专题4 综合与实践-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦陕西中考“综合与实践”核心考点，对接26题考法，分析8年考频（如面积问题8年5考），按线段、面积、角度问题分类，归纳“问题提出-探究-解决”题型，体现备考针对性。 课件亮点在于中考真题训练（含2023-2025陕西真题）与解题策略指导，如菱形中通过对称转化CM+MN为AM+MN，培养数学思维与几何直观，帮助学生掌握最值问题突破方法，教师可依此设计分层复习，提升备考效率。

数 学 陕西 重难题型册 1 二、陕西重难题型突破 专题四　综合与实践 (2025陕西26题考法) 类型1　线段问题(8年2考) 1. (2023陕西26题10分)(1)如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝ 120°，AB＝24.若☉O的半径为4，点P在☉O上，点M在AB上，连接 PM，求线段PM的最小值； 图1 解：如解图1，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'， 则OP＋PM≥OM≥OM'， ∴PM≥OM－OP≥OM'－OP. ∵☉O的半径为4，∴PM≥OM－4≥OM'－4. ∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴AM'＝BM'＝AB＝12，∠A＝30°，∴OM'＝AM'·tan30°＝4， ∴PM≥OM'－4＝4－4， ∴线段PM的最小值为4－4. 解图1 (2)如图2所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在 点B处，点E处是该市的一个交通枢纽.已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝ 90°，AB＝AE＝10 000 m，BC＝DE＝6 000 m.根据新区的自然环境及 实际需求，现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为30 m的圆型环 道☉O；过圆心O作OM⊥AB，垂足为M，与☉O交于点N. 连接BN， 点P在☉O上，连接EP. 其中，线段BN，EP及MN是要修的三条道路， 要在所修道路BN，EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此 时环道☉O的圆心O到AB的距离OM的长. 图2 解：如解图2，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30 m，连接A'B'，B'O，OP，OE，B'E， ∴ON＝BB'.∵OM⊥AB，BB'⊥AB，∴OM∥BB'， ∴四边形BB'ON是平行四边形，∴BN＝B'O. ∵B'O＋OP＋PE≥B'O＋OE≥B'E，∴BN＋PE≥B'E－r， ∴当点O在B'E上时，BN＋PE取得最小值. 作☉O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30 m， 作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H， ∴O'H∥A'E，∴△B'O'H∽△B'EA'，∴＝. ∵☉O'在矩形AFDE区域内(含边界)， ∴当☉O'与FD相切时，B'H最短， 此时B'H＝10 000－6 000＋30＝4 030(m). ∴在BN，EP之和最短的情况下，O'H也最短. ∵M'N'＝O'H，∴M'N'也最短. ∵M'N'＝O'H＝＝＝4 017.91(m)， ∴O'M'＝M'N'＋30＝4 047.91(m)， ∴此时环道☉O的圆心O到AB的距离OM的长为4 047.91 m. 2. (2025铁一中模拟)问题提出 (1)如图1，BD为矩形ABCD的对角线，点E为BD的中点，连接AE. 若 BC＝10，CD＝6，则AE＝ ⁠； 　 图1 问题探究 (2)如图2，BD为菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，BC＝6，M为BD 上任意一点，N为BC上任意一点，求CM＋MN的最小值； 图2 解：如解图1，连接AC，MA，AN，过点A作AE⊥BC于点E，则BD垂直平分AC，AB＝BC＝6，∴CM＝AM，∴CM＋MN＝AM＋MN≥AN≥AE，∴当点N和点E重合时，CM＋MN的最小值为AE. 在 Rt△ABE中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∴AE＝AB· sin 60°＝3 ，∴CM＋MN的最小值为3 . 解图1 问题解决 (3)如图3，△BCG是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲将农场扩建， 扩建部分为平行四边形ABCD，其中点D在GC的延长线上，E，F分别 为边AD，BC的中点.