小专题培优10 隐形圆(辅助圆)及与圆有关的最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优10　隐形圆(辅助圆)及与圆有关的最值问题 典例精讲 方法解读 知识回顾：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合.(圆的定义) 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆 或圆弧. 若有共端点的三条等线段(如图1，OA＝OB＝OC)，可考虑构造辅助圆. 图1 图2 推广：如图2，点E为定点，点F为线段BC上的动点(不含点B)，将 △BEF沿EF折叠得到△B'EF，则点B'的运动轨迹为以点E为圆心，以线段 BE长为半径的一段圆弧. 类型1　定点定长 例1　如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°， ∠BDC＝30°，则∠BAD＝ ⁠°. 模型识别：定点是A，定长是AB，画出隐形圆. 【解析】∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D三点都在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上.∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠CAD＝2∠CBD＝40°，∠BAC＝2∠BDC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝100°. 100　 例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动 点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，则FC的最小值为 ⁠. 模型识别：点F在以点E为圆心，AE为半径的圆上运动. 2 －2 【解析】如解图，连接CE. ∵P是直线AB上的一个动点，EF＝AE＝2，∴点F在以点E为圆心，AE长为半径的圆上运动. ∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∴DE＝AD－AE＝6. 在Rt△CDE 中，由勾股定理得CE＝ ＝2 ，当E，F，C三点共线时，FC取得最小值为CE－EF＝2 －2. 　　　 方法解读 知识回顾：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等. (圆周 角定理) 构造思路：若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运 动轨迹是以AB为弦的圆. (1)如图1，当∠C＜90°时，点C在优弧 上运动(不与点A，B重合). 结论：∠AOB＝2∠C. 图1 (3)如图3，当∠C＞90°时，点C在劣弧 上运动(不与点A，B重合). 结论： ∠AOB＋∠C＝180°. 图2 图3 (2)如图2，当∠C＝90°时，点C在 上运动(不与点A，B重合). 结论：弦AB为☉O的直径. 类型2　定弦对定角(8年2考) 例3　如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是射线BC，CD上 的动点，且满足BE＝CF，连接AE，BF，交于点P，则PD的最小值 为 ⁠. 模型识别：∠APB＝90°，点P轨迹是以AB为直径的圆. －1　 【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD. 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF. ∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，如解图，当O，P，D三点共线时，PD有最小值.∵AB＝AD＝2，∴AO＝OP＝1.在Rt△OAD 中，OD＝ ＝ ，∴PD的最小值为OD－OP＝ －1. 例4　如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，P为△ABC内一动点，且满 足∠PAB＝∠ACP，则△APC面积的最大值是 ⁠. 模型识别：∠APC＝120°，画出点P的运动轨迹. 　 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝2.∵∠PAB＝∠ACP，∠PAC＋∠PAB＝60°，∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是劣弧 ，如解图，过点P作PD⊥AC于点D，当O，P，B三点共线时，直线OB与AC的交点为D，此时PD的长度最大，即△APC的面积最大，∴PA＝PC，AD＝ AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∴PD＝AD·tan30°＝ ，∴△APC 面积的最大值为 AC·PD＝ ×2× ＝ . 