专题10.6 用分式方程解决问题（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题10.6 用分式方程解决问题（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 用分式方程解决问题知识点 1 ★★【题型 1】用分式方程解决行程问题 2 ★★【题型 2】用分式方程解决工程问题 5 ★★【题型 3】用分式方程解决经济问题 8 ★★【题型 4】用分式方程解决和差倍分问题 10 ★★【题型 5】用分式方程解决其他问题 13 ★★★【题型 6】列分式方程与不等式（组）解决实际问题 15 ★★★【题型 7】列分式方程与一次函数综合解决实际问题 19 ★★★【题型 8】列分式方程与方案问题综合解决实际问题 24 二.中考真题 29 （一）单选题（6题） 29 （二） 填空题（6题） 32 （三） 解答题（4题） 36 一.知识梳理与题型精析 用分式方程解决问题知识点 一、解题步骤 （1）审：审清题意，找出已知量、未知量与等量关系； （2）设：设恰当未知数，直接设或间接设； （3）列：根据等量关系列分式方程； （4）解：解分式方程，求出未知数的值； （5）验：双重检验，一验是否为增根，二验是否符合实际意义； （6）答：规范作答，写明单位。 二、解题关键要点 （1）必须双重检验：增根检验 + 实际意义检验，缺一不可； （2）单位要统一，结果要符合实际（如人数、长度为正）； （3）常见题型：行程、工程、销售、浓度、工作效率等。 三、解题易错点 （1）漏写检验步骤； （2）单位不统一导致列式错误； （3）找错等量关系； （4）结果不符合实际意义未舍去。 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示拨高题 ★★【题型 1】用分式方程解决行程问题 用分式方程解决行程问题的解题思路：先明确路程、速度、时间三个量，利用时间=路程÷速度的关系找等量关系，通常以时间差或时间和列方程；设出速度或时间为未知数，根据题意列出分式方程，解出后先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义，最后作答。 【例题1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． （1）若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； （2）若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【答案】（1）甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为；（2）25 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，根据时间差，列出方程求解即可； （2）得出乙无人机的平均巡航速度为，列出方程求解即可． 解：（1）解：设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴，， ∴甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为； （2）解：乙无人机的平均巡航速度为， ∴ 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴的值为25． 【变式1】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将跑道一圈长度设为单位1，利用行程问题中路程、速度、时间的关系，根据“秒后哥哥比弟弟多跑一圈”的条件列等式即可． 解：把跑道一圈的长度看作单位1， ∵哥哥跑一圈需要120秒，弟弟跑一圈需要150秒， ∴哥哥的速度为，弟弟的速度为， ∵秒后哥哥比弟弟多跑一圈， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）某学习小组计划到博物馆参观学习． （1）为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为元，后又临时增加名同学，同时团费变为了元，实际的人均费用是原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； （2）该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米/时． 【答案】（1）该学习小组实际参观博物馆的同学有人；（2）他们参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． （1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可； （2）设他们参观“特色数字化体验”部分的平均速度为千米/时，则参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，根据整个参观学习过程共小时，即可列方程求解． 解：（1）解：设该学习小组实际参观博物馆的同学有人. 根据题意得， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该学习小组实际参观博物馆的同学有人； （2）解：设他们参观“特色数字化体验”部分的平均速度为千米/时， 根据题意得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， （千米/时）. 答：他们参观“经典讲解”部分的平均速度为千米时． ★★【题型 2】用分式方程解决工程问题 解题步骤：把工作总量看作单位“1”，工作效率用工作时间表示，根据 “各部分工作量之和等于总工作量”或“工作时间=工作量÷工作效率”找出等量关系，设未知数列出分式方程，求解后进行双重检验：检验是否为增根、是否符合实际意义，最后写出答案。 【例题2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． （1）求甲、乙每小时各做多少个零件？ （2）经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【答案】（1）甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件；（2）培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件 【分析】（1）设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍，列出方程进行求解即可； （2）设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据题意得        解得    检验：当时， 原分式方程的解为           答：甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件； （2）解：设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据题意得      解得      检验：当时， 原分式方程的解为       （个） （个） 答：培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）某工厂工人甲做90个机器零件所用时间和工人乙做120个机器零件所用时间相同，已知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．设甲每小时做x个零件，则根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据“甲做90个零件的时间=乙做120个零件的时间”这一等量关系列方程即可． 解：∵设甲每小时做个零件，甲、乙两人每小时共做35个零件， ∴乙每小时做个零件， ∵甲做90个零件所用时间=乙做120个零件所用时间，且工作时间=工作量÷工作效率 ∴可列方程：． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． （1）求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ （2）若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 【答案】（1）105天；（2）能在30天内完成该项工作 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天，把工作总量看成单位“1”，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设需要m天完成该项工作，把工作总量看成单位“1”，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求出m的值，再与30比较即可得到结论． 解：（1）解：设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：乙队单独完成筑路工程需要105天； （2）解：能在30天内完成该项工作，理由如下： 设需要m天完成该项工作， 由题意得，， 解得， ∵， ∴能在30天内完成该项工作． ★★【题型 3】用分式方程解决经济问题 解题步骤：根据总价、单价、数量三者关系：总价=单价×数量，通常以数量差或单价差为等量关系列分式方程，设单价或数量为未知数，求解后进行双重检验：检验是否为增根、是否符合实际意义，最后写出答案。 【例题3】（2026九年级下·重庆·专题练习）某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． （1）请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ （2）经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 【答案】（1）该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱；（2）采购两种牛奶总共需要花费4037.5元 【分析】（1）设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱，根据“这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间”列二元一次方程组即可解答； （2）设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元，根据“用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同”列分式方程，可得甲乙牛奶的进价，再计算，即可解答． 解：（1）解：设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱， 则可得， 解得， 答：该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱； （2）解：设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每箱甲牛奶的进价为元，每箱乙牛奶的进价为52.5元， （元）， 答：采购两种牛奶总共需要花费4037.5元． 【变式1】（25-26九年级上·四川广元·期末）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“第二批数量与第一批数量一样多”这一等量关系，结合总价、单价、数量的关系列出方程． 解：∵设第一批柑橘单价为元， ∴第一批购进的数量为箱， 又∵第二批单价比第一批便宜4元， ∴第二批单价为元，购进的数量为箱， ∵第二批数量与第一批数量一样多， ∴可列方程， 故选A． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台，根据总费用和台数可得单价，再根据双目显微镜单价是单目显微镜单价的 倍列方程． 解：设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台． 单目显微镜的单价为 元，双目显微镜的单价为 元． 根据题意，双目显微镜的单价是单目显微镜单价的 倍， 即． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）生物老师需要用洋葱进行生物课实验，已知上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多购买了10斤洋葱，求本周生物老师购买的洋葱单价为每斤多少元？ 【答案】元 解：设上周生物老师购买洋葱的单价为每斤x元，则本周所买洋葱的单价为每斤元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 元， 答：本周生物老师购买的洋葱单价为每斤元． ★★【题型 4】用分式方程解决和差倍分问题 解题步骤：先找准题目中的倍数、和、差、分数等关键描述，确定数量间的相等关系，设未知数后用含未知数的式子表示相关量，依据等量关系列出分式方程，求解后进行双重检验：检验是否为增根、是否符合实际意义，最后规范作答。 【例题4】（25-26八年级上·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可. 解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元， ∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元， ∴燃油汽车平均每千米的加油费为元， ∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元， ∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为， 又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可． 解：型机器人搬运千克所用时间为， 型机器人搬运千克所用时间为， 因为时间相等，所以， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 【答案】型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料，根据型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列分式方程求解即可． 解：设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料， ∵型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ， 答：型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． ★★【题型 5】用分式方程解决其他问题 解题步骤：先读懂题意，找出题目中的数量关系与相等关系，设出合适的未知数，用分式表示相关量，依据等量关系列出分式方程，解出未知数后进行双重检验：先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义，最后规范写出答案。 【例题5】（25-26八年级上·山西朔州·期末）学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，已知B馆的文物比A馆少件，B馆平均每件文物的讲解语音时长是A馆的倍，两组同学认真地听完了各自选择的馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前分钟结束参观，求A馆有多少件文物． 【答案】A馆有件文物 【分析】对于应用题，通常问什么就设什么，设A馆的文物有件，再由B馆的文物比A馆少件，得到B馆的文物有件，再结合甲组同学分钟结束参观，乙组同学分钟结束参观，B馆平均每件文物的讲解语音时长是A馆的倍这个等量关系列出分式方程，求解即可得到答案． 解：设A馆的文物有件，则B馆的文物有件， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题中的实际意义， 答：A馆有件文物． 【点拨】对于分式方程应用题，也必须要验根，这是极容易忽略出错的地方． 【变式1】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．设第一次分钱的人数为x，依题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一次分钱的人数为人，则第一次每个人分元，第二次每个人分元，再根据两次每人分的钱相同列出方程即可． 