第7节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程核心考点，包括概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，精准对接中考高频考查要求。通过“教材知识全梳理+母题变式练考点”分层设计，分析近考情（除2025年外每年必考），归纳变化率、病毒传播等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“母题变式+易错点警示”的实战训练，如通过“每每问题”示范方程构建，培养学生运算能力与模型意识。针对解法选择、根与系数关系应用等考点，提供具体突破方法，帮助学生掌握答题技巧。为教师提供系统复习框架与典型题型解析，助力高效开展中考冲刺教学。

数 学 陕西 课堂精讲册 1 第二章　方程(组)与不等式(组) 第七节　一元二次方程及其应用 一阶　教材知识全梳理 二阶　母题变式练考点 1. 一元二次方程的相关概念 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 举例：x2＋2＝0① 一元二次方程；2x2 ＋3x－1＝2(x2－4)② ⁠一元二次方程 (填“是”或“不是”) 一般 形式 举例：方程3x2－2x＝1的二次项系数是 ③ ，一次项系数是④ ，常数项 是⑤ ⁠ 是　 不是　 3　 －2　 －1　 返回目录 【特别提醒】(1)若题目中有“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0”，则必然 隐含着a≠0这一条件；(2)若题目未说明方程类型，则需分类讨论：①当 a＝0，b≠0时，方程是一元一次方程；②当a≠0 时，方程是一元二次 方程 返回目录 2. 一元二次方程的解法 例1　求下列方程的解： (1)方程3(x－3)2－24＝0的根为 ⁠； (2)用三种方法解方程：x2＋4x－12＝0. 配方法：移项、配方，得x2＋4x＋ ＝ ⁠， 即(　 　)2＝ ⁠， x1＝3＋2 ，x2＝3－2 　 4　 16　 x＋2　 16　 解得 ⁠. x1＝2，x2＝－6　 返回目录 公式法：原方程中，a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠， b2－4ac＝ ⁠， 由求根公式，得x＝ ⁠， 即方程的解为 ⁠. 因式分解法： 原方程可转化为(　 　)(　 　)＝0， 即 ＝0或 ＝0， 解得 ⁠. 1　 4　 －12　 64　 ＝－2±4　 x1＝2，x2＝－6　 x－2　 x＋6　 x－2　 x＋6　 x1＝2，x2＝－6　 返回目录 【方法总结】 (1)直接开平方法：形如(x＋n)2＝p(p≥0)的根为x＝⑥ ⁠； (2)配方法：适用二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的方程； (3)公式法：适用于所有一元二次方程，先化为一般形式ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，b2－4ac≥0)，方程的解为x＝⑦ ⁠； (4)因式分解法：形如(x－a)(x－b)＝0，方程的解为x1＝⑧ ，x2＝ ⑨ ⁠； (5)解法选择(优先顺序)： 直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法 －n± 　 　 a　 b　 【注意事项】用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边含相同的未知 数的因式，勿直接约去公因式，避免漏解. 返回目录 1. 一元二次方程根的判别式与方程根的关系 (根的判别式为b2－4ac，用Δ表示，即Δ＝b2－4ac) (1)Δ＝b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个⑩ 的实数根； (2)Δ＝b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个⑪ 的实数根； (3)Δ＝b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)⑫ ⁠实 数根. 不相等 相等 没有　 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系 数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 返回目录 2. 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2 ＝⑬ 　－ 　，x1x2＝⑭ 　 　. 【拓展变形】根据完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2将原式转化为x1和 x2的积或和有关的形式： (1) ＋ ＝(x1＋x2)2－⑮ ⁠； (2)(x1－x2)2＝⑯ ⁠； (3) ＋ ＝⑰ 　 　； － 　 　 2x1x2　 (x1＋x2)2－4x1x2　 　 (4) ＋ ＝ . 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a≠0；(2)Δ≥0. 返回目录 例2　根据下列实际问题列方程. (1)[变化率问题]某市大力推进“以旧换新”政策，某店月销售额从一月份 的2.8万元增长到三月份的4万元.设这两个月的平均增长率为x，则可列方 程为 ⁠. 变式某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3 200元降到了1 600元.设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是⁠ ⁠. (2)[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了 流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ⁠ ⁠. 