方法解读 情形1： 知识回顾：圆内接四边形对角互补. 构造思路：如图，若∠ACB＋∠ADB＝180°，则A，B，C，D四点共 圆. 情形2： 知识回顾：同弧所对的圆周角相等. 构造思路：如图，若∠ACB＝∠ADB，则A，B，C，D四点共圆. 类型3　四点共圆 例5　如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD 于点E，连接BE. 若∠ABE＝20° ，则∠AOE的度数是(　C　) A. 10°　　　　B. 15°　　　　C. 20°　　　　D. 30° 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐形圆. C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°.∵OE⊥BD， ∴∠BOE＝90°，∴四边形ABOE对角互补，∴A，B，O，E四点共 圆，∴∠AOE＝∠ABE＝20°. 例6　如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3. 点D在CA 的延长线上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小 值为 ⁠. 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐形圆. 　 【解析】如解图，连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°.∵DE⊥AB，DF⊥BC， OB＝OD＝OE＝OF＝ BD，∴B，D，E，F四点共圆，∴∠EOF＝ 2∠EBF＝60°，∴△OEF是等边三角形，∴EF＝OF＝ BD. ∵∠C＝∠EBF＝30°，AB＝3，过点A作AG⊥BC于点G，则BG＝ AB＝ ，∴BC＝2BG＝3 .∴当BD⊥CD时，BD的值最小，即BD＝ BC＝ ，∴EF的最小值为 BD＝ . 方法解读 问题：如图，在△ABC中，∠BAC＝α(定角)，AM为BC边上的中线，且 AM＝n(定中线). 构造思路：延长AM至点A'，使得AM＝A'M(倍长中线)，连接A'C，易得 △ABM≌△A'CM，则∠BAM＝∠A'，AA'＝2AM＝2n(定弦)，∠BAC＝ ∠BAM＋∠MAC＝α，∠ACA'＝180°－∠MAC－∠A'＝180°－α(定 角)，利用定弦对定角即可解决问题. 归纳：定角定中线→倍长中线→定弦对定角→解决问题. 类型4　定角定中线(8年1考) 例7　(2019陕西25题改编)如图，有一座古井O，按规定，要以井O为对称 中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区ABCD. 根据实际 情况，要求顶点A是定点，点A到井O的距离为40 m，∠BAD＝ 120°，那么，能否建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 ABCD？若能，求出满足要求的平行四边形ABCD的最大面积；若不能， 请说明理由.(井O的占地面积忽略不计) 解：能.如解图，连接AC. ∵井O为▱ABCD的对称中心，且OA＝40 ，∠BAD＝120°， ∴AC＝80 ，∠ADC＝60°，作△ADC的外接圆☉R， 则点D在优弧 上，取 的中点D'，连接D'A，D'C， 则D'A＝D'C，且∠AD'C＝60°，∴△AD'C为等边三角形. 连接D'R并延长，经过点O至点B'，使D'O＝OB'， 连接AB'，CB'，∵CA⊥B'D'， ∴四边形AB'CD'为菱形，且∠B'AD'＝120°，作DE⊥AC于点E，连接DR，则DE≤RD＋OR＝D'R＋OR＝D'O， ∴S△ACD＝ AC·DE≤ AC·D'O＝S△D'AC， ∴S▱ABCD≤S菱形AB'CD'＝2S△D'AC＝(80 )2· sin 60°＝9 600 (m2)， ∴符合要求的▱ABCD的最大面积为9 600 m2. 方法解读 问题：如图，在△ABC中，∠BAC＝α(定角)，AD是BC边上的高，且 AD＝h(定高). 结论：当△ABC是等腰三角形(AB＝AC)时，BC的长最小，△ABC的面积 最小，△ABC的周长最小. 证明：如图，作△ABC的外接圆☉O，连接OA，OB，OC，过点O作 OH⊥BC于点H. 设☉O的半径为r，则∠BOH＝∠BAC＝α， ∴BC＝2BH＝2OB· sin α＝2r· sin α，OH＝OB· cos α＝r· cos α. ∵OA＋OH≥AD(当且仅当A，O，H三点共线时，等号成立)， ∴r＋r cos α≥h，即r≥ ，当取等号时r有最小值， ∴BC＝2r· sin α≥ ，当取等号时BC有最小值， ∴S△ABC＝ BC·AD＝h·r· sin α≥ ，当取等号时S△ABC有最小值， ∴C△ABC＝BC＋AB＋AC≥2r· sin α＋2 ，当取等号时 C△ABC有最小值. 