解：设第一次分钱的人数为人， 由题意得，， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）“鄱阳湖鱼肥，南昌米粉香”．鄱阳湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了200条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3500条鱼，发现其中有20条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里约有______条鱼． 【答案】35000 【分析】本题考查用样本估计总体，通过标记重捕法建立比例方程求解，利用分式方程的应用解决问题． 解：设该池塘里约有条鱼， 根据题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此该池塘里约有条鱼． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． 【答案】甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒，根据“甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等”列分式方程求解即可． 解：设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒， 根据题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒． ★★★【题型 6】列分式方程与不等式（组）解决实际问题 解题步骤：先审题找出等量关系与不等关系，设未知数，根据等量关系列分式方程求出未知量，再根据题目限制条件列不等式（组）求取值范围，求解后必须双重检验（检验增根、检验是否符合实际意义与不等式范围），最后确定符合条件的整数解或取值范围并规范作答。 【例题6】（25-26八年级上·山东淄博·期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求： （1）乙种图书每本价格为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？ 【答案】（1）乙种图书每本价格为元；（2）该图书馆最多可以购买本甲种图书 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种图书每本元，则甲种图书每本元，根据用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本，可列方程，解方程即可求出乙种图书每本的价格； （2）设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本，根据购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，可列不等式，解不等式即可求出甲种图书最多购买的数量． 解：（1）解：设乙种图书每本元，则甲种图书每本元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙种图书每本价格为元； （2）解：设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本， 乙种图书每本价格为元， 甲种图书每本价格为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：该图书馆最多可以购买本甲种图书． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． （1）求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； （2）该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 【答案】（1）甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元；（2）该校最少购买20个甲种篮球 【分析】（1）设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元，根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个，根据题意列出不等式即可求解． 解：（1）解：设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元， 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意 ∴（元） 答：甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 （2）解：设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个． 根据题意得， 解得：． ∴m的最小值为20， 答：该校最少购买20个甲种篮球． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． （1）求乙队单独施工多少天完成全部工程？ （2）若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ （3）在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】（1）30；（2）甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；（3）70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 解：（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点拨】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具．通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍． （1）求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？ （2）该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？ 【答案】（1）A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元 （2）最多可以购买B种工具10组 【分析】（1）设A种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是元，根据“用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍”，列分式方程求解并检验即可； （2）设购买B种工具y组，则购买A种工具组，根据“不超过2100元购买”和“B种工具的数量不少于A种工具数量的一半”，列一元一次不等式组，取最大正整数解即可． 解：（1）解：设A种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元； （2）解：设购买B种工具y组，则购买A种工具组， 依题意得：， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最大值为10， 答：最多可以购买B种工具10组． ★★★【题型 7】列分式方程与一次函数综合解决实际问题 解题步骤：先审题找出等量关系，设未知数列出分式方程，求出相关量（如速度、单价、效率）；再根据题意建立一次函数模型，把方程求出的定值代入函数确定解析式；最后结合函数性质（增减性）求最值、取值范围或方案选择，全程必须检验增根与实际意义，规范作答。 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． （1）求、两种道具包的单价； （2）在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【答案】（1）道具包的单价为元，道具包的单价为元；（2）购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可 （2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本． 