专题2 圆的综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦圆的综合题核心考点，严格对接陕西中考命题规律，分析8年考情显示切线相关综合题8年7考为高频考点，基本性质综合题8年1考需重点关注，分类型梳理证明与计算题型，结合2025陕西24题等真题示例，体现备考针对性。 课件亮点在于真题训练与解题策略深度融合，如切线证明中辅助线添加、相似三角形应用等技巧，培养学生推理能力与几何直观，通过2025陕西24题示范直径性质与中位线结合求线段长，帮助学生掌握得分关键，为教师提供系统复习方案，助力中考冲刺。

数 学 陕西 重难题型册 1 二、陕西重难题型突破 专题二　圆的综合题 (2025陕西24题考法) 类型1　与圆的基本性质有关的综合题(8年1考) 1. 如图，在圆内接四边形ABDC中，AB是☉O的直径，OD⊥BC交BC于 点E. (1)求证：D为 的中点； 证明：∵AB是☉O的直径，OD⊥BC， ∴ ＝ ，即点D为 的中点. (2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长. 解：∵AB是☉O的直径，OD⊥BC， ∴EC＝BE＝4，∠ACB＝90°，∴BC＝8， ∵AC＝6，∴AB＝ ＝10， ∴OD＝OB＝ AB＝5， ∴OE＝ ＝3， ∴DE＝OD－OE＝5－3＝2. 2. 如图，在△ABC中，O是AB的中点，以O为圆心，以OA长为半径作 ☉O. F是AC的中点，连接OF，交☉O于点D. 连接BD，连接AD并延长 交BC于点E. (1)求证：BD平分∠ABC； 证明：∵O是AB的中点，F是AC的中点， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF∥BC，∴DF∥EC，∴ ＝ ， ∵F是AC的中点，∴AD＝DE， ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴BD是线段AE的垂直平分线， ∴AB＝BE，∠BAE＝∠BEA， ∴∠DBA＝∠DBE，即BD平分∠ABC. (2)若AB＝10，BC＝14，求DF的长. 解：由(1)知AB＝BE. ∵AB＝10，BC＝14， ∴BE＝AB＝10， ∴CE＝BC－BE＝14－10＝4. ∵AD＝DE，F是AC的中点， ∴DF是△AEC的中位线， ∴DF＝ CE＝2. 3. (2024苏州)如图，在△ABC中，AB＝4 ，D为AB的中点，∠BAC＝ ∠BCD， cos ∠ADC＝ ，☉O是△ACD的外接圆. (1) 求BC的长； 解：∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD，∴ ＝ . ∵AB＝4 ，D为AB中点，∴BD＝AD＝2 ， ∴BC2＝BD·AB＝16，∴BC＝4. 解：如解图，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO， 并延长交☉O于点F，连接AF. 在Rt△AED中， cos ∠ADC＝ ＝ ，AD＝2 ，∴DE＝1，∴AE＝ ＝ . ∵△BAC∽△BCD，∴ ＝ ＝ ＝ . 设CD＝x，则AC＝ x，CE＝x－1. 在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， ∴( x)2＝(x－1)2＋()2， (2) 求☉O的半径. 整理得x2＋2x－8＝0，解得x＝2(负值已舍去)， ∴CD＝2，AC＝2 . ∵∠AFC与∠ADC都是 所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC. ∵CF为☉O的直径，∴∠CAF＝90°， ∴ sin ∠AFC＝ sin ∠CDA， 即 ＝ ＝ ＝ ，∴CF＝ ， ∴OF＝ CF＝ ，即☉O的半径为 . 类型2　与圆的切线有关的综合题(8年7考) 4. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所 在直线垂直，交于点M，连接AC. (1)求证：AC平分∠DAB； 证明：如解图，连接OC. ∵CM是☉O的切线，∴OC⊥CM， ∵AM⊥CM， ∴AM∥OC，∴∠CAM＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO，∴∠CAM＝∠OAC， ∴AC平分∠DAB. 第4题解图 (2)若☉O的半径为4，MD＝3，求CD的长度. 解：如解图，过点O作OH⊥AM于点H. ∵∠OHM＝∠CMH＝∠OCM＝90°， ∴四边形OHMC是矩形， ∴MH＝OC＝4，CM＝OH， ∵DM＝3，∴AH＝DH＝MH－DM＝1， ∴OH＝ ＝ ＝ ， ∴CM＝OH＝ ， ∴CD＝ ＝ ＝2 . 5. (2025陕西24题8分)如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的 ☉O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为☉O的直径，FD与AC相 交于点G，∠F＝45°. (1)求证：AB＝AC； 证明：如解图，连接OD， ∵∠F＝45°，OF＝OD，∴∠DOE＝90°. ∵☉O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，∴∠ODA＝∠DOE＝90°， ∴AB∥OE，∴∠B＝∠OEC. ∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C， ∴AB＝AC. 