类型5　定角定高 例8　如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BD⊥AC于点D. 若BD＝5， 则AC的最小值为 　10 　，△ABC面积的最小值为 　25 　. 10 　 25 　 【解析】如解图，作△ABC的外接圆☉O，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥AC于点H. ∵∠ABC＝120°，∴∠AOH＝180°－120°＝60°.设☉O的半径为r，则OH＝ ，AC＝ r.∵OB≥OH＋BD，∴r≥ ＋5，解得r≥10，∴AC≥10 ，∴AC的最小值为10 ， ∴△ABC面积的最小值为 ×5×10 ＝25 . 变式为了迎接春节的到来，西安城墙举办了“喜迎新春”大型灯光秀表 演.如图，一个镭射灯A到城墙BC的距离为30米，镭射灯发出的两道彩色 光线之间的夹角∠BAC为60°，若将两道光线(AB，AC)和光线与城墙的 两交点的连线(BC)看作一个三角形，记为△ABC，试判断△ABC的周长有 没有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 解：如解图，∵∠BAC＝60°，AH＝30， ∴当AB＝AC时，边BC取最小值， ∴此时BC＝AC＝20 ， 作▱ABCD，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'D， 则AB＋AC＝CD＋A'C， 当A'，C，D三点共线时，AB＋AC有最小值，最小值为A'D的长， 此时，△ABC为等边三角形，AB＋AC＝40 . ∵AB＋AC和BC的最小值能够同时取到， ∴△ABC周长的最小值为40 ＋20 ＝60 (米). 方法解读 问题：如图，已知A，B是∠MON的边ON上的两个定点，C是边OM上 的动点，则当点C在何处时，∠ACB最大. 结论：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大. 证明：如图，设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连接AC'，BC'， BC'交△ABC的外接圆☉P于点D，连接AD. 由圆周角定理可知∠ACB＝ ∠ADB. 由三角形的内外角关系可知∠ADB＞∠AC'B， ∴∠ACB＞∠AC'B， ∴当☉P与边OM相切时，∠ACB最大. 类型6　最大张角(8年1考) 例9　【提出问题】 如图1，直线l是足球场底线，AB是球门. 点P是射门点，连接PA，PB， 则∠APB叫作射门角.如图2，在足球比赛上，甲、乙两名队员互相配合向 对方球门AB进攻，当甲带球冲到点Q时，乙跟随冲到点P，仅从射门角 度大小考虑(射门角度越大，足球越容易被踢进)，甲是自己射门好，还是 迅速将球回传给乙，让乙射门好？利用所学知识说明理由. 图1 图2 【问题解决】 (1)解：如解图，记AP与过AB两点的圆的交点为C，连接BC，AQ，BQ. ∵ ＝ ， ∴ ⁠. ∵∠ACB＝∠APB＋∠PBC， ∠ACB＝∠AQB　 ∴∠AQB＞∠APB， ∴ 射门好. 甲　 【理解应用】 (2)如图3，在正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，AB为球 门，球员丙带球沿CD方向进攻，最好的射点在(　C　) A. 点C B. 点D或点E C. 线段DE(异于端点)上一点 D. 线段CD(异于端点)上一点 C 图3 【解析】如解图1，取格点O，连接OA，OB，OD，OE. ∵OA＝ OB＝OD＝OE＝ ，∴A，B，D，E四点在以点O为圆心， 为半径的☉O上.∵OC＝3＞ ，∴点C在☉O外.由(1)知∠AEB＝∠ADB， ∠ACB＜∠ADB，同理，线段CD(异于端点)上一点的射门角度均小于 ∠AEB. 如解图2，在线段DE(异于端点)上任取一点P，连接AP并延长 交☉O于点Q，连接BP，BQ，则∠AQB＝∠AEB. ∵∠APB＝ ∠AQB＋∠PBQ，∴∠APB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AEB，∴最好的射点在线段DE(异于端点)上一点. 类型7　点圆最值问题(8年1考) 已知平面内一定点A和☉O，P是☉O上一动点，设☉O的半径为r， OA＝d，求A，P两点之间距离的最值. 