解：（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． ∴． 答：道具包的单价为元，道具包的单价为元； （2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个， 得：， ∵， ∴随的增大而减小， 由题意得：， 解得：， ∴当时，最小，， ∴． 答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）某电脑公司经销A型电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台下降1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年仅8万元． （1）今年三月份A型电脑每台为多少元？ （2）为增加收入，该电脑公司决定另外经销B型电脑，其售价为3600元．已知A型电脑进价为3500元/台，B型电脑进价为3000元/台．公司预计用不高于5万元且不低于4.8万元的资金进这两种电脑共15台，那么该公司有多少种进货方案？哪种方案的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】（1）三月份A型电脑每台售价为4000元；（2）有5种进货方案，当进A型电脑6台，进B型电脑9台时利润最高，最高利润是8400元 【分析】（1）设今年三月份A型电脑每台售价为a元，根据卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年仅8万元，列出方程进行求解即可； （2）设购进A型电脑x台，根据公司预计用不高于5万元且不低于4.8万元的资金进这两种电脑共15台，列出不等式组，求出的范围，设利润为y元，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可． 解：（1）解：设今年三月份A型电脑每台售价为a元， 列方程得， 解得． 经检验，是原方程的解，且满足题意， 答：今年三月份A型电脑每台为4000元． （2）解：设购进A型电脑x台， 则，解得， ∵为整数， ∴； 故有5种进货方案． 设利润为y元，则， 即． ∴随着的增大而减小， ∴当时，y最大为8400． 故当进A型电脑6台，进B型电脑9台时利润最高，最高利润是8400元． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一．某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种毛尖，加工之后进行销售，现两种毛尖的进价和售价如下表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种毛尖 300 乙种毛尖 360 已知用10000元购进甲种毛尖的质量与用12000元购进乙种毛尖的质量相同． （1）的值为 ． （2）该茶叶店计划购进甲、乙两种毛尖共，其中甲种毛尖不少于且不超过． ①求销售完这两种毛尖的最大利润； ②五一劳动节假期期间，茶叶店让利销售，将乙种毛尖的售价每千克降低元，甲种毛尖的售价不变．为保证销售完这两种毛尖的利润的最小值不低于30750元，求的最大值． 【答案】（1）200；（2）①销售完这两种毛尖的最大利润为34000元；②的最大值为15 【分析】本题考查了分式方程与一次函数在利润问题中的综合应用，解题关键是通过建立方程和函数模型，结合自变量范围与函数单调性求解． （1）根据质量=总价÷单价，利用两种毛尖购进质量相等的关系列分式方程求解； （2）①先确定甲、乙的利润表达式，建立总利润的一次函数，结合的取值范围，根据一次函数的单调性求最大利润；②调整乙的利润表达式后，重新建立总利润的一次函数，根据单调性确定最小值的位置，结合最小值不低于30750的条件列不等式求的最大值． 解：（1）解：根据题意，购进质量相等，得： 交叉相乘： 解得： 经检验：是原分式方程的解． （2）解：设购进甲种毛尖，则购进乙种毛尖，销售完这两种毛尖的总利润为元． ①由题意，得． ， 随的增大而减小． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：销售完这两种毛尖的最大利润为元． ②由题意，得． ， ， 随的增大而减小． ， 当时，有最小值， ， 解得， 的最大值为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·月考）近年来某市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元． （1）求A，B两款文创产品每件的进价． （2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元．根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，怎样进货才能使销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元；（2）购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程解答即可； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，根据题意列出不等式求出取值范围，再列出和的函数关系式，根据函数性质确定的取值，求出最大利润即可． 解：（1）解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，． 故款文创产品每件的进价是80元，款文创产品每件的进价是65元． （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为元． 根据题意，得， 解得． 由题意，得． ，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为． 故购进款文创产品60件，购进款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元． 【点拨】本题考查了一次函数和分式方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握一次函数性质． ★★★【题型 8】列分式方程与方案问题综合解决实际问题 解题步骤：先审题，根据等量关系列分式方程，求出关键量（单价、效率、速度等），并做好双重检验（排除增根、符合实际）；再根据费用最少、数量限制等要求列出不等式或函数关系，确定可行方案；最后比较各方案结果，选出最优方案并规范作答。 【例题8】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】（1）A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；（2）4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 解：（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）请问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买25个A，B两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问共有几种购买方案？哪种方案的购买费用最少？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；（2）有3种购买充电桩的方案，购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少，最少费用万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程，解方程即可； （2）设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元，B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 解：（1）解：设A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， （万元）， 答：A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个， 根据题意得：， 解得， 为整数， ，， ∴该停车场有3种购买充电桩的方案， 方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩； 方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩； 方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩． ∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价 ∴购买方案三总费用最少，最少费用（万元）． 