小专题培优7 “十”字模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“十字”模型核心考点，对接中考几何综合题考查要求，系统梳理正方形（全等判定）、矩形（相似应用）中的模型应用，分析近三年中考中此类题型占比达25%，归纳证明线段相等、求长度等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点为“模型归纳+典例解析+变式训练”模式，如例1通过ASA证△ABF≌△BCG得AF=BG，培养几何直观与推理能力，例2利用△ADE∽△BMA证比例式，强化模型观念。巩固练习结合中考真题变式，助学生掌握辅助线构造技巧，教师可依此设计分层教学，提升复习效率。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优7　“十”字模型 典例精讲 类型 过顶点 不过顶点 正方形 中的 “十” 字模型 常见 模型 结论 △ABE≌△B CF，AE＝BF △EFM≌△HGN， EF＝GH △DAN≌△CDM， EF＝GH 类型 过顶点 不过顶点 矩形中 的“十” 字模型 常见 模型 结论 △ABN∽△DAM △EFM∽△KHN △ABN∽△DAM 【拓展】若在三角形中出现“十”字，可以先构造特殊四边形，如： 从而得到△BCD∽△CAG 例1　如图，在正方形ABCD中，点F，G分别在边BC，CD上，且 AF⊥BG于点P. 求证：AF＝BG. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC. ∵AF⊥BG，∴∠APB＝90°，∴∠BAF＝∠CBG＝90°－∠ABG. 在△ABF和△BCG中， ∴△ABF≌△BCG(ASA)，∴AF＝BG. 变式如图，正方形ABCD的边长为5，E，F，G分别为CD，AB，BC边 上的点.若DE＝1，BF＝2，EF⊥AG，则AG的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，过点E作EH⊥AB于点H，则四边形ADEH为矩形，∴AH＝DE＝1，EH＝AD＝5，∴HF＝AB－AH－BF＝2，∴EF＝ ＝ .∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠B＝90°，∴AB＝EH，∠B＝∠EHF. ∵EF⊥AG，∴∠BAG＋∠AFE＝90°.又∵∠AFE＋∠HEF＝90°，∴∠BAG＝∠HEF，∴△BAG≌△HEF(ASA)，∴AG＝EF＝ . 例2　如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，AD上的点，且 BF⊥AE于点M. 求证：AB·DE＝AE·AM. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠BAE＋∠EAD＝90°. ∵BF⊥AE，∴∠AMB＝90°，∴∠BAE＋∠ABM＝90° ， ∴∠EAD＝∠ABM. 又∵∠D＝∠AMB＝90°，∴△ADE∽△BMA， ∴ ＝ ，∴AB·DE＝AE·AM. 变式如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F，G，H分别在 边AB，BC，CD，AD上，且EG⊥HF于点P. 若EG·HF＝48，则HF 的长为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，过点E作EM⊥CD于点M，交HF于点J，过点H作HN⊥BC于点N，交EM于点I，则∠EMC＝∠HNB＝90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC. ∵∠B＝∠C＝∠EMC＝90°，∴四边形EBCM是矩形，∴EM＝BC＝8，EM∥BC，∴EM∥AD. ∵∠A＝∠B＝∠HNB＝90°，∴四边形ABNH是矩形，∴HN＝AB＝4，∠AHN＝90°，∴∠HIJ＝∠AHN＝90°. ∵EG⊥HF于点P，∴∠EPJ＝90°，∴∠NHF＝∠MEG＝ 90°－∠EJH. 又∵∠HNF＝∠EMG＝90°，∴△HNF∽△EMG，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴EG＝2HF. ∵EG·HF＝48，∴2HF·HF＝48，∴HF＝2 . 巩固练习 1. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上的点，且 AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于 点H，连接GH. (1)求证：BE＝CF； 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC. ∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，∴∠EAB＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠FBC＝90°， ∴∠EAB＝∠FBC. 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF. (2)若AB＝6，BE＝ BC，求GH的长. 解：∵∠EAB＝∠FBC，∴∠GAE＝∠PBH. ∵PH⊥GP，∴∠GPH＝90°. ∵∠APB＝90°，∴∠GPA＋∠APH＝∠APH＋∠HPB， ∴∠GPA＝∠HPB，∴△GPA∽△HPB，∴ ＝ . ∵tan∠EAB＝ ＝ ，AB＝BC，BE＝ BC， ∴ ＝ ，∴ ＝3. ∵G为AD的中点，AD＝AB＝6，∴AG＝3， ∴HB＝1，∴AH＝5，∴GH＝ ＝ . 2. (1)如图1，四边形ABCD为正方形，E，F分别为边CD，AD上的点， BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？ 解：BF与AE相等.理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°. ∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE， ∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴BF＝AE. 图1 (2)如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中 点，BE⊥AD于点E，BE的延长线交AC于点F，则AF∶FC的值 为 ⁠； 【解法提示】如解图1，过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于点M，延长BF交CM于点G，则四边形ABCM是平行四边形. ∵∠ABC＝90°，BA＝BC，∴四边形ABCM是正方形.同(1)的方法，得△ABD≌△BCG，∴CG＝BD. ∵D是BC的中点，∴BD＝ BC＝ AB，∴CG＝ AB. ∵AB∥CM，∴△AFB∽△CFG，∴ ＝ ＝2. 解图1 2　 图2 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD 于点E，BE的延长线交AC于点F. 若AB＝3，BC＝4，则CF的长 为 ⁠. 　 图3 【解法提示】在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5.∵D是BC边的中点，∴BD＝ BC＝2.如解图2，过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，两线相交于点N，延长BF交CN于点P，则四边形ABCN是平行四边形.∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCN是矩形.同(1)的方法，得∠BAD＝∠CBP. ∵∠ABD＝∠BCP＝90°，∴△ABD∽△BCP， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴CP＝ .同(2)的方法，得△CFP∽△AFB，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴CF＝ . 解图2 18 $