小专题培优2 与角平分线有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“与角平分线有关的辅助线作法”核心考点，对接陕西中考命题规律，梳理出“角平分线+垂线段→全等三角形（8年3考）”“角平分线+等线段→全等三角形”“角平分线+平行线→等腰三角形（8年1考）”三大常考类型，通过方法解读、典例精讲及变式练习，精准覆盖中考高频考点。 课件亮点在于分层进阶设计与多解法训练，如例1用“垂两边”作辅助线求三角形面积，例3通过截长法、补短法构造全等，培养学生几何直观与推理能力。结合中考真题考频分析，帮助学生掌握辅助线添加技巧，教师可依此制定针对性复习计划，提升学生中考得分率。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优2　与角平分线有关的辅助线作法 典例精讲 方法解读 情形1：垂两边 如图，P是∠AOB 的平分线上一点，PM⊥OA于点M. 作法：过点P 作PN⊥OB 于点N. 结论：△MOP≌△NOP. 类型1　角平分线＋垂线段→全等三角形(8年3考) 作法：延长ED 交OB 于点F. 结论：△EOF 是等腰三角形，Rt△EOD≌Rt△FOD. 情形2：垂中间 如图，OC是∠AOB 的平分线，ED⊥OC于点D. 类型1　角平分线＋垂线段→全等三角形(8年3考) 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是 ⁠. 【解析】如解图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵BD是∠ABC的平分 线，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝CD＝m，∴S△ABD＝ DE·AB＝ mn. mn　 例2　如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE，垂足 为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：如解图，延长AD交BC于点F， ∵BE平分∠BAC，AD⊥BE， ∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB. 又∵∠AFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C. 变式1如图，在四边形ACDB中，AB＝13，AC＝ ，AD平分∠BAC， BD⊥AD于点D，则CD的长为 ⁠. 变式2如图，M是△ABC的边AB的中点，∠ACN＝∠BCN，且CN⊥AN，垂足为N，AC＝3，AB＝5，MN＝ ，则△ABC的周长为 ⁠. 　 　 方法解读 方法1：截长法 (AD平分∠BAC) 结论：△AED≌△ACD. 类型2　角平分线＋等线段→全等三角形 结论：△AFD≌△ABD. 方法2：补短法 (AD平分∠BAC) 类型2　角平分线＋等线段→全等三角形 例3　多解法如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BD 的中点.若AB＝2BC，AD＝6，则CE的长为 ⁠. 解法一：截长法，在BA上截取BF＝BC，连接FE，构造全等三角形求 解. 解法二：补短法，延长BC至点G，使CG＝BC，连接DG，构造全等三 角形求解. 3　 【解析】解法一：如解图1，在BA上截取BF＝BC，连接FE. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE. ∵BC＝BF，BE＝BE，∴△CBE≌ △FBE(SAS)，∴CE＝FE. ∵AB＝2BC，∴AB＝2BF，∴F是AB的中点.∵E是BD的中点，∴FE是△ABD的中位线，∴FE＝ AD＝3，∴CE＝3.解法二：如解图2，延长BC至点G，使CG＝BC，连接DG. ∵AB＝ 2BC，∴AB＝BG. ∵BD平分∠ABC，∴∠GBD＝∠ABD. ∵BD＝ BD，∴△BDG≌△BDA(SAS)，∴DG＝DA＝6.∵E是BD的中点，C 是BG的中点，∴CE是△BDG的中位线，∴CE＝ DG＝3. 解图1 解图2 方法解读 方法1：作一边的平行线 如图，点D是∠ABC的平分线BE上一点. 作法：过点D 作DF∥BC，交AB 于点F. 结论：△FBD 是等腰三角形，FB＝FD. 类型3　角平分线＋平行线→等腰三角形(8年1考) 作法：过点F作FG∥BE交CB的延长线于点G. 结论：△FBG是等腰三角形，FB＝GB. 方法2：作角平分线的平行线 如图，BE是∠ABC的平分线，F是AB上一点. 类型3　角平分线＋平行线→等腰三角形(8年1考) 例4　多解法如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点D在AC边上，且 BD平分∠ABC，求 的值. 解法一：作一边的平行线，过点D作AB的平行线，再求解. 解法二：作角平分线的平行线，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 F，再求解. 解：解法一：如解图1，过点D作DE∥AB交BC于点E，∴∠ABD＝ ∠BDE. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBC， ∴BE＝DE. 设BE＝DE＝a，则CE＝8－a.∵DE∥AB，∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得a＝ ，∴BE＝DE＝ ，CE＝ ，∴ ＝ ＝2. 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点F，∴∠FAB＝ ∠ABD，∠F＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠FAB＝∠F，∴BF＝AB＝4.∵AF∥BD，∴ ＝ ＝ ＝2. 解图1 解图2 巩固练习 1. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝ 3，则BC的长为 ⁠. 5　 2. 如图，E是AD的中点，BE平分∠ABC. 若∠A＝∠D＝90° ，求 证：CE平分∠DCB. 证明：如解图，过点E作EM⊥BC于点M. ∵∠A＝∠D＝90°，∴DA⊥AB，DA⊥CD. ∵BE平分∠ABC，∴AE＝EM. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝EM. ∵DA⊥CD，EM⊥BC，∴CE平分∠DCB. 3. 多解法如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E，F分别在AB，AC 上，连接DE，DF. 若∠BAC＋∠EDF＝180°，求证：DE＝DF. 解法一：作垂线，过点D分别作AB，AC的垂线，构造全等三角形求解. 解法二：截长法，在AB上截取AG＝AF，连接DG，构造全等三角形求 解. 解法三：补短法，延长AC至点H，使AH＝AE，连接DH，构造全等三 角形求解. 证明：解法一：如解图1，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为 M，N， ∴∠DMA＝∠DNF＝90°.∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN. ∵∠EDF＋∠BAC＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°. ∵∠DFN＋∠AFD＝180°，∴∠AED＝∠DFN， ∴△DEM≌△DFN(AAS)，∴DE＝DF. 解图1 解法二：如解图2，在AB上截取AG＝AF，连接DG. ∵AD平分 ∠BAC，∴∠GAD＝∠FAD. 又∵AD＝AD，∴△ADG≌△ADF(SAS)， ∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF. ∵∠EDF＋∠BAC＝180°， ∴∠GED＋∠DFA＝180°，∠GED＋∠AGD＝180°. ∵∠EGD＋∠AGD＝180°，∴∠EGD＝∠GED， ∴DE＝DG，∴DE＝DF. 解图2 解法三：如解图3，延长AC至点H，使AH＝AE，连接DH. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠HAD. 又∵AD＝AD，AE＝AH，∴△ADE≌△ADH(SAS)， ∴∠AED＝∠AHD，DE＝DH. ∵∠EDF＋∠BAC＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°. ∵∠AFD＋∠DFH＝180°，∴∠AED＝∠DFH＝∠AHD， ∴DF＝DH，∴DE＝DF. 解图3 22 $