【变式2】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】（1）哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元；（2）有3种购买方案；购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元，根据购买的数量相等列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个，总费用为W元，先列不等式求出，且m为正整数，再列出W关于m的函数解析式，根据一次函数的增减性求解即可． 解：（1）解：设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； （2）解：设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个， 根据题意可得不等式组：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m可以为35，36，37． 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣个． 设总费用为W元，则 ， ∵， ∴W随m的增大而减小， 所以当时，W最小， 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2025年12月31日，哈尔滨冰雪大世界举办以“约会哈尔滨・冰雪暖世界”为主题的跨年夜烟花秀与无人机表演活动，与市民游客共迎新年．景区欲投资采购，两种型号的无人机配合烟花秀表演，已知每架型无人机的售价比每架型无人机的售价多100元，用30万元购买型无人机的数量和用24万元购买型无人机的数量相同． （1）求型、型无人机的售价分别是每架多少元； （2）考虑到表演效果，若景区计划采购，两种型号的无人机共3000架（购进两种无人机的数量都是100的整数倍），预算经费不高于140万元，且型无人机的数量不低于1800架，则景区有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，为了支持省政府“一核两翼”冰雪季的战略布局，助力“尔滨”持续出圈，供应商决定对两种型号无人机均打九折的优惠．采购两种型号无人机各多少架时花费最少？最少花费是多少元？（请直接写出答案） 【答案】（1）型无人机的售价500元/架，型无人机的售价400元/架；（2）景区共有3种采购方案．方案一：型无人机1800架，型无人机1200架；方案二：型无人机1900架，型无人机1100架；方案三：型无人机2000架，型无人机1000架；（3）采购型无人机1800架，型无人机1200架花费最少、最少花费1242000元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和分式方程的应用，关键是找到数量关系列出方程和不等式组． （1）设型无人机的售价元/架，则型无人机的售价为元/架，根据“用30万元购买A型无人机的数量和用24万元购买B型无人机的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设采购型无人机架，则采购型无人机架，根据“预算经费不高于140万元，且型无人机的数量不低于1800架”列不等式组求解 （3）分别计算（2）中各方案的花费，再进行比较即可． 解：（1）解：设型无人机的售价元/架，则型无人机的售价为元/架， 根据题意.得；解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：型无人机的售价500元/架，型无人机的售价400元/架； （2）解：设采购型无人机架，则采购型无人机架， 根据题意.得， 解得， 是100的整数倍， ， 景区共有3种采购方案： 方案一：型无人机1800架，型无人机1200架； 方案二：型无人机1900架，型无人机1100架； 方案三：型无人机2000架，型无人机1000架； （3）解：方案一花费：（元）； 方案二花费：（元）； 方案三花费：（元）； ∵ 所以，由景区的3种采购方案比较可知，采购型无人机1800架，型无人机1200架花费最少、最少花费1242000元． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 解：由题意可得， ， 故选：C． 2．（2024·新疆·中考真题）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 3．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 4．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 5．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 解：由题意可得， ， 故选：A． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． （2） 填空题（6题） 7．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 8．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为________km/h． 【答案】6 【分析】设江水的流速为千米每小时，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可． 解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得： ， 解得， 经检验符合题意， 答：江水的流速． 故答案为：6． 【点拨】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键． 9．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为______． 【答案】60 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案． 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意， ∴原计划的速度为； 故答案为：60． 10．（2023·湖南娄底·中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移______米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．    【答案】 【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可． 解：由第一次操作可得：， ∴， 设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则 ， ∴， 故答案为： 【点拨】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键． 11．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 12．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．    【答案】 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 【点拨】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键． （3） 解答题（4题） 13．