在四边形AECF内养家禽，AC为一道栅栏，经测 量，AC∥BG，BG⊥DG，CE＝120米，∠AFC＝120°，P，H为两个 饲料储存点，其中H为CE的中点，点P在AC上.现要沿PE，PH修建两 条运输管道，问运输管道的总长度(PE＋PH)是否存在最小值？若存在， 请求出最小值；若不存在，请说明理由. 图3 解：运输管道的总长度(PE＋PH)存在最小值.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG. ∵AC∥BG，BG⊥DG，∴四边形ABGC是矩形，∴∠BAC＝90°. 又∵AD∥BC，AD＝BC，E，F分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠BAC＝90°，F为边BC的中点， ∴AF＝BF＝CF，∴四边形AECF是菱形. 如解图2，连接EF，PF，FH，FH交AC于点P'， 则AC，EF互相垂直平分，∴PE＋PH＝PF＋PH≥FH， ∴当F，P，H三点共线时，PE＋PH的值最小，即为FH的长. ∵∠AFC＝120°，∴∠ECF＝60°，∴△ECF为等边三角形. ∵CE＝120米，∴CF＝CE＝120米. ∵H为CE的中点，∴FH⊥CE，CH＝EH＝ CE＝60米. 在Rt△CFH中，FH＝CH·tan60°＝60 米， ∴PE＋PH的最小值为60 米. 解图2 类型2　面积问题(8年5考) 3. (2024陕西26题10分)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆☉O， 则 的长为 ；(结果保留π) 【解法提示】如解图1，连接OA，OB. ∵∠C＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形， ∴OB＝AB＝15，∴ 的长为 ＝25π. 　　 25π　 解图1　 图1 (2)如图2所示，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点 D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道 出入口.已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝ 120°，AB＝1 200 m，AD＝BC＝900 m，现要在湿地上修建一个新观测 点P，使∠DPC＝60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修 建三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形 ABCPD的面积平分. 请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存 在，请说明理由.(点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步 道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号) 图2 问题解决 解：存在满足要求的点P和点F. 如解图2，连接CD，取CD的中点M. ∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC. ∵AD＝BC＝900 m，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°， ∴点P在以点O为圆心，CD为弦，CD所对的圆心角为120°的圆上. ∵AE＝EC，∴经过点E的直线都平分平行四边形ABCD的面积. ∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分， ∴直线PF必经过CD的中点M. 易知ME是△CAD的中位线，∴ME∥AD. 解图2 ∵MF∥AD，DM∥AF，∴四边形AFMD是平行四边形， ∴FM＝AD＝900 m.过点C作CN⊥PF于点N. ∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°， ∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°.∵CM＝ CD＝ AB＝600(m)， ∴MN＝CM· cos 60°＝300(m)，CN＝CM· sin 60°＝300 (m). ∵∠PMC＝∠DPC＝60°，∠PCM＝∠DCP，∴△PMC∽△DPC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴PC2＝720 000. 在Rt△PCN中，PN＝ ＝ ＝300 (m)， ∴PF＝PN＋NM＋MF＝300 ＋300＋900＝(300 ＋1 200)m， ∴存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为(300 ＋1 200)m. 解图2 4. (2025咸阳校级模拟)问题探究 (1)如图1，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，AF⊥AE交CD 的延长线于点F，若AE＝AF，判断BE与DF的数量关系，并说明理由； 解：BE＝DF. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝∠ADF＝90°. ∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF. 图1 问题解决 (2)如图2，OG和OF是某校一角两堵互相垂直的围墙(∠GOF＝90°)，为 方便学生实践活动的顺利展开，学校计划靠着围墙修建一座五边形实践活 动基地ABOCD. 已知AD∥OC，CD∥OF，动点B在OF上，点C在OG 上，且OC＝80 m，CD＝60 m，AD＝40 m，OB＜CD，其中以AB为直 角边的等腰直角三角形ABE区域为实验基地(∠BAE＝90°，点E在五边 形ABOCD内)，沿CE铺设一条小路(宽度忽略不计)，将四边形ADCE区域 作为种植基地，四边形BOCE区域作为养殖基地，为容纳更多的动物，要 求养殖基地区域(即四边形BOCE)的面积尽可能大.请问养殖基地(四边形 BOCE)的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形BOCE的最大面 积；若不存在，请说明理由. 图2 解：养殖基地的面积存在最大值.如解图，连接OE，延长DA交OF于 点N，过点E作EM⊥OF于点M，EQ⊥OC于点Q，过点A作AP⊥EM 于点P. ∵AD∥OC，CD∥OF，∴四边形OCDN是平行四边形.∵∠GOF＝90°，∴四边形OCDN是矩形，∴ON＝CD＝60 m， DN＝OC＝80 m，∴AN＝DN－AD＝40 m.∵EM⊥OF，AP⊥EM，AN⊥OF，∴四边形APMN是矩形，∴∠PAN＝90°，MN＝AP，PM＝AN. ∵△ABE是等腰直角三角形，∠BAE＝90°，∴AB＝AE. ∵∠PAN＝∠BAE＝90°，∴∠BAN＝∠EAP. 在△ABN和△AEP中， ∴△ABN≌△AEP(AAS)， ∴AP＝AN＝40 m，BN＝EP，∴MN＝AP＝40 m，OM＝ON－ MN＝20(m).∵EM⊥OF，EQ⊥OC，∠GOF＝90°，∴四边形OMEQ 是矩形，∴EQ＝OM＝20 m，∴S△COE＝ OC·EQ＝ ×80×20＝ 800(m2).∵S四边形BOCE＝S△BOE＋S△COE，S△COE＝800 m2，∴当S△BOE最 大时，S四边形BOCE最大.设EP＝BN＝x m，则OB＝(60－x)m，EM＝ (40＋x)m，∴S△BOE＝ OB·EM＝ (60－x)(40＋x)＝－ (x－10)2＋ 1 250.∵－ ＜0，∴当x＝10时，S△BOE取得最大值1 250， ∴S四边形BOCE存在最大值，最大值为1 250＋800＝2 050 m2. 5. 问题提出 (1)如图1，C为线段AB上方的动点，连接AC，BC，满足∠ACB＝ 90°，若AB＝8，则点C到AB的最大距离为 ⁠； (2)如图2，在四边形ABCD中，连接AC， AB＝AC＝AD，若∠BAD＝130°， 求∠BCD的度数； 4　 解：∵AB＝AC＝AD， ∴点B，C，D都在以点A为圆心，AB为半径的☉A上. 如解图1，设E是∠BCD所对弧上的一点，连接BE，DE. ∵∠BAD＝130°，∴∠BED＝65°. ∵四边形BEDC是☉A的内接四边形， ∴∠BCD＋∠BED＝180°，∴∠BCD＝115°. 解图1　 图1 图2 问题解决 (3)某科技公司现有一块形如四边形ABCD的研发基地，其大致示意图如图 3所示，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝400 m，BC＝600 m.为 了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积.扩建方案如下：E 为BC边上的动点(不与端点重合)，连接AE，点B关于AE的对称点为B'， 连接DB'并延长，交AE的延长线于点F，连接BF，CF，将△BCF区域修 建成新能源研发区.为保证研发效果，要使研发区(即△BCF)的面积尽可能 地大，请问△BCF的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCF的最大 值；若不存在，请说明理由. 图3 解：存在.如解图2，连接AB'，BB'.∵点B与点B'关于AE对称， ∴AE垂直平分BB'，AB＝AB'，BF＝B'F， ∴∠ABB'＝∠AB'B＝ (180°－∠BAB'). ∵AB＝AD，∴AB'＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'＝ (180°－∠DAB')， ∴∠BB'D＝∠AB'B＋∠AB'D＝ (180°－∠BAB')＋ (180°－∠DAB')＝135°，∴∠FB'B＝180°－135°＝45°.由对称得∠B'BF＝∠FB'B＝45°，∴∠BFB'＝90°，即∠BFD＝90°. 