第5题解图 (2)若 sin A＝ ，AB＝8，求DG的长. 解：∵ sin A＝ ＝ ，∴OA＝ OD， ∵OF＝OC＝OD，OA＋OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°， ∴ OD＋OD＝8，∴OF＝OD＝3， ∴OA＝ ×3＝5，DF＝ OF＝3 ， ∴AD＝ ＝ ＝4， ∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF， ∴ ＝ ＝ ， ∴DG＝ DF＝ DF＝ ×3 ＝ ， ∴DG的长是 . 6. (2022陕西24题8分)如图，AB是☉O的直径，AM是☉O的切线，AC， CD是☉O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P. (1) 求证：∠CAB＝∠APB； 证明：∵AM是☉O的切线， ∴∠BAM＝90°. ∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD， ∴∠CDB＝∠APB. ∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB. (2) 若☉O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长. 解：如解图，连接AD， ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝∠ADP＝90°， ∴∠CDB＋∠ADC＝90°. ∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB， ∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8. ∵AB＝2r＝10，∴由勾股定理得BD＝6. ∵∠BAD＋∠DAP＝90°，∠DAP＋∠APB＝90°，∴∠APB＝∠DAB. ∵∠BDA＝∠BAP，∴△ADB∽△PAB，∴ ＝ ， ∴PB＝ ＝ ＝ ，∴PD＝PB－BD＝ －6＝ . 7. (2025咸阳乾县校级模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径 的☉O与边BC，AC分别交于D，E两点，DF⊥AC于点F. (1)求证：DF为☉O的切线； 解：如解图1，连接OD，AD，　 ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，∴BD＝CD， ∵OB＝OA，∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF. 又∵OD为☉O的半径， ∴DF为☉O的切线. 　　　 解图1 (2)若 cos C＝ ，CF＝9，求AE的长. 解：如解图2，连接BE，DA， 在Rt△DFC中， cos C＝ ＝ ，CF＝9， ∴DC＝15，∴DF＝12. ∵BD＝DC，∴BC＝2DC＝30， ∵AB为☉O的直径，DF⊥AC于点F， ∴∠BDA＝∠BEA＝∠DFA＝90°， ∴DF∥BE，∴EF＝CF＝9. 在Rt△BEC中，CE＝CF＋EF＝9＋9＝18，BC＝30， ∴BE＝ ＝ ＝24， 在Rt△BAE中，同理可得AE2＋242＝(AE＋18)2， 解得AE＝7，即AE的长为7. 解图2 8. (2025西工大附中一模)如图，点C在以AB为直径的☉O上，点D在BA 的延长线上，∠DCA＝∠CBA. (1)求证：DC是☉O的切线； 证明：如解图，连接OC， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠DCA＝∠OBC，∴∠DCA＝∠OCB， ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠OCB＋∠OCA＝90°， ∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD， ∵OC是☉O的半径，∴DC是☉O的切线. 第8题解图 (2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的 延长线交于点E，若 sin D＝ ，DA＝FG＝2，求CE的长. 解：设OC＝OA＝r， ∵ sin D＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴r＝8， ∴OC＝OA＝8，OD＝10. 在Rt△OCD 中，CD＝ ＝ ＝6. ∵∠DCA＋∠ECF＝∠BFG＋∠CBA＝90°， ∴∠ECF＝∠BFG， 又∵∠BFG＝∠EFC，∴∠ECF＝∠EFC， ∴EC＝EF，设EC＝EF＝x， ∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE， ∴△DOC∽△DEG，∴ ＝ ，则 ＝ ，解得x＝14， 经检验x＝14是所列方程的解且符合题意，∴CE＝14. 9. (2025济南)如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，P为☉O外一 点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC. (1)求证：PC与☉O相切； 证明：如解图，连接OC， ∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP(SAS)， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC， ∵OC是☉O的半径， ∴PC与☉O相切. 