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 图形 背景 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 最 小 值 当点P在OA的延 长线上(即点P1处) 时，AP取得最小 值r－d 当点P与点A重合 时，AP取得最小 值0 当点P在OA上(即点P1处) 时，AP取得最小值d－r 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 最 大 值 当点P在AO的 延长线上(即点 P2处)时，AP取 得最大值r＋d 当点P在AO的延长 线上时，AP取得最 大值2r 当点P在AO的延长线上(即 点P2处)时，AP取得最大 值d＋r 例10　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，BC＝3.P为 △ABC内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面 积是(　D　) A. 3 B. 3 C. D. D 【解析】如解图，取AC的中点O，连接OP，BO. ∵PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的半圆上运动.在△BPO中，PB≥BO－OP，∴当点P在线段BO上时，PB有最小值.∵O是AC的中点，∠APC＝90°，∴PO＝AO＝CO＝ .∵tan∠BOC＝ ＝ ，∴∠BOC＝60°，∴△COP是等边三角形，∴S△COP＝ OC2＝ . ∵OA＝OC，∴S△ACP＝2S△COP＝ .　 　　　 例11　如图，正方形ABCD的边长为4，P是以AB为直径的半圆O上一 点，则CP的最小值为 ⁠. 2 －2　 【解析】如解图，连接OP，OC，OC交半圆O于点P'.∵OB＝ AB＝2，∴在Rt△OBC中，OC＝ ＝2 .∵CP≥OC－OP，∴CP≥2 －2，当点P与点P'重合时，CP取得最小值为2 －2. 类型8　线圆最值问题(8年2考) 已知☉O与直线l，M是☉O上一动点.若☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求点M到直线l距离的最值. 直线l与☉O相离 直线l与☉O相切 直线l与☉O相交 图形 背景 直线l与☉O相离 直线l与☉O相切 直线l与☉O相交 最 小 值 过点O作直线l的垂线，交☉O于点M1，当点M运动到点M1的位置时，点M到直线l的距离取得最小值 d－r 连接OP，当点M与点P重合时，点M到直线l的距离取得最小值0 当点M为直线l与☉O的 交点(点M1，M'1)时，点 M到直线l的距离取得最 小值0 直线l与☉O相离 直线l与☉O相切 直线l与☉O相交 最 大 值 过点O作直线l的 垂线，其反向延长 线交☉O于点M2， 当点M运动到点 M2的位置时，点M 到直线l的距离取 得最大值d＋r 连接OP，其反向延长线交☉O于点 M2，当点M运动到 点M2的位置时，点 M到直线l的距离取 得最大值2r 过点O作直线l的垂线， 其反向延长线交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值r＋d 例12　如图，☉O的半径是5，点A在☉O上.P是☉O所在平面内一点， 且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA. (1)点O到直线l距离的最大值为 ⁠； 【解析】如解图1，∵l⊥PA，∴当点P在☉O外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，最大值为AO＋AP＝5＋2＝7. 解图1　　　 7　 (2)若直线l与☉O相交，且交点为M，N，则当线段MN的长度最大时， OP的长为 ⁠. 【解析】如解图2，∵M，N是直线l与☉O的交点，∴当线段MN的长度最大时，线段MN是☉O的直径.∵l⊥PA，∴∠APO＝90°.∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝ ＝ .　 解图2 　 巩固练习 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形ABCD的内部， 连接PA，PB，PC. 若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是 ⁠. 2 － 4 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP＋ ∠PBC＝90°.∵∠PBC＝∠PAB，∴∠ABP＋∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的半圆上运动，如解图，设圆心为O，连接OC交☉O于点P，此时PC最短.∵OP＝OB＝ AB＝4，∴OC＝ ＝2 ，∴PC的最小值为OC－OP＝2 －4. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，D为平面内 一点，且∠BDA＝∠C，过点B作BE⊥BD，与DA的延长线相交于点 E，则△BDE面积的最大值为 ⁠. 　 【解析】在△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，∴AC＝ ＝3，S△ABC＝ AB·BC＝ .∵BE⊥BD，∴∠ABC＝ ∠EBD＝90°.∵∠BDA＝∠C，∴△ABC∽△EBD，∴ ＝ ()2＝ ，则S△BDE＝ ·S△ABC＝ ，即当BD取得最大值时，S△BDE取得最大值.