连接BD，以BD为直径作☉O，交BC于点G，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交☉O于点M，连接OF，则OF＝ BD，故点F在☉O上，∴点F在劣弧 (不与端点重合)上运动. 解图2 连接DG，则∠BGD＝90°.∵∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴四边形ABGD是矩形. 又∵AB＝AD＝400 m，∴四边形ABGD是正方形， ∴BG＝400 m，BD＝ ＝400 (m)， ∠OBG＝45°，∴OM＝200 m，BH＝ BG＝200 m，∠BOH＝45°， ∴OH＝BH＝200 m，∴MH＝OM－OH＝(200 －200)m， ∴当点F与点M重合时，点F到BC的距离最大，则此时△BCF的面积最大. ∴△BCF面积的最大值为 BC·HM＝ ×600×(200 －200)＝60 000 －60 000. ∴△BCF的面积存在最大值，最大值为(60 000 －60 000)m2. 解图2 6. (2025西安未央区模拟)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，若CD＝3BD， S△ACD＝12，则S△ABD的值为 ⁠； 4　 【解法提示】如解图1，过点A作AH⊥BC于点H. ∵S△ACD＝ CD·AH＝12，S△ABD＝ BD·AH，CD＝3BD， ∴ CD·AH＝ ×3BD·AH＝12，∴BD·AH＝8， ∴S△ABD＝ BD·AH＝4. 解图1　　　 图1 问题探究 (2)如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，连接DE，BF 平分∠ABC交DE于点F. 若AB＝6，EF＝2，求BC的长； 图2 解：∵D，E分别是AB，AC边的中点，AB＝6，∴AD＝BD＝3，DE是 △ABC的中位线，∴BC＝2DE，DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB. ∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠DFB，∴DF＝BD＝ 3，∴DE＝DF＋EF＝5，∴BC＝2DE＝10. 问题解决 (3)如图3，△ABC是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向AC右方进 行扩建，扩建区域为△ACD，再从点B向CD边的中点E修建一条儿童健 身跑道BE，为了达到跑步锻炼的效果，要求跑道BE尽可能地长.已知 AB＝AC＝80 m，∠BAC＝∠ADC＝90°，扩建△ACD区域需要的费用为 200元/m2，求跑道BE最长时，扩建△ACD区域需要的总费用. 图3 解：如解图2，取AC的中点O，连接OE，则OE是△ACD的中位线.由∠ADC＝90°，可知点D在以O为圆心，OA长为半径的☉O上(△ABC 外)运动，取OC 的中点P，连接PE，则点E在以点P为圆心，OP长为半径的☉P上(△ABC 外)运动，连接BP并延长交☉P于点E'，连接CE'并延长交☉O于点D'，连接AD'，OE'.∵BP＋PE≥BE，∴当B，P，E三点共线时，即点E运动到点E'时，BE取得最大值，此时BE最大＝BP＋PE'，∴当BE最大时，点D在点D'的位置.∵AC＝80 m，O是AC的中点，P是OC的中点，∴OA＝40 m，PE'＝OP＝PC＝20 m，AP＝ OA＋OP＝60 m，∴S△BCP＝ CP·AB＝800(m2). 解图2 ∵BP＝ ＝100(m)，∴BP＝5PE'， ∴S△BCP＝5S△CPE'， ∴S△CPE'＝ S△BCP＝160(m2)， ∴S△OCE'＝2S△CPE'＝320 m2.∵OE是△ACD的中位线， ∴OE'是△ACD'的中位线， ∴＝()2＝4，∴S△ACD'＝4S△OCE'＝1 280(m2). 1 280×200＝256 000(元)， ∴跑道BE最长时，扩建△ACD区域所需的总费用为256 000元. 解图2 类型3　角度问题(8年3考) 7. (2022陕西26题10分)问题提出 (1)如图1，AD是等边三角形ABC的中线，点P在AD的延长线上，且 AP＝AC，则∠APC的度数为 ⁠； 75°　 图1 【解法提示】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠PAC＝ ∠BAC＝30°. ∵AP＝AC，∴∠APC＝ ×(180°－30°)＝75°. 问题探究 (2)如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°.过点A作AP∥BC， 且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB，BC于点O，E，求四边 形OECA的面积； 图2 解：如解图1，连接PB. ∵AP∥BC，AP＝BC， ∴四边形PBCA为平行四边形， ∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°－∠C＝60°， ∴BE＝PB· cos ∠PBC＝3，PE＝PB· sin ∠PBC＝3 . ∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°， ∴OE＝BE·tan∠ABC＝ ， ∴S四边形OECA＝S△ABC－S△OBE＝ ×6×3 － ×3× ＝ . 解图1 问题解决 (3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°.工人 师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝ AC. 工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP，BP， 得△ABP. 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你 的结论. 图3 解：符合要求.证明如下：如解图2，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，连接FP，∴四边形FDCA为平行四边形. ∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°， ∴四边形FDCA为正方形，∴∠DAF＝45°，AF＝AC. ∵PE是CD的垂直平分线， ∴PE是AF的垂直平分线，∴PF＝PA. ∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF为等边三角形， ∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°－45°＝15°， ∴裁得的△ABP型部件符合要求. 8. (2025交大附中模拟节选)数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一 个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下： 【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB＝40 cm，AD＝80 cm，取 AD边上一点E，ED＝30 cm，请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F， 连接EF，使得线段EF平分矩形ABCD的面积，则线段EF的长 为 cm； 20 　 备用图　 【解法提示】如解图1，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥CB于点G. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝80 cm，且为中心对称图形，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴当EF经过对称中心O时，线段EF平分矩形ABCD的面积，∴由对称性得DE＝BF＝30 cm.∵AD∥BC，∠ABC＝90°，EG⊥CB，∴EG＝AB＝40 cm，同理可得CG＝DE＝30 cm，∴FG＝BC－BF－CG＝20(cm)，∴在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF＝ ＝20 (cm). 解图1　 　 备用图　 【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O，点M和点N是线段EF 上两点，且OM＝ON＝10 cm(M在O点上方，N在O点下方)，要求兴趣 小组在线段BC上找一点P，连接PM和PN，使得∠MPN的度数最大，请 帮助兴趣小组计算，当∠MPN的度数最大时， sin ∠MPN的值. 解：如解图2，作△MPN的外接圆，记作☉T，在BC上取点P'，连接MP'交☉T于点I，则∠MPN＝∠MIN＞∠MP'N，∴当☉T与BC相切时，∠MPN最大，连接TP，则TP⊥BC，连接TN，TM，∴∠FPN＋∠TPN＝90°.∵TN＝TP，∴∠TPN＝∠TNP，∴∠TPN＝ ，∴∠FPN＋ ＝90°，∴∠FPN＝ ，∴∠FMP＝ ，∴∠FPN＝∠FMP. ∵∠NFP＝∠PFM，∴△NFP∽△PFM，∴ ＝ ，∴FP2＝FM·FN. ∵EF＝20 ，∴OE＝OF＝10 . 解图2 ∵OM＝ON＝10，∴FM＝OF＋OM＝10 ＋10，FN＝OF－ON＝10 －10，∴FP2＝FM·FN＝400，∴FP＝20(负值已舍)，∵BC＝80，BF＝DE＝30，∴FC＝BC－BF＝50，∴PC＝FC－FP＝30. ∵AB＝40，AD＝80，由勾股定理，得AC＝40 ，∴OC＝ AC＝20 ，∴OF2＋OC2＝FC2，∴∠FOC＝90°，∴tan∠FCO＝ ＝ ，即 ＝ ，∴TP＝15，∴TN＝15.∵TM＝TN，TO⊥MN， ∴∠OTN＝ ∠MTN＝∠MPN， ∴ sin ∠MPN＝ sin ∠OTN＝ ＝ ＝ . 