第9题解图 (2)若AO＝3，OP＝5，求AC的长. 解：如解图，连接BC交OP于点D， 由(1)知，△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC，∴OP垂直平分BC， ∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， ∴由勾股定理得BP＝ ＝ ＝4， ∵S△OBP＝ OB·BP＝ OP·BD， ∴BD＝ ＝ ＝ ，∴BC＝2BD＝ ， ∵AB是☉O的直径， ∴AB＝2AO＝6，∠ACB＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝ . 10. (2025西安雁塔区校级一模)如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O 的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD. (1)求证：CF是☉O的切线； 证明：如解图，连接OC，则OC＝OA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∵∠DCF＝∠CAD，∴∠DCF＝∠OCA， ∵AD是☉O的直径，∴∠ACD＝90°， ∴∠OCF＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCD＋∠OCA＝∠ACD＝90°，即CF⊥OC， ∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. (2)若☉O的半径为5， sin B＝ ，求FD的长. 解：∵☉O的半径为5，∴OA＝OD＝5，AD＝10， ∵∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B， ∴ sin B＝ sin ∠ADC＝ ＝ ，∴AC＝ AD＝ ×10＝8， ∴CD＝ ＝ ＝6， ∵∠DCF＝∠CAF，∠F＝∠F， ∴△DCF∽△CAF，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴FC＝ FA＝ (FD＋10)，且FC＝ FD， ∴ (FD＋10)＝ FD，解得FD＝ ，∴FD的长为 . 11. (2025西安灞桥区校级六模)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O 为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO 的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD. (1)求证：AB为☉O的切线； 证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°， ∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD， 又∵BC为☉O的切线， ∴AC⊥BC，∴∠BCO＝∠D＝90°， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，∴OE＝OC， ∵OE⊥AB，OE是☉O的半径， ∴AB是☉O的切线. (2)若OD＝ ，AD＝2 ，求☉O的半径. 解：∵∠D＝90°，OD＝ ，AD＝2 ， ∴AO＝ ＝5， ∵∠D＝∠D，∠AOD＝∠BAD， ∴△OAD∽△ABD， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∴BD＝4 ，∴OB＝BD－OD＝3 ， ∵∠C＝∠D＝90°，∠BOC＝∠AOD， ∴△AOD∽△BOC， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∴OC＝3，∴☉O的半径为3. 12. (2025西安雁塔区校级一模)如图，四边形ABCD内接于☉O，点O 在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点 E，F. (1)求证：EF为☉O的切线； 证明：如解图1，连接OC，AC， ∵BC＝CD，∴ ＝ ， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AF， ∵AF⊥EF，∴OC⊥EF， ∵OC是☉O的半径，∴EF为☉O的切线. 　　 解图1　 (2)若点G为☉O上一点且位于AB下方， cos ∠BGD＝ ，BE＝2，求FD 的长. 解：如解图2，连接BD，OC， ∵OC∥AF，∠DAB＝∠BGD， ∴∠COE＝∠DAB，∴∠COE＝∠DAB＝∠BGD， 在Rt△OCE中，设OC＝r， ∵ cos ∠COE＝ cos ∠DAB＝ cos ∠BGD，即 ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，解得r＝8，∴AF＝ . ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，AB＝2r＝16， 在Rt△ADB中， cos ∠DAB＝ ＝ ＝ ， ∴AD＝ ×16＝ ，∴FD＝AF－AD＝ － ＝ . 解图2 29 $