2.8(1＋x)2＝4　 3 200(1－x)2＝1 600　 1＋x＋x(1 ＋x)＝121　 返回目录 (3)[握手、单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队 之间都赛一场)，共进行了36场比赛.若设共有x支队伍参加比赛，则可列 方程为 ⁠. ＝36　 (4)[互赠礼物问题]联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共 互赠礼物870件.若设参加联欢会的同学有x人，则可列出方程为 ⁠ ⁠. (5)[每每问题]一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗. 园林公司规定：如果购买树苗不超过60株，每株售价为120元；如果购买 树苗超过60株，在一定范围内，每增加1株，所出售的这批树苗每株售价 降低0.5元.若该校最终向园林公司支付树苗款8 800元.设该校共购买了x 株树苗，则可列出方程为 ⁠. x(x－1) ＝870　 x[120－0.5(x－60)]＝8 800　 返回目录 【方法总结】常见类型及数量关系： (1)变化率问题：设a为原来的量，b为变化后的量. ①若平均增长率为x，增长次数为2，则⑱ ⁠； ②若平均下降率为x，下降次数为2，则⑲ ⁠. a(1＋x)2＝b　 a(1－x)2＝b　 (2)病毒传播问题：若初始数据为a，每次传播x个，则第一轮后共有a(1 ＋x)个，第二轮后共有⑳ 个. (3)握手、单循环赛问题：若共有n人，则握手(单循环赛)总次数为 ㉑ ⁠. (4)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为㉒ ⁠. (5)每每问题：商品的单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数 量为㉓ ⁠. a(1＋x)2　 　 n(n－1)　 ·b　 返回目录 考点1 一元二次方程及其解法(除2025年外每年必考，均为涉及) 1. (人教九上P4练习T1改编)已知关于x的方程(m＋1)x2－3x＋1＝0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ⁠； (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 ⁠； (3)若m＝1，则该方程的二次项是 ，二次项系数是 ，一次项 是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，方程的解为 ⁠ ⁠. 变式若方程(k－2)x｜k｜＋2x＋5＝0是一元二次方程，则k的值是 ⁠. m≠－1　 －1　 2x2　 2　 －3x　 －3　 1　 x1 ＝1，x2＝ 　 －2　 返回目录 2. (北师九上P56T2改编)选择合适的方法解下列一元二次方程： (1)(x－2)2＝5； 解：∵(x－2)2＝5， ∴x－2＝± ， ∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . (2)易错x2=3 x； 解：x2－3 x＝0 ， x(x-3)＝0，即x(x-3)＝0， ∴x1＝0，x2＝3. 返回目录 (4)x2＋3x＝-1. 解：将方程化为一般形式为x2＋3x+1＝0， 则a＝1，b＝3，c＝1，Δ＝b2－4ac＝5＞0， ∴x＝ ＝ ，∴x1＝ ，x2＝ . (3)x2+6x－16＝0； 解：配方，得(x+3)2＝25， ∴x+3＝±5， ∴x1＝2，x2＝－8 . 返回目录 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3. (华师九上P36T8改编)已知关于x的方程(m＋1)x2－3x＋2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ⁠； (2)若该方程有两个相等的实数根，则m的值是 ⁠； (3)若该方程没有实数根，则m的取值范围是 ⁠； (4)若该方程有两个实数根，则m的取值范围是 ⁠； (5)若该方程有实数根，则m的取值范围是 ⁠； (6)若m＜－1，则该方程的根的情况是 ⁠. m＜ 且m≠－1　 　 m＞ 　 m≤ 且m≠－1　 m≤ 　 有两个不相等的实数根　 返回目录 4. (人教九上P16例4改编)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k＝0的两个 实数根分别为x1，x2. (1)当k＝2时， ①x1x2＝ ，x1＋x2＝ ⁠； ② ＋ ＝ ， ＋ ＝ 　－ 　. 2　 －3　 5　 － 　 (2)若x1＝2x2，则常数k的值为 ⁠. 2　 返回目录 考点3 一元二次方程的实际应用 5. 某校园内有一块长40 m、宽30 m的矩形场地，计划在这个场地上修建 等宽的道路，剩余部分种上草坪. (1)如图1，测得草坪的面积是1 064 m2，求道路的宽度； 解：设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为(40－x)m，宽为(30 －x)m的矩形， 根据题意，得(40－x)(30－x)＝1 064， 整理，得x2－70x＋136＝0， 解得x1＝2，x2＝68(不符合题意，舍去). 答：道路的宽度为2 m. 图1 返回目录 (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规 划，打算修建两横两竖等宽的道路(横、竖道路各与矩形的一条边平行)， 如图2所示，剩余部分建为学生综合实践种植园.要使种植园的面积是场地 面积的 ，道路的宽度应设计为多少？ 解：设道路的宽度应设计为y m，则剩余部分可合成长为(40－2y)m， 宽为(30－2y)m的矩形，根据题意，得(40－2y)(30－2y)＝40×30× ， 整理，得y2－35y＋150＝0， 解得y1＝5，y2＝30(不符合题意，舍去). 答：道路的宽度应设计为5 m. 返回目录 21 $