解图2 9. (2025陕西26题12分)问题探究 (1)如图1，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在 边AB，AC，BC上； 解：如解图1，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，则DE∥BF；再以点B为圆心，DE长为半径画弧，交线段BC于点F，连接EF，则 DE＝BF. ∵DE∥BF，∴四边形BDEF即为所求作的平行四边形. 　　 解图1　 图1 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点， 且满足S△BPC＝9，求△BPC周长的最小值； 图2 解：如解图2，过点P作PH⊥BC于点H. ∵S△BPC＝9，BC＝6， ∴ BC·PH＝ ×6PH＝9，∴PH＝3.过点P作MN∥BC，分别交AB，CD于点M，N，即点P在线段MN上运动，则C△BPC＝BP＋CP＋BC＝BP＋CP＋6.当BP＋CP有最小值时，△BPC的周长有最小值，作B点关于MN的对称点B'，∴B'M＝BM＝3，B'P＝BP，∴BP＋CP＝B'P＋CP≥B'C. 当B'，P，C三点共线时，BP＋CP有最小值，为B'C的长，即△BPC的周长有最小值.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.在Rt△BB'C中，B'B＝6，BC＝6，∴B'C＝ ＝6 ，∴△BPC周长的最小值为BP＋CP＋6＝B'C＋6＝6 ＋6. 　　 解图2　 (3)为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客 服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台.如图3所 示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线 段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台.按照设计要求，点 P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP∶AQ＝2∶3，O为PQ的中点， 为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大.已知AB＝120 m， AC＝BC＝180 m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置(在图中画出符 合条件的点)，并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA. (步 道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计) 问题解决 图3 备用图 解：如解图3，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，则MN是 △ABC的中位线.过点P作PD∥AC交BC于点D，则∠BAC＝∠BPD. 又∵∠ABD＝∠PBD，∴△PBD∽△ABC，∴ ＝ ，即 ＝ ＝ ＝ .∵ ＝ ，∴AQ＝PD. ∵PD∥AC，∴四边形APDQ是平行四 边形.连接AD. ∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形，∴O 是AD的中点，AO＝OD，过点A作AH⊥BC于点H，过点O作 OE⊥BC于点E，则∠AHD＝∠OED＝90°.∵∠ADH＝∠ODE， ∴△ADH∽△ODE，∴ ＝ ＝ .∵AB＝120 m，AC＝BC＝180 m， ∴AH为定值，∴OE为定值，则点O在△ABC的中位线MN上运动， 作△BOC的外接圆☉T，交OC于点F，当且仅当☉T与MN相切时， ∠BOC的值最大，即∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC＋∠OBF， ∴∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC. 解图3 如解图4，连接CM，过点M作MK⊥BC于点K，过点O'作O'L⊥BC于点L，连接LT. ∵☉T与MN相切于点O'，∴∠MO'T＝90°.∵O'L⊥BC于点L，∴∠BLO'＝90°.∵MN∥BC，∴∠MO'L＝90°，∴O'，L，T三点共线，∴∠BLT＝180°－∠BLO'＝90°，∴BC⊥LT于点L，∴BL＝ BC. ∵BC＝AC＝180 m，M是AB的中点，∴MB＝ AB＝60(m)，CM⊥AB，∴ cos ∠ABC＝ ＝ ，即 ＝ ，∴BK＝20(m)，∴MO'＝KL＝BL－BK＝ BC－BK＝70(m).∵M是AB的中点，O'是AD的中点，∴MO'是△ABD的中位线，∴BD＝2MO'＝140(m). ∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC. ∵PD∥AC，∴∠BPD＝∠BAC＝∠ABC，∴BD＝PD，∴BP＝ PD＝ BD＝ (m)， ∴AP＝AB－BP＝ (m). ∴步道口P与游客服务中心A之间的距离PA为 m. 解图4 44 $