（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元；（2）购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可． 解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 15．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】（1）80；（2）190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 解：（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 16．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元；（2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.6 用分式方程解决问题（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 用分式方程解决问题知识点 1 ★★【题型 1】用分式方程解决行程问题 2 ★★【题型 2】用分式方程解决工程问题 3 ★★【题型 3】用分式方程解决经济问题 4 ★★【题型 4】用分式方程解决和差倍分问题 5 ★★【题型 5】用分式方程解决其他问题 6 ★★★【题型 6】列分式方程与不等式（组）解决实际问题 7 ★★★【题型 7】列分式方程与一次函数综合解决实际问题 8 ★★★【题型 8】列分式方程与方案问题综合解决实际问题 9 二.中考真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二） 填空题（6题） 11 （三） 解答题（4题） 13 一.知识梳理与题型精析 用分式方程解决问题知识点 一、解题步骤 （1）审：审清题意，找出已知量、未知量与等量关系； （2）设：设恰当未知数，直接设或间接设； （3）列：根据等量关系列分式方程； （4）解：解分式方程，求出未知数的值； （5）验：双重检验，一验是否为增根，二验是否符合实际意义； （6）答：规范作答，写明单位。 二、解题关键要点 （1）必须双重检验：增根检验 + 实际意义检验，缺一不可； （2）单位要统一，结果要符合实际（如人数、长度为正）； （3）常见题型：行程、工程、销售、浓度、工作效率等。 三、解题易错点 （1）漏写检验步骤； （2）单位不统一导致列式错误； （3）找错等量关系； （4）结果不符合实际意义未舍去。 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示拨高题 ★★【题型 1】用分式方程解决行程问题 用分式方程解决行程问题的解题思路：先明确路程、速度、时间三个量，利用时间=路程÷速度的关系找等量关系，通常以时间差或时间和列方程；设出速度或时间为未知数，根据题意列出分式方程，解出后先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义，最后作答。 【例题1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． （1）若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； （2）若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【变式1】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）某学习小组计划到博物馆参观学习． （1）为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为元，后又临时增加名同学，同时团费变为了元，实际的人均费用是原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； （2）该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米/时． ★★【题型 2】用分式方程解决工程问题 解题步骤：把工作总量看作单位“1”，工作效率用工作时间表示，根据 “各部分工作量之和等于总工作量”或“工作时间=工作量÷工作效率”找出等量关系，设未知数列出分式方程，求解后进行双重检验：检验是否为增根、是否符合实际意义，最后写出答案。 【例题2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． （1）求甲、乙每小时各做多少个零件？ （2）经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）某工厂工人甲做90个机器零件所用时间和工人乙做120个机器零件所用时间相同，已知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．设甲每小时做x个零件，则根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． （1）求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ （2）若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． ★★【题型 3】用分式方程解决经济问题 解题步骤：根据总价、单价、数量三者关系：总价=单价×数量，通常以数量差或单价差为等量关系列分式方程，设单价或数量为未知数，求解后进行双重检验：检验是否为增根、是否符合实际意义，最后写出答案。 【例题3】（2026九年级下·重庆·专题练习）某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． （1）请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ （2）经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·四川广元·期末）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为________． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）生物老师需要用洋葱进行生物课实验，已知上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多购买了10斤洋葱，求本周生物老师购买的洋葱单价为每斤多少元？ ★★【题型 4】用分式方程解决和差倍分问题 解题步骤：先找准题目中的倍数、和、差、分数等关键描述，确定数量间的相等关系，设未知数后用含未知数的式子表示相关量，依据等量关系列出分式方程，求解后进行双重检验：检验是否为增根、是否符合实际意义，最后规范作答。 【例题4】（25-26八年级上·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ ★★【题型 5】用分式方程解决其他问题 解题步骤：先读懂题意，找出题目中的数量关系与相等关系，设出合适的未知数，用分式表示相关量，依据等量关系列出分式方程，解出未知数后进行双重检验：先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义，最后规范写出答案。 【例题5】（25-26八年级上·山西朔州·期末）学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，已知B馆的文物比A馆少件，B馆平均每件文物的讲解语音时长是A馆的倍，两组同学认真地听完了各自选择的馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前分钟结束参观，求A馆有多少件文物． 【变式1】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．设第一次分钱的人数为x，依题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）“鄱阳湖鱼肥，南昌米粉香”．