∵∠BDA＝∠C，∠ABC＝90°，由圆周角定理可知，A，B，C，D四点共圆，∴点D在以AC为直径的圆上，∴BD≤AC＝3，即BD的最大值为3，∴S△BDE的最大值为 . 3. 如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道OB上由点O出发沿 OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角 ∠MPN的度数最大时，游客P行走的距离OP是 m. 20 　 【解析】如解图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于点E，以MN为直径作☉F. ∵MN＝2OM＝40 m，F是MN的中点，∴MF＝FN＝20 m，OF＝40 m.∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20 m，OE＝20 m，∴EF＝MF. ∵EF⊥OB，EF为☉F的半径，∴OB是 ☉F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN的度数最大，此时OP＝OE＝20 m. 4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接 A'C，则A'C长度的最小值是 ⁠. －1　 【解析】∵△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，∴MA'＝MA＝1，∴点A'的轨迹是以点M为圆心，MA为半径的圆弧.如解图，过点M作MF⊥DC，交CD的延长线于点F. ∵MA'是定值，A'C的长度取最 小值时，A'在MC上.∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝ MD＝ ，FM＝MD· cos 30°＝ ，CF＝CD＋ FD＝ ，∴MC＝ ＝ ，∴A'C＝MC－MA'＝ －1，即A'C长度的最小值为 －1. 第4题解图 5. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°， AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ⁠. －1 【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，且BD为圆的直径，取BD的中点O，则圆心为点O，如解图，连接OA，OC，取AO的中点F，连接EF，DF. ∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝ 60°.∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴AD＝OA＝2， ∠AFD＝90°，∴DF＝ .∵E，F分别是AC，OA的中点，∴EF是△AOC的中位线，∴EF＝ OC＝1.在△DEF中， DF－EF≤DE，∴当D，E，F三点共线时， DE取得最小值，最小值为 －1. 第5题解图 6. 如图，工人师傅现要在一张足够大的板材上裁剪出一个形状为 △ABC的部件，已知△ABC的部件要满足∠BAC＝60°，BC边上的中线 AD＝15 cm，且边AB与边AC之和要最大，则AB＋AC的最大值 为 cm. 20 　 【解析】如解图，延长AD到点E，使得DE＝AD，连接EC，延长AC到点F，使得CF＝CE，连接EF. ∵BD＝DC，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ADB≌△EDC(SAS)，∴AB＝CE，∠B＝∠DCE，∴AB∥CE，∴∠ECF＝∠BAC＝60°.∵CE＝CF，∴△ECF是等边三角形.∴∠F＝60°.∵AD＝DE＝15 cm，∴AE＝30 cm.∴点F的运动轨迹是优弧 .∵AB＋AC＝AC＋CE＝AC＋CF＝AF，∴当AF为圆的直径时，AB＋AC的值最大，此时∠AEF＝90°.又∵∠F＝ 60°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝2EF，∴AE2＋EF2＝AF2，即302＋EF2＝(2EF)2，解得EF＝10 cm，∴AF＝20 cm， 即AB＋AC的最大值为20 cm. 7. 如图，等边三角形ABC的边长为4，☉C的半径为 ，P为AB上一动 点，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ⁠. 3　 【解析】如解图，连接CQ，CP，过点C作CH⊥AB于点H. ∵PQ切☉C于点Q，∴CQ⊥PQ. 在Rt△CPQ中，PQ＝ ＝ ，当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，此时，点P与点H重合.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴CP的最小值为CH＝BC· sin B＝2 ，∴PQ的最小值为 ＝3. 58 $