专题10.2 分式的基本性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题10.2 分式的基本性质（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的基本性质 1 【题型 1】判断分式的变形是否正确 2 【题型 2】将分式的分子分母的最高次项化为正数 4 【题型 3】将分式的分子分母各项系数化为整数 6 【知识点二】分式的约分 9 【题型 4】约分 9 【题型 5】最简分式 11 【知识点三】分式的通分 13 【题型 6】分式的通分 13 【培优篇】 16 【题型 7】分式的约分与求值 16 【题型 8】约分与通分综合 19 二.中考模拟真题 22 （一）单选题（5题） 22 （二）填空题（5题） 25 （三）解答题（4题） 27 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 分式，是整式，是不等于0的整式. 【题型 1】判断分式的变形是否正确 解题思路：通过分式的基本性质：分式的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变。解题时先观察已知分子与分母的变化，再对另一边做相同乘除运算，最后化简即可。 【例题1】（根据苏科版八下126页练习第1题改编） （23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 解：（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，解决本题的关键是利用分式的基本性质逐项判断﹒ 解：A选项：当，时，，，，不成立，故A选项错误； B选项：有意义，，，由分式的基本性质可得：，故B选项正确； C选项：当，时，，，，不成立，故C选项错误； D选项：当时，不成立，故D选项错误． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）填空： （1）．括号内为：______． （2）．括号内为：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题时，首先要观察已知的分子或分母的变化，再根据分式的基本性质进行求解． （1）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同乘以a； （2）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同除． 解：（1）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以a，则分式的分子变为，负号提前， 故答案为：； （2）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同除，则分式的分子变为c， 故答案为：c． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点拨】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【题型 2】将分式的分子分母的最高次项化为正数 解题思路：先分别确定分子与分母的最高次项及其符号，若最高次项系数为负，则对分子或分母整体提取负号，同时改变分式本身的符号，使分子、分母最高次项系数均变为正数，注意保持分子、分母各项符号对应变化，不改变分式的值。 【例题2】（根据苏科版八下126页练习第2题改编） （24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 解：． 故选：D 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 解：（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 【题型 3】将分式的分子分母各项系数化为整数 解题思路：先找出分子、分母中各项系数（含分数、小数）的最小公倍数，再将分子、分母同时乘以这个最小公倍数，利用分式基本性质消去分母，使各项系数化为整数，最后若有公因数则进一步约分，保证分式值不变且形式最简。 【例题3】（根据苏科版八下126页练习第3题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 解： ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 解：（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 解：（1）解：； （2）解：． 【知识点二】分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分。 【特别提示】根据分式的基本性质，约去的公因式不能等于零。 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式。 【特别提示】约分通常要把分式化成最简分式或整式. 【题型 4】约分 解题思路：先分解分子、分母的因式，再找出它们的公因式，依据分式基本性质，把分子、分母同时除以公因式，化简成最简分式或整式，注意确保变形过程中分母不为零。 【例题4】（根据苏科版八下128页练习第1、2题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）将分子分母约去公因式即可； （2）分子先因式分解，再约去公因式即可； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可． 解：（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 解：∵， ∴括号中应填． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型 5】最简分式 解题思路：先把分子和分母分别因式分解，再看分子与分母是否还有除 1 以外的公因式，若没有公因式，就是最简分式；若还有公因式，则不是最简分式，还能继续约分。 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项即可 解：∵选项A中，，分子分母有公因式，不是最简分式； ∵选项B中，，分子分母有公因式，不是最简分式； ∵选项C中，在初中范围内无法分解因式，分子与分母无公因式，是最简分式； ∵选项D中，，分子分母有公因式，不是最简分式， 故选：C 【变式2】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【变式3】（23-24七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． （1）； （2）． 【答案】（1）不是最简分式，化简见分析；（2）不是最简分式，化简见分析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 解：（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点拨】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【知识点三】分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 【特别提示】如果几个分式的分母都是单项式，并且各分母系数都是整数，那么这些系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积是这几个分式的最简公分母. 【题型 6】分式的通分 解题思路：先把各分式的分母进行因式分解，确定各分母的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同时乘以适当的整式，把所有分式化为以最简公分母为分母且与原分式相等的形式。 【例题6】（根据苏科版八下131页练习第1、2题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： （1）与； （2）与； （3），，． 【答案】（1），；（2），；（3），， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）（2）（3）找出最简公分母，进而通分即可． 解：（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）通分： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】此题主要考查了通分，通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （1）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分； （2）首先将分式的分母分解因式，再找出两式的最简公分母，然后进行通分； （3）首先将分式的分母分解因式，再找出两式的最简公分母，然后进行通分． 解：（1）解：∵与的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，， ∴与的最简公分母为， ∴，； （3）解：∵，， ∴与的最简公分母为， ∴，． 【培优篇】 【题型 7】分式的约分与求值 【例题7】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 解：由得，， 将代入上式得， 原式． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．6 B．13 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式的值，先解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，求得a的取值范围；再化简分式，结合a的取值找出满足条件的所有整数，再求和即可． 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为： ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴不等式组的整数解为：2，3，4， ∴， ∴， 又， ∵分式的值是一个整数，即的值是一个整数， ∴或7， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． （1）若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． （2）若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】（1）；（2）①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 解：（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点拨】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 【题型 8】约分与通分综合 【例题8】（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 解：（1）； （2）原式． 【变式1】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可． 解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意； D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值 （3）已知为实数，，求分式的值． 【答案】（1）23；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 二.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 【答案】D 【分析】分子分解因式，再约分得到结果． 解： ， 故选：D． 【点拨】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 2．（2025·贵州黔东南·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式后约分即可． 解：． 故选C． 3．（2025·山西朔州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的约分化简，将分子分解因式，约去相同因式即可化简，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 解：， 故选：B． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、分式的基本性质分别计算判断即可． 解：A.，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 6．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 解：甲图阴影部分的面积为：， 乙图阴影部分的面积为：， 则 ， ， ∴， ∴， 故选C． （2） 填空题（5题） 7．（2025·湖南·中考真题）约分：______； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 解：， 故答案为：． 8．（2025·江苏扬州·三模）当时，分式的值是______． 【答案】2025 【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，再将a的值代入求值即可． 解：， 当时，原式． 故答案为：2025 9．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 10．（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的约分，的化简结果为整数，那么约分后的结果不含x和其他字母，那么M一定只含有字母x，且x的指数为2，据此可得答案． 解：∵M是一个式子，且的化简结果为整数， ∴M中一定只含有字母x，且x的指数为2， ∴符合题意的M可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2024·上海徐汇·三模）如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，运用数形结合思想解题是解题的关键，根据“一次函数的图像一定经过第二、三象限”可知，此图像与x轴的交点在原点的左边，即与x轴交点的横坐标小于0，从而得解． 解：∵一次函数的图像一定经过第二、三象限， ∴此图像与x轴的交点在原点的左边，且，即， ∴此图像与与x轴交点的横坐标小于0， 令，解得：， 解得：， ∴常数m的取值范围为且， 故答案为：且． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的______倍． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用、分式的应用，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题关键．设圆柱形杯子的底面积为，先求出一个实心小球的体积为，再求出杯溢出的液体的体积，则可得杯溢出液体高度，然后求出杯溢出的液体的体积，则可得杯剩余的液体高度，由此即可得． 解：设圆柱形杯子的底面积为， 则圆柱形杯子的体积为，原来装有的液体的体积为， ∵杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出， ∴一个实心小球的体积为， ∵杯放入4个小球，液体溢出， ∴杯溢出的液体的体积为， ∵将杯溢出的液体用相同的杯子收集， ∴杯溢出液体高度为， ∵杯放入6个小球，液体溢出， ∴杯溢出的液体的体积为， ∵杯溢出的液体用相同的杯收集，将杯的液体倒入杯，装满杯， ∴杯剩余的液体高度为， ∴杯剩余的液体高度是杯溢出液体高度的（倍）， 故答案为：2． （3） 解答题（4题） 13．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 解： ， 当时， ∴原式=． 【点拨】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 14．（2025·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可． 解： ． ∵， ∴． ∴原式 15．（2025·全国·一模）已知分式： （1）化简该分式； （2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； （3）（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】（1）；（2）；（3），思路见分析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 解：（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 16．（2023·安徽合肥·模拟预测）观察下列各式： ①，        ②， ③，        ④， ……  ……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明. 【答案】（1）；（2）；证明见分析 【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是，，分子第三项是，分母第三项是，根据此规律写出第6个等式即可； （2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可． 解：（1）解：第6个等式为； 故答案为：． （2）解：第个等式为， 左边 右边． 故答案为：． 【点拨】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 分式的基本性质（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的基本性质 1 【题型 1】判断分式的变形是否正确 2 【题型 2】将分式的分子分母的最高次项化为正数 2 【题型 3】将分式的分子分母各项系数化为整数 3 【知识点二】分式的约分 4 【题型 4】约分 4 【题型 5】最简分式 5 【知识点三】分式的通分 5 【题型 6】分式的通分 6 【培优篇】 6 【题型 7】分式的约分与求值 6 【题型 8】约分与通分综合 7 二.中考模拟真题 8 （一）单选题（5题） 8 （二）填空题（5题） 9 （三）解答题（4题） 10 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 分式，是整式，是不等于0的整式. 【题型 1】判断分式的变形是否正确 解题思路：通过分式的基本性质：分式的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变。解题时先观察已知分子与分母的变化，再对另一边做相同乘除运算，最后化简即可。 【例题1】（根据苏科版八下126页练习第1题改编）（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）填空： （1）．括号内为：______． （2）．括号内为：______． 【变式3】（21-22八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 【题型 2】将分式的分子分母的最高次项化为正数 解题思路：先分别确定分子与分母的最高次项及其符号，若最高次项系数为负，则对分子或分母整体提取负号，同时改变分式本身的符号，使分子、分母最高次项系数均变为正数，注意保持分子、分母各项符号对应变化，不改变分式的值。 【例题2】（根据苏科版八下126页练习第2题改编）（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． （1） （2）． 【题型 3】将分式的分子分母各项系数化为整数 解题思路：先找出分子、分母中各项系数（含分数、小数）的最小公倍数，再将分子、分母同时乘以这个最小公倍数，利用分式基本性质消去分母，使各项系数化为整数，最后若有公因数则进一步约分，保证分式值不变且形式最简。 【例题3】（根据苏科版八下126页练习第3题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）； （2）． 【知识点二】分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分。 【特别提示】根据分式的基本性质，约去的公因式不能等于零。 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式。 【特别提示】约分通常要把分式化成最简分式或整式. 【题型 4】约分 解题思路：先分解分子、分母的因式，再找出它们的公因式，依据分式基本性质，把分子、分母同时除以公因式，化简成最简分式或整式，注意确保变形过程中分母不为零。 【例题4】（根据苏科版八下128页练习第1、2题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 5】最简分式 解题思路：先把分子和分母分别因式分解，再看分子与分母是否还有除 1 以外的公因式，若没有公因式，就是最简分式；若还有公因式，则不是最简分式，还要继续约分。 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【变式3】（23-24七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． （1）； （2）． 【知识点三】分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 【特别提示】如果几个分式的分母都是单项式，并且各分母系数都是整数，那么这些系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积是这几个分式的最简公分母. 【题型 6】分式的通分 解题思路：先把各分式的分母进行因式分解，确定各分母的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同时乘以适当的整式，把所有分式化为以最简公分母为分母且与原分式相等的形式。 【例题6】（根据苏科版八下131页练习第1、2题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： （1）与； （2）与； （3），，． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）通分： （1）； （2）； （3）． 【培优篇】 【题型 7】分式的约分与求值 【例题7】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知，求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．6 B．13 C．15 D．21 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． （1）若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． （2）若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【题型 8】约分与通分综合 【例题8】（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【变式1】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【变式3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值 （3）已知为实数，，求分式的值． 二.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 2．（2025·贵州黔东南·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 6．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（5题） 7．（2025·湖南·中考真题）约分：______； 8．（2025·江苏扬州·三模）当时，分式的值是______． 9．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为______． 10．（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子：_______． 11．（2024·上海徐汇·三模）如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为________． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的______倍． （3） 解答题（4题） 13．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2025·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 15．（2025·全国·一模）已知分式： （1）化简该分式； （2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； （3）（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 16．（2023·安徽合肥·模拟预测）观察下列各式： ①，        ②， ③，        ④， ……  ……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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