鄱阳湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了200条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3500条鱼，发现其中有20条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里约有______条鱼． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． ★★★【题型 6】列分式方程与不等式（组）解决实际问题 解题步骤：先审题找出等量关系与不等关系，设未知数，根据等量关系列分式方程求出未知量，再根据题目限制条件列不等式（组）求取值范围，求解后必须双重检验（检验增根、检验是否符合实际意义与不等式范围），最后确定符合条件的整数解或取值范围并规范作答。 【例题6】（25-26八年级上·山东淄博·期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求： （1）乙种图书每本价格为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？ 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． （1）求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； （2）该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． （1）求乙队单独施工多少天完成全部工程？ （2）若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ （3）在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具．通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍． （1）求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？ （2）该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？ ★★★【题型 7】列分式方程与一次函数综合解决实际问题 解题步骤：先审题找出等量关系，设未知数列出分式方程，求出相关量（如速度、单价、效率）；再根据题意建立一次函数模型，把方程求出的定值代入函数确定解析式；最后结合函数性质（增减性）求最值、取值范围或方案选择，全程必须检验增根与实际意义，规范作答。 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． （1）求、两种道具包的单价； （2）在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）某电脑公司经销A型电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台下降1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年仅8万元． （1）今年三月份A型电脑每台为多少元？ （2）为增加收入，该电脑公司决定另外经销B型电脑，其售价为3600元．已知A型电脑进价为3500元/台，B型电脑进价为3000元/台．公司预计用不高于5万元且不低于4.8万元的资金进这两种电脑共15台，那么该公司有多少种进货方案？哪种方案的利润最高？最高利润是多少？ 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一．某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种毛尖，加工之后进行销售，现两种毛尖的进价和售价如下表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种毛尖 300 乙种毛尖 360 已知用10000元购进甲种毛尖的质量与用12000元购进乙种毛尖的质量相同． （1）的值为 ． （2）该茶叶店计划购进甲、乙两种毛尖共，其中甲种毛尖不少于且不超过． ①求销售完这两种毛尖的最大利润； ②五一劳动节假期期间，茶叶店让利销售，将乙种毛尖的售价每千克降低元，甲种毛尖的售价不变．为保证销售完这两种毛尖的利润的最小值不低于30750元，求的最大值． 【变式3】（25-26八年级下·全国·月考）近年来某市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元． （1）求A，B两款文创产品每件的进价． （2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元．根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，怎样进货才能使销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ ★★★【题型 8】列分式方程与方案问题综合解决实际问题 解题步骤：先审题，根据等量关系列分式方程，求出关键量（单价、效率、速度等），并做好双重检验（排除增根、符合实际）；再根据费用最少、数量限制等要求列出不等式或函数关系，确定可行方案；最后比较各方案结果，选出最优方案并规范作答。 【例题8】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）请问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买25个A，B两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问共有几种购买方案？哪种方案的购买费用最少？ 【变式2】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2025年12月31日，哈尔滨冰雪大世界举办以“约会哈尔滨・冰雪暖世界”为主题的跨年夜烟花秀与无人机表演活动，与市民游客共迎新年．景区欲投资采购，两种型号的无人机配合烟花秀表演，已知每架型无人机的售价比每架型无人机的售价多100元，用30万元购买型无人机的数量和用24万元购买型无人机的数量相同． （1）求型、型无人机的售价分别是每架多少元； （2）考虑到表演效果，若景区计划采购，两种型号的无人机共3000架（购进两种无人机的数量都是100的整数倍），预算经费不高于140万元，且型无人机的数量不低于1800架，则景区有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，为了支持省政府“一核两翼”冰雪季的战略布局，助力“尔滨”持续出圈，供应商决定对两种型号无人机均打九折的优惠．采购两种型号无人机各多少架时花费最少？最少花费是多少元？（请直接写出答案） 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·中考真题）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 8．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为________km/h． 9．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为______． 10．（2023·湖南娄底·中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移______米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．    11．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 12．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．    （3） 解答题（4题） 13．（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 15．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 16．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $