第15节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数实际应用核心考点，覆盖抛物线型（8年4考且近三年连续考查）、销售利润、几何图形三大常考题型，通过对接中考说明分析考点权重，归纳解题步骤与思路点拨，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于中考真题实战训练与应试技巧指导，如2025陕西25题抛物线型问题，示范坐标转化与待定系数法，培养数学眼光和模型意识。通过利润问题函数关系式建立、几何图形最值求解等实例，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此高效指导复习，提升中考得分率。

数 学 陕西 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材　过其础 第三章　函数 第十五节　二次函数的实际应用 类型1 抛物线型问题(8年4考，且近三年连续考查) 解题步骤 观察、分析图象，将题目中的条件转化为点的坐标 ↓ 结合抛物线上已知的点(如顶点、与坐标轴的交点等)，设出二次函数解析式 ↓ 将已知点的坐标代入所设解析式，运用待定系数法求出二次函数解析式 ↓ 将所求的问题转化为二次函数问题去解决 返回目录 思路点拨 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，垂直于x轴的直线上的点的横坐 标相等. 返回目录 1. (2025陕西25题8分)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点 B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ 为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC， MP⊥AC，NQ⊥AC. 以O为原点，以AC所在直线 为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式； 解：∵BO＝4 m，∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0，4)， 设抛物线L1的函数表达式为y＝ax2＋4(a≠0)， ∵AC＝16 m，由二次函数的对称性，得A(－8，0)，C(8，0)， 将C(8，0)代入y＝ax2＋4，得0＝64a＋4，则a＝－ ，∴y＝－ x2＋4. 返回目录 (2)已知抛物线L3的函数表达式为y＝－ (x－4)2，NQ＝ m，求MN的长. 解：由(1)得抛物线L1的函数表达式为y＝－ x2＋4. ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ＝ m， 且抛物线L3的函数表达式为y＝－ (x－4)2， ∴NQ＝yN－yQ＝－ x2＋4－[－ (x－4)2]＝ ， ∴x2－12x＋36＝0，解得x＝6， ∴MN＝2×6＝12(m)，即MN的长为12 m. 返回目录 思路点拨 求高度，一般是求二次函数图象顶点的纵坐标，或求出自变量的取值范 围，利用函数的增减性求二次函数的最值. 返回目录 2. (人教九上P47T3改编)一名同学推铅球，建立如图所示的平面直角坐标 系，铅球出手后行进过程中离地面的高度y(m)与水平距离x(m)近似满足 函数关系y＝－ x2＋ x＋c.已知铅球落地时的水平距离为10 m. (1)求铅球离地面的最高高度及此时的水平距离； 解：根据题意，将(10，0)代入y＝－ x2＋ x＋c， 得－ ×102＋ ×10＋c＝0，解得c＝ ， ∴y＝－ x2＋ x＋ .∵－ ＜0， ∴当x＝－ ＝4时，y有最大值，最大值为－ ×42＋ ×4＋ ＝3， ∴铅球离地面的最高高度为3 m，此时的水平距离为4 m. 返回目录 (2)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为 m时，水平距离是多少m？ 解：令y＝ ，得－ x2＋ x＋ ＝ ， 解得x1＝0(舍去)，x2＝8. ∴在铅球行进过程中，当它离地面的高度为 m时，水平距离为8 m. 返回目录 类型2 销售、利润问题 方法总结 【解题步骤】 审题，找出题目中的数量关系 ↓ 根据数量关系确定二次函数解析式和自变量的取值范围 ↓ 利用二次函数的性质(增减性或最值)，结合自变量的取值范围进行求解 返回目录 【常用等量关系】 (1)常用公式： ①每件利润＝每件售价－每件成本； ②总利润＝每件利润×销售数量； ③利润率＝利润÷成本×100％. (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为 ·b件. 返回目录 3. (北师九下P49随堂练习改编)西安以古城著称，近些年旅游事业如火如 荼.某旅游公司推出一款成本为100元/盒的农特产礼盒，当每盒售价为150 元时，每天可销售300盒.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司 采取降价措施，根据市场调查发现，每盒的售价每降低1元，每天销量可 增加10盒.设每天的利润为W元，每盒降价x元. (1)写出W与x的函数关系式； 解：由题意，得W＝(150－100－x)(300＋10x)＝－10x2＋200x＋15 000. 返回目录 (2)当每盒降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ 解：∵W＝－10x2＋200x＋15 000＝－10(x－10)2＋16 000，且－10＜0， ∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为16 000. 答：当每盒降价10元时，公司每天的利润最大，最大利润为16 000元. (3)如果要满足利润率不低于10％，且不高于30％，那么当每盒降价多少元 时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ 解：由题意，得10％≤ ≤30％， 解得20≤x≤40. 由(2)知，W＝－10(x－10)2＋16 000， ∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为15 000. 答：当每盒降价20元时，公司每天的利润最大，最大利润为15 000元. 返回目录 类型3 几何图形问题 解题思路 用含有自变量的代数式表示相关线段的长度 ↓ 根据几何图形的相关计算公式，列出所求几何量与自变量之间的关系 式，并确定自变量的取值范围 ↓ 根据二次函数的性质(增减性或最值)，结合自变量的取值范围解决问题 返回目录 4. (课标P148例71改编)如图，用一段长为40 m的篱笆围出一个一边靠墙的 矩形菜园，已知墙足够长.设矩形的AB边的长为x m，面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式； 解：根据题意，得AB＝x m，则BC＝(40－2x)m， ∴y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x， 即y与x之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x(0＜x＜20). (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少m2？ 解：由(1)得y＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200. ∵－2＜0，∴当x＝10时，y取得最大值，最大值为200. 答：当AB边的长为10 m时，菜园的面积最大，最大面积为200 m2. 返回目录 变式如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 12 m，这个矩形的长、宽各为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？ 解：设矩形的长为x m，面积为S m2，则宽为 m， ∴菜园的面积S＝x· ＝－ x2＋15x＝－ (x－15)2＋ (0＜x≤12). ∵－ ＜0，∴当x＜15时，S随x的增大而增大， ∴当x＝12时，S取得最大值，S最大＝－ ×9＋ ＝108. 答：这个矩形的长为12 m、宽为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是 108 m2. 返回目录 新北师七上综合与实践——制作一个尽可能大的无盖长方体 收纳盒 5. 【阅读与思考】下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的 任务. ×年×月×日　星期六 用函数思想解决生活中的实际问题 　　爸爸计划用一张如图1所示的边长为30 cm的正方形纸板，制作一个简 易的无盖长方体收纳盒，我也积极参与了收纳盒的设计与制作.根据实际 需求，在现有纸板的条件下，要求使收纳盒的容积最大.现遇到的问题是 怎样制作才能使无盖长方体收纳盒的容积最大，我通过绘制图象来解决以 上问题. 返回目录 　　如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚 线折叠得到如图2所示的无盖长方体收纳盒.设四个角上剪去的正方形的边 长为x cm，收纳盒的底面积为S cm2，容积为V cm3，通过列表、描点、连 线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值 时，所制作的无盖长方体收纳盒的容积最大. 图1 图2 图3 任务： (1)当x＝ cm时，无盖长方体收纳盒的容积最大，最大值为 cm3； 5　 2 000 返回目录 (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值 范围； 解：依题意，得S＝(30－2x)2＝4x2－120x＋900(0＜x＜15). (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？(写出一条日记中所体现的数 学观点即可) 解：在解决生活中的问题时，可以尝试使用函数(答案不唯一). 图1 图2 图3 返回目录 20 $