小专题培优8 线段最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“线段最值问题”核心考点，严格对接中考说明，分析8年考情如“两点之间线段最短”8年4考、“垂线段最短”8年1考，系统归纳单动点、双动点、动线段（造桥选址）等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“方法解读+典例精讲+真题训练”模式，如将军饮马通过对称转化、胡不归构造三角函数模型，培养几何直观与推理能力。含2025年西工大附中模拟等真题解析，示范转化思想应用，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此设计专题突破，提升复习效率。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优8　线段最值问题 典例精讲 方法解读 一、线段和的最小值问题 问题：已知两定点A，B，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小. 情形1：两定点A，B在直线l异侧. 作法：连接AB交直线l于点P，AB的长为PA＋PB的最小值. 情形2：两定点A，B在直线l同侧(将军饮马). 作法：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交l于点P，AB'的长为PA＋ PB的最小值. 二、线段差的最大值问题 问题：已知两定点A，B，在直线l上找一点P，使｜PA－PB｜的值最 大. 情形1：两定点A，B在直线l同侧. 作法：连接AB并延长，交直线l于点P，此时｜PA－PB｜的值最大. 作法：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线l于点P，此 时｜PA－PB｜的值最大. 情形2：两定点A，B在直线l异侧. 类型1　利用“两点之间，线段最短”求最值(8年4考) 角度1　单动点问题(含将军饮马) 例1　如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0) 的图象交于A，B两点，点A的坐标为(－3，4)，点B的坐标为(6，n)，P 是x轴上的一个动点，则当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为 ⁠ ⁠. (3， 0) 【解析】根据题意，当A，P，B三点共线时，PA＋PB的值最小，则点 P为直线AB与x轴的交点.将A(－3，4)代入y＝ ，得m＝－3×4＝－ 12，则反比例函数的解析式为y＝－ .将B(6，n)代入y＝－ ，得n＝ － ＝－2，则B(6，－2).将A(－3，4)，B(6，－2)分别代入y＝kx＋ b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－ x＋ 2.令y＝0，得x＝3，则点P的坐标为(3，0). 例2　如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，E是 AB 边上一点，且AE＝2，F是AD边上的动点，则线段EF＋CF的最小值 为 ⁠. 2 　 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交 AC于点M，P是直线MN上一动点，H为BC的中点.若AB＝13，△ABC 的周长为36，则PB＋PH的最小值为 ⁠. 12　 【解析】如解图，连接AP，AH. ∵AB＝AC＝13，△ABC的周长为36，∴BC＝36－2×13＝10.∵H是BC的中点，∴BH＝ BC＝5. ∵△ABC是等腰三角形，∴AH⊥BC，∴AH＝ ＝ ＝12.∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN 的对称点为点A，∴AP＝PB，∴PB＋PH＝AP＋PH≥AH，∴AH的长为PB＋PH的最小值，∴PB＋PH的最小值为12. 　　 例4　(2025西工大附中模拟)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°， ∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝6，BC＝8，点P在直线BC上方， △PBC的面积为6，则｜DP－BP｜的最大值为 ⁠. 　 【解析】如解图，过点P作PH⊥BC于点H. ∵S△PBC＝ BC·PH＝6，BC＝8，∴PH＝ .过点P作直线l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'.∵∠ABC＝90°，∴点B'在AB上，且BB'＝2PH＝3，PB'＝ PB，∴｜DP－BP｜＝｜DP－PB'｜.连接DB'并延长，交直线l于点P'，则当点P与点P'重合时，｜DP－BP｜的值最大，最大值为线段DB'的长.过点D作DK⊥BA的延长线于点K. ∵∠DAB＝120°，AD＝ 6，∴∠DAK＝60°，∴AK＝ AD＝3，DK＝ AD＝3 .∵AB＝4，BB'＝3，∴AB'＝1，∴B'K＝AB'＋AK＝4，∴DB'＝ ＝ ＝ ，∴｜DP－BP｜的最大值为 . 方法解读 情形1： 问题：点P是∠AOB内的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点 N，使得△PMN的周长最小. 作法：分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″分别交OA， OB于点M，N，此时△PMN的周长最小. 情形2： 问题：点P，Q是∠AOB内的两定点，在OA上找一点M，在OB上找一 点N，使得四边形PQNM的周长最小. 作法：分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'分别交 OA，OB于点M，N，此时四边形PQNM的周长最小. 角度2　双动点问题 例5　如图，在锐角三角形ABC中，∠C＝40°，点P是边AB上的一个定 点，M，N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求 ∠MPN的度数. 解：如解图，分别作点P关于BC，AC的对称点E，D，连接PE，PD， 分别交BC，AC于点G，H，连接DE，交AC于点M，交BC于点N，此 时△PMN的周长最小，且∠PHM＝∠PGN＝90°.∴∠DPE＝360°－ ∠PHM－∠PGN－∠C＝140°， ∴∠D＋∠E＝180°－∠DPE＝40°. ∵PM＝DM，NP＝NE， ∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E， ∴∠MPD＋∠NPE＝∠D＋∠E＝40°， ∴∠MPN＝∠DPE－(∠MPD＋∠NPE)＝140°－40°＝100°. 变式如图，已知∠ACB＝30°，M为∠ACB内部任意一点，且CM＝5， E，F分别是CA，CB上的动点，则△MEF的周长的最小值为 ⁠. 5　 【解析】如解图，分别作点M关于CA，CB的对称点P，Q，连接PQ，分别交CA，CB于点E，F，连接CP，CQ，MP，MQ，此时，△MEF的周长有最小值，且为PQ的长.∵点M关于CA的对称点为P， ∴ME＝PE，CM＝CP，∠PCA＝∠MCA. ∵点M关于CB的对称点为Q，∴MF＝QF，CM＝CQ，∠QCB＝∠MCB，∴CP＝CQ＝ CM＝5，∠PCQ＝∠PCE＋∠MCE＋∠QCF＋∠MCF＝2∠ACB＝ 60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ＝CP＝CQ＝5，即△MEF的周长的最小值为5. 例6　如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中点，E，F分别 是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为 ⁠. 24　 【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'，B'E，FG'，则BE＝B'E，FG＝FG'，∴BE＋EF＋FG＋BG＝B'E＋EF＋FG'＋BG. ∵B'E＋EF＋FG'≥B'G'， ∴当B'E＋EF＋FG'＝B'G'时，四边形BEFG的周长取得最小值，最小值为BG＋B'G'. ∵BG＝CG＝CG'＝ BC＝4，AB'＝AB＝8，∴BB'＝AB＋AB'＝16，BG'＝BC＋CG'＝12，∴B'G'＝ ＝20，∴BG＋B'G'＝24，即四边形BEFG周长的最小值为24. 方法解读 情形1： 问题：直线m∥n，在m，n上分别找点M，N，使MN⊥m，且AM＋ MN＋BN的值最小. 作法：将点B向上平移得到点B'，使BB'＝MN，连接B'M，当A，B'，M 三点共线时，AM＋MN＋BN的值最小. 情形2： 问题：在直线l上存在两点M，N(点M在点N左侧)且MN＝a，求AM＋ MN＋BN的最小值. 作法：将点B向左平移a个单位长度得到点B'，再作点B'关于直线l的对 称点B″，连接B″M，当A，B″，M三点共线时，AM＋MN＋BN的值最小. 角度3　动线段问题(造桥选址) 例7　如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，6)，B(－2，2)，在x轴上 取两点C，D(点C在点D左侧)，且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平 移，当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 ⁠. (－1，0)　 【解析】如解图，把A(3，6)向左平移1个单位长度得到A'(2，6)，作点B 关于x轴的对称点B'，连接B'A'交x轴于点C，在x轴上取点D(点C在点 D左侧)，使CD＝1，连接AD，则此时AD＋BC的值最小.∵B(－2， 2)，∴B'(－2，－2).设直线B'A'的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A'，B'的 坐标分别代入，得 解得 ∴直线B'A'的解析式 为y＝2x＋2.当y＝0时，x＝－1，∴C(－1，0). 　　 例8　(2025西安雁塔区校级模拟)如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝ 4，∠C＝∠ADC＝90°，点E，F在边BC上，且EF＝2.连接AE， DF，则四边形AEFD周长的最小值为 ⁠. 2 ＋6　 【解析】如解图，取AD的中点A1，作点D关于直线BC的对称点D1，连接A1D1交BC于点F，在边BC上，点F左侧截取EF＝2，连接AE，DF，则此时四边形AEFD的周长最小，DF＝FD1，由条件可知 AD∥BC，AA1＝EF＝2，∴四边形AEFA1为平行四边形，∴AE＝A1F，∴四边形AEFD的周长为AE＋EF＋DF＋AD＝A1F＋2＋DF＋ 4＝6＋A1F＋D1F＝6＋A1D1.在Rt△A1DD1中，A1D1＝ ＝ ＝2 ，∴四边形AEFD周长的最小值为2 ＋6. 方法解读 情形1： 问题：已知直线l、直线l 上的动点P、直线l 外的定点A. 求AP 的最小值. 作法：过点A 作AP'⊥直线l，则此时AP最短，最小值为AP' 的长. 情形2： 问题：已知点P是∠AOB内一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点 N，使得PN＋MN的值最小. 作法：作点P关于OB的对称点P'，过点P'作OA的垂线，交OA，OB于点 M，N，即当MN⊥OA时，PN＋MN的值最小. 情形3：(胡不归) 问题：已知点P是直线BC上一动点，点A是直线BC外一定点，连接PA，求PA＋kPB的最小值.(0＜k＜1) 作法：(1)在直线BC异于点A的一侧作∠CBE＝α，使 sin α＝k，过点P作 PD⊥BE于点D，则PD＝PB· sin α＝kPB，则求PA＋kPB的最小值，即 为求PA＋PD的最小值； (2)过点A作AD'⊥BE于点D'，AD'交BC于点P'，则点P'即为PA＋kPB取最 小值时点P的位置. 【拓展】“阿氏圆”与“胡不归”类似，感兴趣的同学可查阅资料自 主学习. 类型2　利用“垂线段最短”求最值(含胡不归)(8年1考) 例9　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是 AB上任意一点.若CD＝5，则DE的最小值为 ⁠. 5　 例10　如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动 点(点P 不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的 最小值为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AP. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°. ∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，∴AP＝EF，∴当AP最短时，EF也最短.当AP⊥BC时，AP最短，此时AP＝ ＝ ，∴EF的最小值为 . 　　 例11　如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一 点，OA＝4，点E，F分别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF， 则AE＋EF的最小值为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H. ∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，∴△OEG≌△OEF(SAS)，∴EG＝EF，∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH. ∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝ OA＝2 ，∴AE＋EF的最 小值为2 . 例12　如图，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交DC于点E. 若 P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为 ⁠. 3 　 【解析】如解图，作点D关于直线AE的对称点D'，连接D'Q，则 D'Q＝DQ，AD'＝AD＝6.过点D'作D'K⊥AD于点K，则DQ＋PQ＝D'Q＋PQ≥D'K. ∵AE为∠DAC的平分线，∴点D'在AC上.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠D'AK＝45°，∴D'K＝ AD'＝3 ， 即DQ＋PQ的最小值为3 . 例13　如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6， P为边AD上的一个动点，则PC＋ PA的最小值为 　3 　. 3 　 【解析】如解图，过点P作PQ⊥AB，交BA的延长线于点Q，过点C作CQ'⊥BQ于点Q'.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠QA＝ ∠ABC＝60°，∴PQ＝PA· sin 60°＝ PA，∴PC＋ PA＝PC＋PQ，∴当C，P，Q三点共线，且CQ⊥AB时，PC＋ PA取得最小值，最小值为CQ'的长. ∵∠ABC＝60°，BC＝6，∴CQ'＝BC· sin 60°＝3 ，∴PC＋ PA的最小值为3 . 例14　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝ ，E为线段AB上的一 个动点，连接CE，求 AE＋CE的最小值 . 解：如解图，连接AC，在AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于点T，过点C作CH⊥AM于点H. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB＝ ＝ ， ∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2 . ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET＝ AE. ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2 ， ∴CH＝AC· sin 60°＝2 × ＝3. ∵ AE＋CE＝ET＋CE≥CH，∴ AE＋CE≥3， ∴ AE＋CE的最小值为3. 巩固练习 1. 如图，透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在 容器外壁且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路 程是(　A　) A. 13 cm B. 14 cm C. 15 cm D. 16 cm A 2. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交 于点D， 点C是半径OB上一动点.若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为(　A　) A. ＋ B. ＋ C. 2 ＋ D. 2 ＋ A 【解析】如解图，作点D关于OB的对称点D'，连接AD'，CD'，OD'，DD'，则CD＝CD'，OD＝OD'，∠DOB＝∠BOD'，∴AC＋CD＝AC＋CD'≥AD'，∴当A，C，D'三点共线时，AC＋CD取得最小值，即阴影部分的周长最小，最小值为AD'的长与 长的和. ∵OD平分∠AOB， ∠AOB＝60°，∴∠AOD＝∠DOB＝ ∠AOB＝30°，∴∠BOD'＝30°，∴∠AOD'＝90°.∵OA＝OD'＝1，∴AD'＝ ＝ ， 的长为 ＝ ，∴阴影部分周长的最小值为 ＋ . 第2题解图 3. (2025西安碑林区校级二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝6， ∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，连接BD，且BD＝AB，E是BD 的中点，连接AE，CD，则AE＋CD的最小值为 ⁠. 3 　 【解析】如解图，取AB的中点H，连接DH，CH. ∵AB＝BD，H是AB的中点，E是BD的中点，∴AH＝BH＝BE＝DE＝3.又∵AB＝BD，∠ABE＝∠DBH，∴△ABE≌△DBH(SAS)，∴AE＝DH， ∴AE＋CD＝DH＋CD，∴当D，H，C三点共线时，DH＋CD有最小值，即AE＋CD的最小值为CH的长.∵CH＝ ＝ ＝3 ，∴AE＋CD的最小值为3 . 第3题解图 4. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E在正方形ABCD内，△ABE是等 边三角形，在对角线AC上有一动点P，则PD＋PE的最小值为 ⁠. 8　 5. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边 上的动点，Q是AC边上的动点，则△DPQ周长的最小值为 ⁠. 3　 【解析】如解图，分别作点D关于BC，AC的对称点D'，D″，分别交BC，AC于点E，F，连接D'D″分别交BC，AC于点P，Q，则DQ＝D″Q，DP＝D'P，∴△DPQ的周长为PQ＋DQ＋DP＝PQ＋D″Q＋D'P，∴D'D″的长即为△DPQ周长的最小值.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.∵∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠1＝∠2＝90°－60°＝30°，∴∠D'DD″＝180°－∠1－∠2＝120°.∵D为AB的中点，∴AD＝ AB＝1，∴AF＝ AD＝ ，DF＝ AD· cos 30°＝ ，∴DD″＝2DF＝ .同理， DD'＝ ，∴DD″＝DD'，∴∠D'＝∠D″＝30°， ∴D″D'＝2DD'· cos 30°＝3，∴△DPQ周长的最小值为3. 第5题解图 6. (2025龙东地区)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9， 点M是△ABC内部一点，连接AM，BM，CM. 若CM＝3，则AM＋ BM的最小值为 ⁠. 5 　 【解析】如解图，在BC上取点G，使CG＝1，连接AG，MG. ∵BC＝9，CM＝3，∴ ＝ ＝ . 又∵∠MCG＝∠BCM，∴△MCG∽△BCM，∴ ＝ ＝ ，∴MG＝ BM，∴AM＋ BM＝AM＋MG≥AG. 在Rt△ACG中，AG＝ ＝ ＝5 ，∴AM＋ BM≥5 ，即当M在AG上时，AM＋ BM的最小值为5 . 第6题解图 7. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°， P为CD上的动点，则｜PA－PB｜的最大值为 ⁠. 4　 【解析】如解图，作点B关于直线CD的对称点E，连接AE并延长，交CD于点F，连接CE，PE. 由轴对称的性质可知PB＝PE，BC＝CE，∠PCE＝∠BCD＝15°，∴｜PA－PB｜＝｜PA－PE｜≤AE，即当P，E，A三点共线，且点P在AE上时，｜PA－PB｜取得最大值，最大值为AE的长. ∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4， ∴∠ACB＝90°，CE＝BC＝AC＝4，∴∠ACE＝∠ACB－(∠BCD＋∠PCE)＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝4， 即｜PA－PB｜的最大值为4. 53 $