小专题培优3 一线三等角模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“一线三等角模型”核心考点，对接中考说明中“8年2考”的考查要求，分析其在几何综合题中的权重，归纳相似三角形判定、全等证明及线段计算等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于结合2025西安灞桥区校级模拟题等实例，通过模型特点分析和解题策略指导，培养学生的推理能力与几何直观，如例2利用一线三等角模型证明全等求DE长度，帮助学生掌握中考高频题型解题技巧，助力教师高效开展专题复习，提升学生应试得分率。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优3　一线三等角模型 (8年2考) 典例精讲 模型 特点 一线：三个等角的顶点落在同一条直线上；三等角：∠1＝∠2＝ ∠3 常见 模型 两三角形在直线同侧 两三角形在直线异侧 结论 (1)△ACP∽△BPD； (2)若AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD，则△ACP≌△BPD 解题 策略 通过“三角形的内角和等于180°”和“同角(等角)的余角(补角)相 等”证明角相等.当图中有边对应相等，证全等；否则，证相似 例1　如图，已知点P在线段AB上，点C，D在AB同侧，分别作 CA⊥AB，DB⊥AB，连接CP，DP，且CP⊥DP. (1)证明：△ACP∽△BPD； 证明：∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°，∴∠C＋∠CPA＝90°. ∵CP⊥DP，∴∠CPA＋∠DPB＝90°， ∴∠C＝∠DPB，∴△ACP∽△BPD. (2)添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程. 解：AP＝BD(答案不唯一). 证明：由(1)得∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠DPB. 又 ∵AP＝BD，∴△ACP≌△BPD(AAS). 例2　(2025西安灞桥区校级模拟)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，AD＝6，BE＝2， 求DE的长. 解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠E＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE. 在△CAD和△BCE中， ∴△CAD≌△BCE(AAS)，∴AD＝CE＝6，CD＝BE＝2， ∴DE＝CE－CD＝6－2＝4. 巩固练习 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点A作AE⊥AC，且AE＝AC， 过点E作ED⊥AB分别交AB，AC于点F，D. 若BC＝3，AE＝7，则 CD的长为 ⁠. 4　 2. 如图， 在△ABC中，AB ＝ AC，∠BAC ＝ 60°， D，E为AD上两 点， ∠ADB ＝∠AEC ＝ 120°，则BD，CE与DE间的数量关系为 ⁠ ⁠. DE＝CE－BD　 3. 【问题背景】(1)如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠ACE＝ ∠D，求证：△ABC∽△CDE；　 证明：∵∠ACD＝∠B＋∠BAC＝∠ACE＋∠DCE，∠ACE＝∠B， ∴∠BAC＝∠DCE. ∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△CDE. 【问题探究】(2)在(1)的条件下，若C为BD的中点，求证：AC2＝ AB·AE. 证明：由(1)得，△ABC∽△CDE，∴ ＝ ＝ .∵C为BD的中点， ∴BC＝CD，∴ ＝ ，又∵∠B＝∠ACE，∴△ABC∽△ACE， ∴ ＝ ，∴AC2＝AB·AE. 4. 如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝ 90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°. 证明：如解图，过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F. 则∠F＝∠AEC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAE＝90°，∴∠ABF＝∠CAE. ∵AB＝AC，∴△ABF≌△CAE(AAS)， ∴AF＝CE，BF＝AE. ∵DE＝CE，∴AF＝DE，∴DF＝AE， ∴BF＝DF，∴∠BDF＝45°. ∵∠DEC＝90°，DE＝CE，∴∠CDE＝45°， ∴∠BDC＝180°－∠BDF－∠CDE＝90°. 5. 如图，P，D分别是∠ABC的边BA，BC上的点，连接PD，以PD为 边，在PD的右侧作等边三角形DPE，连接BE，BD＝4，∠ABC＝60°. 求△BDE的面积. 解：如解图，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG⊥BA，垂足为G. 在Rt△BGD中，BD＝4，∠ABC＝60°，∴∠BDG＝30°， ∴BG＝ BD＝2，∴GD＝ ＝2 . ∵△PDE是等边三角形，∴∠PDE＝60°，PD＝DE， ∴∠PDB＋∠EDF＝180°－∠PDE＝120°. ∵∠ABC＝60°，∴∠PDB＋∠BPD＝180°－∠ABC＝120°， ∴∠BPD＝∠EDF. ∵∠PGD＝∠DFE＝90°，∴△GPD≌△FDE(AAS)， ∴GD＝EF＝2 ，∴S△BDE＝ BD·EF＝ ×4×2 ＝4 . 6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在线段BC 上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝45°，DE交AC 于点E. (1)求证：△ABD∽△DCE； 证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°＝∠ADE. ∵∠BAD＋∠B＝∠ADC，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE. 解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6， ∴BC＝ ＝6 ，∠B＝∠C＝45°. 如解图1，△ADE是等腰三角形，且AD＝DE. ∵∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BAD＋∠ADB＝∠CDE＋∠ADB＝135°，∴∠BAD＝∠CDE， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴DC＝AB＝6. 解图1 (2)若△ADE是等腰三角形，求DC的长. 如解图2，△ADE是等腰三角形，且AE＝DE， 则∠EAD＝∠ADE＝45°， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴AD平分∠BAC， ∴DC＝DB＝ BC＝3 . ∵点D不与点B重合，∴∠DAE＜90°， ∴180°－45°－∠AED＜90°，∴∠AED＞45°， ∴∠AED≠∠ADE， ∴不存在△ADE是等腰三角形，且AD＝AE的情况， 综上所述，DC的长为6或3 . 解图2 16 $