再利用等比数列首项必须满足通项公式的条件，解出参数的值并验证. 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 15．（24-25高二下·上海·课堂例题）已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项可得，即可根据等差数列基本量化简计算. 【详解】在公差为的等差数列中，，，成等比数列， ，即，由于， ， 所以． 故选：D． 16．（24-25高二下·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 18．（24-25高二下·上海·月考）已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由等差数列与等比数列前项和公式，分别求得公差与，带入等差数列与等比数列的通项公式即可； （2）由等差数列与等比数列前项和公式可得. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，则，故， 所以； 因为，，所以，解得， 所以. （2）结合（1）可得： . 19．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知为等差数列，为等比数列，满足， (1)求和通项公式； (2)记，为的前项和，求，并求出的最小值. 【答案】(1)，； (2)，最小值为. 【分析】（1）由已知两项分别求等差数列和等比数列的基本量，进而求出两个数列的通项公式； （2）分组求和求出的前项和，法一：根据求出最小值即可；法二：判断数列的单调性即可求出最值. 【详解】（1）由题，所以，即， 所以； 又，所以，即，所以； （2）由，分组求和可得. 法一：若为最小值，则有， 即， 解得，易知数列，为递增数列， 当时，不等式组成立，即当时，取得最小值. 法二：当时， ， 易知为递增数列，当时，，即； 当时，，即； 所以，即当时，取得最小值. 20．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 21．（24-25高二下·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 等比数列 知识清单 知识点01：等比数列的概念 知识点02：等比中项 知识点03：等比数列的通项公式 知识点04：等比数列通项公式的推广和变形 知识点05：等比数列的常用性质 知识点06：等比数列的前n项和公式 知识点07：等比数列前n项和的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：等比数列的性质 题型2：等比数列的通项公式 题型3：等比数列的前n项和 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点02 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点03　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识点04　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝·qn.③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点05　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 知识点06　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 无穷等比数列前n项和 知识点07　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 题型1：等比数列的性质 【例1-1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例1-2】（24-25高二下·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【例1-3】（25-26高二下·上海·期末）已知等比数列满足：，，则公比______． 【变式1-1】若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为__________. 【变式1-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）在等比数列中，，则________． 题型2：等比数列的通项公式 【例2-1】（24-25高二下·上海奉贤·月考）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【例2-2】（25-26高二下·上海·期末）在等比数列中，，，则公比______. 【例2-3】（25-26高二下·上海·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式2-1】已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·上海·期末）数列为等比数列，，公比，则______． 【变式2-3】（24-25高二下·上海·随堂练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式． 题型3：等比数列的前n项和 【例3-1】（24-25高二下·上海宝山·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 【例3-2】（24-25高二下·上海·期中）已知等比数列的首项为1，公比为，则__________. 【例3-3】（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【变式3-1】若数列的前n项和满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等比数列的前 项和 满足 ，则 _____. 【变式3-3】（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知数列的前n项和为 (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，，求满足时，正整数n的最小值. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海青浦·月考）若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______． 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知等比数列中，，，则这个数列的公比_____. 3．（24-25高二下·上海·月考）已知在等比数列 中， ，则 _____. 4．（25-26高二下·上海普陀·期末）设是等比数列，，，则的通项公式______． 5．（25-26高二下·上海·期末）已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则______ 7．（25-26高二下·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则___________． 8．（25-26高二下·上海嘉定·期末）等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________． 9．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知等比数列满足，，若的前n项和，则______． 10．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是_____. 11．（24-25高二下·上海·月考）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为、、、…、、…，则________. 12．（24-25高二下·上海·月考）记等比数列的前项和为，若，下列四个命题：①是递减数列；②有最大项；③是递增数列；④有最小项．其中真命题的序号是______． 二、单选题 13．已知和均为等差数列，而为等比数列，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 15．（24-25高下·上海·课堂例题）已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 18．（24-25高二下·上海·月考）已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 19．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知为等差数列，为等比数列，满足， (1)求和通项公式； (2)记，为的前项和，求，并求出的最小值 20．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 21．（24-25高二下·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $